弹性力学-平面问题.ppt

1、第二章平面问题的基本理论,要点,建立平面问题的基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等,主要内容,2-1平面应力问题与平面应变问题,2-2平衡微分方程,2-3斜面上的应力主应力,2-4几何方程刚体位移,2-5斜方向的应变及位移,2-6物理方程,2-7边界条件,2-8圣维南原理,2-9按位移求解平面问题,1-10按应力求解平面问题相容方程,1-11常体力情况下的简化,1-12应力函数逆解法与半逆解法,2-1平面应力问题与平面应变问题,1.平面应力问题,(1)几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工

2、字形梁的腹板等,(2)受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。,(3)应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿z轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。,2.平面应变问题,(1)几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。,近似认为无限长,(2)外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。,约

3、束沿长度z方向不变化。,(3)变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。,设z方向为无限长，则,沿z方向都不变化，,仅为x，y的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于xy平面。,平面位移问题,平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：,仅为xy的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,3.平面问题的求解,问题：,已知：外

4、力（体力、面力）、边界条件，,求：,仅为xy的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：,平衡微分方程,几何方程,物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征,受力特征,应力特征,几何特征;,受力特征;,应变特征。,上次课的主要内容：,外力、应力、形变、位移。,基本假定：,（1）连续性假定；,（2）线弹性假定；,（3）均匀性假定；,（4）各向同性假定；,（5）小变形假定。,（注意：剪应力正负号规定）,

5、（掌握这些假定的作用）,基本概念：,2-2平衡微分方程,取微元体PABC（P点附近），,Z方向取单位长度。,设P点应力已知：,体力：X，Y,AC面：,BC面：,注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。,由微元体PABC平衡，得,整理得：,剪应力互等定理,两边同除以dxdy，并整理得：,两边同除以dxdy，并整理得：,平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石

6、料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,2-3斜面上的应力主应力,1.斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YN,设P点的应力分量已知：,斜面AB上的应力矢量:s,斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：,由微元体平衡：,整理得：,（2-3）,整理得：,（2-4）,外法线,（2）斜面上的正应力与剪应力,（2-3）,（2-4）,将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：,（2-5）,（2-6）,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2）的正负号规定：,将N转动90而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。,任意斜截面上应力计算公式,（3）若AB面为物体的边界

7、S，则,（2-18）,平面问题的应力边界条件,2.一点的主应力与应力主向,（1）主应力,若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；,当时，有,求解得：,（2-7）,平面应力状态主应力的计算公式,主应力所在的平面称为主平面；,主应力所在平面的法线方向称为应力主向；,由式（2-7）易得：,平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,设1与x轴的夹角为1，1与坐标轴正向的方向余弦为l1、m1，则,设2与x轴的夹角为2，2与坐标轴正向的方向余弦为l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（2-8）,由,得,显然有,表明：,1与2互相垂直。,结论,任一点P，一定存在两互相垂直的主应力1、2。,（3

8、）N的主应力表示,由,1与2分别为最大和最小应力。,（4）最大、最小剪应力,由,显然，当,时，N为最大、最小值：,由,得，,max、min的方向与1（2）成45。,小结：,（2-18）,平面问题的应力边界条件,（1）斜面上的应力,（2-8）,表明：1与2互相垂直。,（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,max、min的方向与1（2）成45。,2-4几何方程刚体位移,建立：平面问题中应变与位移的关系,几何方程,1.几何方程,一点的变形,线段的伸长或缩短；,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,P

9、A的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,整理得：,几何方程,（2-9）,说明：,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当u、v已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）,（3）,以两线段夹角减小为正，增大为负。,2.刚体位移,物体无变形，只有刚体位移。即：,(a),(b),(c),由(a)、(b)可求得：,(d),将(d)代入(c)，得：,或写成：,上式中，左边仅为y的函数，右边仅x的函数，两边只能等于同一常数，即,(d),积分(e)，得：,(e),其中，u0、v0为积分

10、常数。（x、y方向的刚体位移），代入（d）得:,(2-10),刚体位移表达式,讨论：,（1）,仅有x方向平移。,（2）,仅有y方向平移。,（3）,r,说明：,P点沿切向绕O点转动,绕O点转过的角度（刚性转动）,2-5斜方向的应变及位移,1.斜方向的正应变N,问题：,已知，求任意方向的线应变N和线段夹角的变化。,设P点的坐标为(x，y)，N点的坐标为（x+dx，y+dy），PN的长度为dr，PN的方向余弦为：,于是PN在坐标轴上的投影为：,N点位移：,变形后的P1N1在坐标方向的投影：,设PN变形后的长度P1N1=dr，PN方向的应变为N，由应变的定义：,（2-11）,3.斜方向应变公式的应用,

11、（1）,已知一点的应变，可计算任意方向的应变。的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。,（2）,已知一点任意三方向的应变，可求得该点的应变分量。,若用45应变花测构件表面应变：,若用120应变花测构件表面应变，即：,求得该点的应变分量:,作为作业！,2-6物理方程,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,1.各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,（2-13）,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,（2

12、-15）,平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2),物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,（2-16）,平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,2-7边界条件,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,

13、2.边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界,三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界位移边界,用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,（2-17）,平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,（2）应力边界条件,给定面力分量边界应力边界,由前面斜面的应力分析，得,式中取：,得到：,（2-18）,式中：,l、m为边界外法线关于x、y轴的方向余弦。如：,平面问题的应力边界条件,垂直x轴的边界：,垂直y轴的边界：,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2