2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题22 几何体的表面积与体积的求解（讲）（原卷版）

1、专题22 几何体的表面积与体积的求解 从近几年的考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力预测2018年高考仍将以空间几何体的面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力1 几何体的表面积 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量

2、关系 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理 (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和1.1 多面体的表面积【例】【安徽省黄山市2020届高三一模)】一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为( )AB24CD【例】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A B C D1.2旋转体的表面积【例】【2020年上海市浦东新区高考一模】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A20 B24 C28 D32【例】一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底

3、面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_2 几何体的体积 1. 求体积常见技巧 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利 (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之 (2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，

4、可以将台体补成锥体研究体积 (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素 2.求体积常见方法 直接法(公式法)；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质：()底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；()高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；()用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方. 求多面体体积的常用

5、技巧是割补法(割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等. 3.常见的特殊几何体的性质2.1 几何体的体积给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种若所给几何体为不规则几何体，常用等积转换法和割补法求解【例】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B C D【例】【

6、福建省泉州市2020届高三质检】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为A B C D【例】设，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为ABCD 【例】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，且，为的中点，(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积2.2关于球的切、接问题解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的【例】【2020届陕西省西安市高三上学期期末】 九章算术中

7、，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是( )ABCD1【例】在封闭的正三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若AB6，AA14，则V的最大值是( )A16 B323 C12 D43【例】【2020届河北省唐山市高三上学期期末】已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球面面积为( )A42 B48 C54 D60【例】已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为A. B. C. D. 【例】【河南省洛阳市2020届高三统考

8、】已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A-BCD的外接球，BC=3，AB=23，点E在线段BD上，且BD=6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A34,4 B54,4 C74,4 D114,4【例】若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_【例】若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.【反思提升】综合上面的两种种类型，我们可以概括出在解决几何体的表面积与体积问题中的方法与技巧：1.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行2求体积时应注意的几点： (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决 (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性