工程力学3运动学

1、第二篇 运动学,任务: 运动学单纯从几何观点描述物体在空间的位置随时间变化的 几何性质运动方程、轨迹、速度、加速度等。,运动的相对性： 参照物-参考体-参考坐标系-参考系 对任何物体运动的描述都是相对的。,点、刚体,第6章 点的运动,1.点的直线运动,轨迹：点所走过的路线,x,o,x = x（t）,运动方程：,平均速度：,加速度：,速度：,在直线运动中, v、a 都是代数量，当v、a 同号时，点作加速运动，否则反之。,建立点的运动方程是描述点运动几何性质的关键。,若a为常量,则有:,例:曲柄连杆机构如图,求滑块B的运动规律、速度及加速度。,解： 分析要求点的轨迹若为直线运动，则建立直线轴x，取

2、一 固定点作为原点，将要求点置于坐标轴上任意位置（不要放在特殊 位置），标出动点在坐标轴上的位置坐标x，纯粹用几何方法找出x 的长度，并表成时间t 的函数，即为运动方程。,x,x, x = rcost+ lcos,而,v、a 同学们自己求。,2.点的曲线运动,一. 矢径法:(用于理论推导),M,r = r (t),运动方程：,矢端所描出的曲线即为M点的轨迹.,平均速度:,速度:,加速度：,二、直角坐标法(多用于轨迹为未知之情形),r,r =xi+yj+zk,（x，y，z）,（x， y， z）,x = x（t）,y = y（t）,Z = z（t）,运动方程：,例：半径为r的圆轮放在粗糙的水平 面

3、上，轮心A以匀速v0前进，求轮 缘上任一点的运动规律。,解：在轮缘上任取一点M（不能是特殊点）；,x,y,找一固定点O建立直角坐 标，标出M点的位置坐标；,D,B,C,纯粹用几何方法找出该坐标的长度， 最终表为时间t的函数-即为运动方程。,x=OC=OB-CB,y=MC=AB-AD,=vot-rsin,=r-rcos,速度、加速度请同学们做。,三、自然坐标法(用于轨迹为已知之情形):,1、弧坐标、运动方程,S,(+),s=s(t),S：弧坐标,运动方程：,自然法：用弧坐标描述点运动的方法 称为弧坐标法或自然坐标法， 简称自然法。,2、曲率、自然轴系,T ,把MM 段曲线的平均弯曲程度用K*表示

4、,K*,s,= ,平均曲率:,曲率:,曲率半径:,r,自然轴系: 对于空间任意曲线,其上任一点都有自己的切线和法线,以弧坐标增加的方向规定为切线的正向,沿切线的单位矢量记为,规定过切点指向曲率中心的方向为主法线方向,沿主法线的单位矢量记为n,再取 b= n 为第三个矢量,称为付法线,此三轴即为自然轴系. 自然轴系为流动坐标系，其原点随点M的运动而运动， 、n 、b是变矢量,其方向随点M的运动而改变。,b,n,(+),3、速度,(+),O,4、加速度,(+),n,C,e,字母顶上加“”表示矢量，以下同。,切向加速度:,法向加速度:,全加速度:,全加速度始终位于曲线内凹的一侧.,特殊地: =, a

5、n=0 ,直线运动, a=a, 直线运动不必表为弧坐标.,.v=常量, a=0 ,匀速曲线运动, a=a.n,.匀变速曲线运动, a=常量, 则有:,例1: 点作平面曲线运动,速度为v,其加速度a与曲率圆所截的弦MA=l,求证此时,解:依题意画图,C,A,M,l,r,a,v,例2: 点作平面曲线运动,其速度v在某一固定方向的投影为常量C, 求证其加速度 ,为曲线在M点处的曲率半径.,M,v,n,y,x,解:依题意画图,a,两式相除即得结果.,概念题 ： 点M做直线运动，其运动方程曲线为x-t曲线，问速度曲线v-t有几处明显错误?,答:t=0 ， v0 t=t1 ， v=0 t=t2 ， v=0

6、 t1t t2 ， v 0 tt3 ，v=C,M,v 沿切线,判断正误: 点M的运动方程为x =A sint , A、为常数，则M点的轨迹必为正弦曲线。 左图中动点M作加速运动，右图中动点M作减速运动,.,a 沿法线,.,v 沿切线,a,M,下列三图中，点沿已知曲线运动，图上标注的 v、a 是否可能?,v沿切线,a,v,a,v,a,切线,切线,概念题 ： 1)点做何种运动，出现下列情况之一： 2）点M沿螺线以匀速v自外向里运动，问该点运动的加速度是越来越大？还是越来越小？,匀速直线运动,.,v,M,匀速曲线运动,直线运动,概念题 ： 1)图示点沿曲线(不是直线)运动，已知 a 为常矢量。问点作

7、下列何种运动？ 匀变速运动。 非匀变速运动。 匀速运动。 2）判断正误 点作直线运动时，必有 点作匀速曲线（不是直线）运动，则 （a） a =0 （b） =常矢量 （c） =常量 （d） v =常矢量,a,例：点沿抛物线 y2=4px 运动，沿y方向的速度为常量C，求vx及加速度 a 。,解：轨迹方程两边对 t 求导，,例：点沿半径为R的圆周作匀加速运动，v0=0，全加速度 a 与切线的夹角为，以表示点所走过的弧 s 所对的圆心角，求证： tg=2,解：根据题意画图：,两式相除：, tg=2,例：点沿半径为R的圆弧运动，v在直径AB方向的投影u是常数，求点M的vM及aM与的关系。,解：,解：A

8、作直线运动，,两端对时间求导：,同学们自己求。,第7章 刚体的简单运动,1 . 刚体的平行移动(平动),刚体的平动 : 如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动.,平面平行四连杆机构,o,当刚体平行移动时,其上各点的轨迹形状相同;在同一瞬时,各点的速度、加速度也分别相同. 研究刚体的平动可以归结为研究刚体内一点的运动.,2 .刚体绕定轴的转动,转动 : 如刚体在运动过程中,其中只有一条直线保持不动, 则这种运动称为刚体绕定轴的转动,简称转动. 这条不动的直线,称为刚体的转轴,简称轴.,转角:,=(t),转动方程:,角速度:,角加速度

9、:,当角加速度为常量时，有:,3 .转动刚体内各点的速度和加速度,s,转动刚体内任一点的速度大小,等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积,它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方.,v,切向加速度:,法向加速度:,全加速度:,速度:,a,an,a,4 .轮系的传动比,传动比：,转速 转/分， ； 角速度,2）两齿轮啮合时： 接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定 接触点的切向加速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定,3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线,4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同,练习题：图示连续印刷过程，纸厚为b，以匀速v水平输送，试以纸卷的

10、半径表示纸卷的角加速度。,解：,练习题：一飞轮绕固定轴O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的夹角恒为600，当运动开始时，其转角0=0， 初角速度为 0，求飞轮的转动方程及角速度与转角的关系。,解：,两式相除：,点的合成(复合)运动,1. 基本概念,点的合成运动研究一个点相对于两个完全不同的坐标系的运动及其 之间的关系.,点的合成运动研究一个点相对于两个完全不同的坐标系的运动及其之间的关系.,绝对运动,牵连运动,相对运动,点的运动,点的运动,刚体的运动,牵连点:动系上瞬时与动点重合的点.,绝对速度 va,绝对加速度 aa,相对速度 vr,相对加速度 ar,静系通常固结于地面

11、,牵连点相对于静系的速度、加速度分别称之为牵连速度ve和 牵连加速度ae。,2 .点的速度合成定理,M1,动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。,例1:凸轮半径为R,沿水平面以匀速v0向右 运动,求=600时杆AB的速度.,解:,.正确地选取并明确地指出动点和动系： 动点和动系不能在同一刚体上； 在某一物体上，动点相对该物体的位置应是不变的点； 动点的相对运动轨迹要清晰可辨； 常取两物体的接触点、滑块、套筒、小环、小球等为动点。,对动点进行速度分析并图示,列出速度合成 定理,常用几何法求速度。,动点: A,(AB上),动系: 凸轮,.分析三种运动:,绝对运动:,直线

12、运动;,相对运动:,曲线运动;,牵连运动:,平动,va,ve,vr,解：动点M，动系OD杆,t =1s 时，=300,例3 ：杆OA长l，在推杆BCD以匀速u 的推动下绕O转动，求当OC=x时，杆端A的速度，表为x的函数。,解：动点B，动系OA。,例4 ：OA杆绕O转动，=t / 6 （rad），小环M套在OA杆和半径为 r = 6cm 的固定大圆环上，求当t=2秒时，小环M 的va、 ve、 vr 。,解：动点M，动系OA，牵连为转动，,3. 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,M ,绝对轨迹,相对轨迹,推导有中间过程, 略,上式为矢量式,最多可能有六项:,一般用投影式求解.,例:凸轮半径为

13、R,沿水平面向右运动,当=600时凸轮的速度为u,加速度为a,求此时杆AB的加速度.,解:解题思路与求速度同, 求加速度时一般应先求速度.,在上例中,速度已经求出,为,动系: 凸轮,列出加速度合成公式:,?,将上式向不要求的未知量的垂线方向投影,若要求ar则可将加速度 矢量式向另一轴投影.,注意!矢量等式投影时, 两端各自投影, 等号照搬。,例:凸轮半径为R,沿水平面向右运动,当=600时凸轮的速度为u,加速度为a,杆OA长l,此时与铅直线的夹角 为300,求此时杆OA的角加速度OA.,解.,动系: 凸轮,将上式向不要求的未知量的垂线方向投影,?,练习题：图示倾角为=30o的尖劈以匀速u=20

14、0mm/s沿水平面向右运动，使杆OB绕定轴转动，,解：速度分析如图,牵连为平动，加速度分析如图,练习题：半径为R的固定半圆环和可以水平移动的竖直杆AB用小环M套在一起，位于同一平面内。已知AB向右的速度为常数u，求图示位置时，小环M的绝对加速度的大小和方向。,解：速度分析如图,牵连为平动，加速度分析如图,练习题：杆OA长40cm，以匀角速=0.5rad /s 绕O转动，求当=300时，曲杆BC的速度和加速度。,解：动点A(OA上)，动系BC。,牵连为平动，,练习题：十字型套筒K套在固定杆AB和铅直杆CD上，曲柄OC=32 cm并以=t /4 的规律绕O转动，求当t=秒时套筒K的加速度。,解：动

15、点套筒K，动系CD，牵连为平动。,4. 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,其中,ak为科氏加速度,由动系的转动和相对运动共同作用所致.,加速度合成式为矢量式,最多可能有七项:,一般用投影式求解.,动系平动时:,速度:,动系转动时:,方向:,大小:,也可将vr沿的转向旋转900即是.,(推导略),例:弯成直角的曲杆OAB以常角速绕O转动,设OA=r,求=300时CD杆的速度和加速度.,解: 动点:C(CD上), 动系:OAB,?,注意!不要掉了ak,例:弯成直角的曲杆OBC绕O转动，小环M同时套在曲杆和固定杆OA上，已知，OB=10cm，曲杆的角速度= 0.5 rad / s，求当=600 时

16、小环M 的速度和加速度。,解：动点小环M，动系曲杆，牵连运动为转动。,动系转动时:,将上式向图示轴投影：,?,刚体的平面运动,1 基本概念,定义: 在刚体运动的过程中，刚体上的任一点(每一点)与某一固定平面间的距离始终保持不变。这种运动称为刚体的平面运动。,1 基本概念,一.定义:在刚体运动的过程中，刚体上的 任一点(每一点)与某一固定平面间的距离始终保持不变。这种运动称为刚体的平面运动。,二.平面图形:,刚体,点,直线,该直线方位不变,平动,该点代表该直线上所有点,过该点作平面,上无数个点,代表了无数条直线,形成,该刚体,平面图形,o ,(xo,，yo,),三.运动方程:,四.运动的分解:,

17、在平面图形上任找一点0， 称之为基点，则刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕该基点的转动两部分。其平动与基点的选择有关，而转动与基点的选择无关。,即:平面运动中的转角、角速度、角加速度与基点的位置无关！,2 . 平面图形上各点的速度,平面图形上任一点的速度等于随任选基点的平动速度与绕该基点的转动速度的矢量和.,1.基点法,其中:,其方向垂直于AB,例:曲柄连杆机构如图所示,OA=r，以匀角速绕O转动，AB=l，求当=300时滑块B的速度。,基点法既可以求刚体上任一点的速度,也可以求刚体作平面运动的角速度.,其中AB为刚体平面运动的角速度。,解：解题思路 将系统置于待求瞬时的位置，而不要放在

18、一般位置；分析各构件的运动类型及整个机构运动的传递过程，从运动为已知的构件开始，分析关键连接点的速度、加速度，并标注在图上；重点研究作平面运动的构件，逐步从已知过渡到未知。,这里，AB作平面运动，A点的速度已知。,二.速度投影法,刚体上任意两点的速度在该两点的连线上投影相等. 称之为速度投影定理.,速度投影定理主要用于已知刚体上两点速度的方向及其中一点速度的大小,求另一点速度的大小，但不能用来求角速度。,例：题目同前。,例：四连杆机构如图，AB=BC=CD=l，AB的角速度为0 ，求当1= 2 =60o时，CD杆的角速度D 。,三 .求平面图形上各点速度的瞬心法,此时，刚体可以看作是绕C点作瞬

19、时转动。把速度瞬时为零的点称为速度瞬时中心，简称瞬心。,若能找到一点C，且有VC=0，则以C点为基点，有：,刚体平面运动时，任意瞬时都唯一确定地存在着瞬心。,找到瞬心后，刚体即可看作是绕瞬心作瞬时转动。刚体上任一点的速度就等于刚体绕瞬心作瞬时转动的速度。,确定速度瞬心的几种典型情况：,1.已知刚体上两点速度的方向,且不平行:,过两点作速度的垂线 ,交点即为瞬心.,2.平行但不相等:,3. 凸轮在固定面上只滚不滑时:,接触点即为瞬心.,瞬心法既可求速度,也可求角速度.,4. 瞬时平动:,该瞬时,瞬心在无穷远处(或无瞬心),刚体上各点速度均相等,角速度AB=0,但角加速度AB0.,例:机构如图所示

20、,OA=r，以匀角速绕O转动，AB=l，求当=600、OAB=900时轮缘上最高点D的速度。轮半径为R，在地面上作纯滚动。,解:,BC,C为轮B的瞬心,有:,AB作平面运动,用速度投影定理求VB:,请思考:当=900时vD=?,3 . 平面图形上各点的加速度,平面图形上任一点的加速度等于随任选基点的平动加速度与绕该基点的转动加速度的矢量和.,(求加速度只有)基点法:,其中:,方向垂直于AB,动系平动时:,方向沿BA,加速度合成式为矢量式，最多可能有六项:,一般用投影式求解.,例：半径为R的圆轮沿直线轨道作纯滚动，已知某瞬时轮心的速度为v0，加速度为a0，求轮子上与轨道的接触点C的加速度。,解：

21、轮心O的加速度已知，则以O为基点求aC,O,大小,方向,？,？,？,轮心O点作直线运动，有：,将加速度矢量式投影：,沿直线轨道只滚不滑的圆轮其 速度瞬心的加速度为：,其方向由瞬心指向轮心,练习题:杆长AB=l，图示位置时，vA、aA已知，求此时的AB 、AB、 vB、aB 。,解：AB的瞬心位于P点，该瞬时：,将上式向BA方向投影：,将上式向BP方向投影：,练习题:杆AB=l， OA= r， = 300 ，图示位置时，OAAB，此时的 =0 、= 0 ，求 vB、aB 。,解：AB的瞬心位于P点，该瞬时：,将上式向BA方向投影：,.平动刚体上的( )始终保持不变 .平面运动刚体上的( )始终保

22、持不变,任一条直线的方位,任一点到某一固定平面的距离,刚体的平面运动综合练习,概念题: (1)平面运动通常可以分解为_动和_动， _动与基点的选择无关? _动与基点的选择有关? (2).如图已知作平面运动的刚体上A点的速度vA，则B点的速度可能为图中的哪一种_?,平,平,转,转,概念题: (1)平面图形某瞬时的角速度，角加速度，速度瞬心为C， 则 1). vA= vB+ _ 2). aA= aB+ _ 3). vA=AC_ 4). vB=_ 5). AB2=_ 6). AB=_,vAB,aAB,CB,vA=0,概念题: （1）判正误 ： 已知某瞬时平面图形作瞬时平动，则下列表达式是否正确？,0

23、,（2）图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位于轮上最高点，则此时圆轮的角速度0= ？杆的角速度AB= ？,概念题:,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。,概念题:,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。,概念题:,找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。,练习题:机构在图示瞬时， 求该瞬时滑块C的绝对速度vc，滑块B相对于O2D的相对速度vr，O1A的角速度1，AB的角速度AB。,解：该瞬时，AB瞬时平动。,练习题:图示机构， OA= 2a， 在图示位置时，OB=BA，OAAC， 求此时套筒D相对于BC杆的速度。,解：分别求出套筒D和杆BC的速度，之差即为相对速度。,练习题:图示机构中，C作纯滚动，曲柄O1A以匀角速绕轴O1转动，且O1A=O2B=l，BC=2l，轮半径R=l/4，求图示位置时轮的角速度C 。此时，O1O2B=900。,解：综合题，先考虑合成运动，,动点A，动系O2B,练习题:图示机构，已知 vA =0.2m/s， AB=0