医学高等数学期末复习.ppt

1、高等数学期末复习,函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性,例：y=sinxx-1,2,非奇非偶函数,例：y=sinxx-1,1,奇函数,【注意】奇偶性是相对于定义域而言的。判断奇偶性时定义域必须关于原点对称。,复合函数,例.,复合的条件是什么？,例.,解:,它是由以下几个函数复合而成:,复合函数的分解,P29(3.8),例1,(消去零因子法),例2,(无穷小因子分出法),P29(3.7/3.10/3.9),例1,函数的连续性,定义1.设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.,则称f(x)在x0连续,x0称为f(x)的连续点.,包含的条件：,f(x)在x0处有定义；f(x)在x0的极限存在；f

2、(x)在x0的极限值等于f(x)在x0的函数值。,例,函数f(x)在x0处连续就一定在在x0处有极限吗？,连续与极限的关系,函数f(x)在x0处有极限就一定在在x0处连续吗？,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),注意,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,一、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,则称函数,若,的某邻域内

3、有定义,等价形式：,如果改写成：,应用情境：主要用于分段函数在分段点处的可导性判断。,例,二、隐函数的导数,若由方程,可确定y是x的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对x求导,(含导数的方程),三、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.目的是利用对数的性质简化求导运算。,-对数求导法,适用范围:,课本例,例,解,等式两边取对数得,极限,连续,导数,极限、连续与可导的关系,定理如果函数及都在点具有导数，则(1)(2)(3)微分,P68(3.4

4、),二、LHospital法则,未定式,利用这一法则，可以直接求,这两种,等其它类型的未定式的极限。,基本未定式的极限，也可间接求出,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(或型),本小节研究:,洛必达法则,1、,存在(或为),定理1.,型未定式,(洛必达法则),推论.,定理1中,换为,例1.求,2、,型未定式,存在(或为),定理2.,(洛必达法则),内容小结,洛必达法则,三、单调性与极值,步骤:,例,解,2、函数的最值,(1).求驻点和不可导点;,(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最

5、值.(最大值或最小值),例,解,得驻点,这些点处的函数值为：,比较以上各点处的函数值即可。,步骤:,一元积分学,微分,不定积分,定积分,极限,导数,积分上限函数,一、不定积分,不定积分的定义：,不定积分的计算方法,换元法凑微分法三角代换法根式代换不定积分法有理函数积分法,例求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,凑微分法：,例求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，如果是偶次项，需要进行降阶处理。,三角代换法：,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。,例求,解,令,（

6、三角代换很繁琐）,解,令,倒代换法：,当分母的阶较高时,可采用倒代换,例求,解,令,根式代换：,当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）,例求,解,令,分部积分公式,选择u、v的有效方法:ILAET选择法,I-反三角函数；,L-对数函数；,A-幂函数；,E-指数函数；,T-三角函数；,哪个在前哪个选作u.,反、对、幂、指、三角,排序在后者优先进入积分号,分部积分法,一些特殊的极限应用,例1：例2：例3：,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点M0处的切线,对x轴的斜率.,在点M0处的切线,斜率.,是曲线,对y轴的,一元复合函数,求导法则,一、多元复合函数求

7、导的链式法则,4.3.1多元复合函数的求导法则,4.3.1、多元复合函数求导法则,定理3.若函数,处有连续偏导数,则复合函数,偏导数，,推广:,设下面所涉及的函数都可微.,1)中间变量是一元函数的情形.例如,2)中间变量多于两个的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定y对x求导,表示固定v对x求导,口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,与,不同,例17.设,解:,例18.设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,例19.,解:,P163(3.1/

8、4.1/4.2).,2.一阶微分方程,F(x,y,y)=0，,y=f(x,y),1.变量可分离方程,解法：,分离变量法,2.齐次方程,(x+y)dx+xdy=0,(yx)dx+(x+y)dy=0,(xyy2)dx+(x22xy)dy=0,解法：令,即y=ux,则有,从而,变量可分离：,换元法,解1.解方程,解：令,即y=ux,则,即,分离变量得,积分得,回代,得,1.可降阶的高阶方程,二阶方程,F(x,y,y,y)=0,y=f(x,y,y),1.直接积分型:,y=f(x),解法:,例1.解方程,解:,推广：y(n)=f(x),2.不显含y型:,解法:,令y=p,则,则,设其通解为,p=(x,C1),则,故得,例2.解方程xy=y,解:,分离变量：,积分得：lnp=lnx+lnC1,所以p=C1x,或,解得,令y=p,则,例3.解方程(1+x2)y2xy=0,解：令y=p,则,分离变量,积分得ln|p|=ln(1+x2)+lnC,所以p=