07 菱形2教师2015春季 初二数学培优进度二

1、 第七讲 菱形（2）1. 【菱形的定义】 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2. 【菱形的性质】 具有平行四边形的所有性质 四条边都相等 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线3. 【菱形的判定】 四条边都相等的四边形 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 有一条对角线平分一组对角的平行四边形4. 【菱形面积公式】 （为菱形对角线的长）【例题1】 （1）两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形； （2）两条对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形； （3）两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形； （4）两条

2、对角线互相垂直且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 上述4个命题正确的为_ 答案：（2）、（3）【例题2】 如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=60，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E又点F在DE的延长线上，且AF=CE求证：四边形ACFE是菱形证明：DE是BC的垂直平分线，E为AB边的中点，从而，为等边三角形，也为等边三角形，故四边形ACEF为菱形【例题3】 矩形ABCD对角线相交与O，DE/AC，CE/BD. 求证：四边形OCED是菱形.解：因为DE/AC，CE/BD， 所以四边形OCED是平行四边形.又因为在矩形ABCD，BD、AC是对角线，所以AC=BD，OC=OD=

3、AC=BD.所以四边形OCED是菱形.点评：熟练掌握菱形判断方法是解题的关键.【例题4】 已知：如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论解：连接AC，BD，因为AED和BCE都是等边三角形，所以DEB=AEC=120，EB=EC，ED=EA，所以AECDEB，所以AC=DB，在ADC中，因为N，M为AD，DC中点，所以，同理，可以证明，又因为AC=DB，所以MN=MQ=QP=NP，所以四边形MNPQ为菱形【例题5】 在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高，A的平

4、分线AE交CD于F，交BC于E，EGAB于G，求证：四边形CFGE是菱形证明：易证CE=EG CF=FG CFE=CAF+ACF CEF=EAB+B CFE=CEF CF=CE CF=CE=EG=FG 即CFGE是菱形ADCBMNPQ【例题6】 在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点. （1）求证：MBANDC； （2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.【答案】证明：（1）四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，AM=AD，CN=BC，AM=CN，在MABNDC， AB=CD

5、，A=C=90，AM=CN，MABNDC；（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN，易证：ABNBAM，AN=BM，MABNDC，BM=DN，P、Q分别是BM、DN的中点，PM=NQ，DM=BN，DQ=BP，MDQ=NBP，MQDNPB四边形MPNQ是平行四边形，M是AB中点，Q是DN中点，MQ=AN，MQ=BM，MP=BM，MP=MQ，四边形MQNP是菱形【例题7】 如图，E是等边的BC边上一点，以AE为边作等边，连结CF，在CF延长线取一点D，使试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论解：四边形ABCD是菱形证明如下：在BAE及CAF中，AB=AC，AE=AF，BAE=60-EAC

6、=CAF，故BAECAF于是BEA=CFA因CFA=CFE+EFA=CFE+60， BEA=ECA+EAC=EAC+60，故 EAC=EFC又已知DAF=EFC，于是EAC=FAD又AE=AF，AEC=AFD，故AECAFD所以AC=AD，且D=ACE=60， ACD和ABC都是等边三角形，所以四边形ABCD是菱形【作业1】 如图，已知在ABC中AB=AC，M是BC的中点，MGAB，MDAC，GFAC， DEAB，垂足分别是G、D、F、E，GF、DE交于点H 求证：四边形GMDH是菱形证： 得 再证，得 得，菱形【作业2】 如图，在四边形ABCD中，AB/CD，BC=DC， ADBD， E是A

7、B的中点求证：四边形BCDE是菱形 证：是的中点，又， 得，得菱形【作业3】 如图，已知在ABCD中，对角线BD、AC交于点O， 过O作MNBD，分别交AD、BC于点M、N 求证：四边形BMDN是菱形 证： 得 得 得菱形【作业4】 如图，在一张长12cm，宽5cm的长方形纸片内，要折出一个菱形李杰同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张红同学沿长方形的对角线AC折出CAE=DAC，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）请你通过计算，比较两名同学的折法中，哪种菱形面积较大？1. 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，BCF=120，求菱形BCFE的面积2. 如图，在ABCD中，平分交于点，平分交于点，.求证：四边形是菱形证明：（1）四边形是平行四边，平分平分在平行四边形中，四边形是平行四边形，BD、EF互相平分，又则四边形是菱形3. 如图所示，在ABC中，BD平分， 于点G，且BD