解读高斯正十七边形的作法(上)#材料详实

1、解读高斯正十七边形的做法电子邮件： wwckq 126.com QQ :5460368一、高斯的传说高斯(卡尔Friedrich gauss 1777.4.301855.2.23 )，德国数学家、物理学家、天文学家。 有一天，小高斯在旁边看到作为水泥厂工头的父亲，计算了工人们一周的工资。 父亲算了一会儿，终于算出了结果。 但是，没想到从他身边传来孩子的声音“爸爸，你错了，总数应该是正确的”。 父亲吓了一跳，急忙再数了一遍，结果证明高斯的回答是正确的。 这时高斯才三岁！高斯上了小学，教数学的老师布勒是个态度不好的人，上课时不考虑接收学生的能力，有时用鞭子惩罚学生。 有一天，布拉德让全班同学计算了

2、一、二、三、四、五98、99、100=？ 的总和是：“谁算不了，不能回家吃饭！ ”. 布拉德认为做这样的主题需要时间，所以坐在旁边看小说。 孩子们“12=3，3=6，6=4=10，”的数量增加，计算变得困难。 但是不久高斯拿着写了答案的石板去了布拉德身边。 高斯这样说。 “老师，我结束了。 你是对的吗？“结束了吗？ 这么早就结束了吗？ 一定是乱搞的！ ”布拉德不抬起头，挥手说：“错了，错了！ 回去再算！ “高斯站着，把石板往前伸，“我的答案是对的。”布拉德抬起头来吓了一跳。 小石板上写着5050，没有错！ 高斯的算法是(1 100) (2 99) (3 98) (99 2) (100 1 )。

3、=101 101 101 101 101=101100=10100101002=5050。高斯不知道。 他用的这种方法其实是古代数学家经过长时间努力找到的和等差数列的和的方法，他才8岁1796年的一天，德国的盖廷根大学。 高斯吃了晚饭后，开始了领导单独布置的三道数学题。 前两个问题他做得很容易。 第三个问题写在另一张小纸条上。 只用圆规和没有刻度的尺子，要求做成正十七边形。 这个问题使他为难了学的数学知识，竟然解决这个问题没有用。 时间过了一分一秒，第三个问题没有进展。 他绞尽脑汁，用几个超常规的想法寻求答案。 当窗户出现希望之光时，他终于解决了这个难题。他把作业交给领导时，很惭愧。 他对领导

4、说：“你给我出的第三个问题，我熬夜做了。”领导看了作业后兴奋地说：“你不知道吗？” 你解开了有两千多年历史的数学悬案！ 阿基米不解决，牛顿也不解决，一夜就解决了。 你是真正的天才！ ”。原来，领导人也想解决这个问题。 那天，他写错了，把写这个主题的笔记交给了学生。在这件事之后，高斯回忆说：“如果有人告诉我，那是永远的问题，我可能永远没有信心解开它。”1796年3月30日，高斯差月十九岁时，在期刊上发表了关于正十七边形作图的问题。 他以此为荣，后来还要求在墓碑上刻上正十七边形。 但是，高斯的纪念碑没有刻十七边形，而是刻着十七边星。 雕刻纪念碑的雕刻家说：“正十七边形和圆太相似了。 雕刻后，谁都误

5、以为是日元”。1877年，布雷特奉汉诺威国王之命夺得高斯的纪念奖牌。 “汉诺威王乔治v .献给了数学王子高斯(georgius v.rexhannoveragematicoorumpricipi )，从那以后高斯被称为“数学王子”。二、高斯正十七边形比例作图的思考(纯三角法)建立正十七边形的关键是通过建立cos，为此建立解cos的方程式。设正17边形的中心角为，则17=2，即16=2-sin16=-sinsin16=2sin8 cos8=4合4cos 4cos 8=8合2cos 2cos 4cos 8=16 sin cos cos2 cos4 cos8因为sin 0，所以两侧除以sin16co

6、s cos2 cos4 cos8=-1由积化和差式得到4 (coscos 3)=-1展开4 (coscos 4coscos 12cos 3cos 4cos 3cos 12)=-1由积化和差式得到2 /cos 3co5 (cs11 cos 13) (coscos 7)=-1有cos11=cos6、cos13=cos4、cos9=cos8、cos15=cos22 (coscos 2cos 3cos 4cos 6cos 7cos 8)=-1假设a=2(cos cos2 cos4 cos8)、b=2(cos3 cos5 cos6 cos7)，则a b=-1另外，ab=2(coscos 2cos 4co

7、s 8)2(cos 3co5cos 6cos 7)4 cos(cos 3cos 6cos 7) 4cos 2(cos 3cos 6cos 7) 4cos 4(cos 3cos 6cos 7) 4cos 8(cos 3cos 6cos 7)进一步展开的16个项目，如果对这16个项目分别应用积分式和差分式，就可以cos 4cos 4，cos 4cos 6，cos 6cos 8，cos 3cos 7，cos 4cos 9，coscos 7 (cos 2cos 10) (cos 3cos 11) (cos 5cos 13) (cos 2cos 14)，cos9=cos8、cos10=cos7、cos1

8、1=cos6、cos13=cos4、cos14=cos3、cos15=cos2ab=24 (coscos 2cos 3cos 4co5cos 6cos 7cos 8)=-4。cos cos2 cos8=(cos cos) cos=2coscos-cos=2cos(cos-)又0所以cos即cos cos2 cos8 0另外，cos4=cos 0因此，a=cos cos2 cos4 cos8 0另外ab=-4 0有a 0、b 0能理解a=，b=。假设c=2(cos cos4)，d=2(cos2 cos8)。成为c=acd=2(cos cos4)2(cos2 cos8)=4(coscos 2cos

9、 8cos 4cos 2cos 8)=2(/coscos 3) (cos 7cos 9) (cos 2cos 6) (cos 4cos 12) 有cos9=cos8、cos12=cos5CD=2/coscos 3 (cos 7cos 8) (cos 2cos 6) (cos 4co5) =2(coscos 2cos 3cos 4co5cos 6cos 7cos 8)=-1。因为是0 2 4 8 。cos cos2、cos4 cos8二式加法运算cos cos4 cos2 cos8或者是2(cos cos4) 2(cos2 cos8)cd=-1 0有c 0、d 0能理解c=， d=。同样地，设e

10、=2(cos3 cos5)、f=2(cos6 cos7)。e f=bef=2(cos3 cos5)2(cos6 cos7)=4(cos 3cos 6cos 3cos 7co5cos 6co5cos 7)=2(cos 3cos 9) (cos 4cos 10) (cos 2cos 12)，有cos9=cos8、cos10=cos7、cos11=cos6、cos12=cos5ef=2(/cos 3cos 8) (cos 4cos 7) (cos 2cos 6) =2(coscos 2cos 3cos 4co5cos 6cos 7cos 8)=-1。因为是0 3 5 6 7 。有cos3 cos6、cos5 cos7二式加法运算cos3 cos5 cos6 cos72(cos3 cos5) 2(cos6 cos7)即e f、ef=-1 0有e 0、f 0能理解e=， f=。从c=2(