工程力学11章

1、第11章 压杆的稳定性分析与设计,稳定性失效概念 细长压杆、屈曲失效、临界载荷 欧拉公式、长细比、临界应力总图 稳定性计算，提高稳定性的措施,桁架中的压杆,细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，又称为屈曲失效。,什么是受压杆件的稳定性，什么是屈曲失效，按照什么准则进行设计，才能保证压杆安全可靠地工作，这是工程常规设计的重要任务之一。,本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括：平衡构形、平衡构形稳定与不稳定的概念以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支

2、承条件下弹性压杆的临界力。最后，本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法安全因数法。,11.1 弹性平衡稳定性的基本概念,结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。,11.1.1 平衡位置的稳定性和不稳定性,承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形直线的平衡构形、弯曲的平衡构形。,压杆的两种平衡构形,稳定平衡与不稳定平衡,给一干扰力Q使杆微弯,受力后杆仍然维持平衡构形,当干扰力Q解除后，若杆件能够恢复到原有平衡构形稳定平衡。若不能够恢复到原有构形（仍保持平衡）不稳定平衡。,判别弹性平衡稳定性的静力学准则,不

3、稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其它平衡构形。 例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程称为屈曲或失稳。 通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。,11.1.2 临界状态与临界载荷,稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个过程。 介于这个过程之间的平衡构形临界平衡构形,处于临界状态时，杆件所受的施压载荷称临界载荷，记：FPcr,或称：“临界状态”,11.1.3 三种类型压杆的临界状态,压杆的分类：,细长杆,中长杆,粗短杆,当FpFpcr时不发生屈曲 当Fp Fpcr时容易发生

4、弹性屈曲,当FpFpcr时发生屈曲，但不再是弹性的,不会发生屈曲，失效属于强度破坏,三种压杆的失效形式不同，临界载荷当然也各不相同。,当FPFPcr时，0，这表明当无限接近临界载荷时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内存在微弯的屈曲平衡构形。,根据这一平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程，以及端部约束条件，即可确定临界载荷。,11.2 细长压杆的临界载荷欧拉临界力,11.2.1 两端铰支的细长压杆,假设压力FP无限接近临界力FPcr，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡,M (x) = FP w (x),微分方程的解,w =Asinkx + Bcoskx,边界条件,w (

5、0 ) = 0 , w( l ) = 0,根据“线性代数”知识，上述方程中A、B的系数不全为零的条件是方程组系数行列式等于零：,最小临界载荷,由此得两端铰支细长杆临界力计算公式,得到屈曲位移函数,w =Asinkx + Bcoskx,其中A为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的量。这与开始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一致的。,11.2.2 其他刚性支承细长杆临界载荷的通用公式,压杆的通用式欧拉公式,(11-2),式中：,ml有效长度（相当长度） m长度系数（支座影响系数） EI最小抗弯刚度,问题的提出：4根材料和直径相同，但是长度不同、支承不同的压杆, 能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临

6、界载荷？, 四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？,11.3 长细比概念 三类不同压杆判断,11.3.1 长细比的定义与概念,欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限,其中称为cr临界应力； p为材料的比例极限。,能否在计算临界载荷之前，预先判断哪一类压杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要引进长细比的概念。,长细比,令：,l杆件的柔度，又称长细比。无量纲 性质：与约束、长度、截面尺寸及形状相关。,用柔度表示的细长杆临界应

7、力公式,11.3.2 三类不同压杆的区分,因，屈曲在弹性范围内导出,在比例极限内有效,令：当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”,大柔度杆当p时，压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为大柔度杆或细长杆。,小柔度杆当两铰1.0自由2.0, 合理选择截面形状,当压杆两端在各个方向上都具有相同的约束条件时，压杆将在刚度最小的主轴平面内屈曲。这时如果只增加截面某个方向的惯性矩，并不能提高压杆的承载能力。 对于一定的横截面面积，正方形截面或圆截面比矩形截面好；空心正方形或圆环形截面比实心截面好。,A实=A空，I

8、实I空,当压杆端部在不同的方向上具有不同的约束条件时，应采用最大与最小主惯性矩不等的截面（例如矩形截面），并使压杆在惯性矩较小的方向具有较刚性的约束，尽量使压杆在两个主惯性矩方向的柔度相互接近。, 合理选用材料,在其他条件均相同的情形下，选用弹性模量E数值大的材料，可以提高大柔度压杆的承载能力。 对于细长钢制压杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷的影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。但是，对于粗短杆或中长杆。其临界载荷与材料的比例极限和屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。,正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准则进行稳定性计算

9、或稳定性设计。,微型钢制圆轴，在室温下安装，这时轴既不沿轴向移动，也不承受轴向载荷，当温度升高时，轴和机架将同时因热膨胀而伸长，但二者材料的线膨胀系数不同，而且轴的线膨胀系数大于机架的线膨胀系数。请大家分析，当温度升高时，轴有没有稳定问题？,11.6.4 稳定性计算中的几个重要问题,要根据压杆端部约束条件以及截面的几何形状，正确判断可能在哪一个平面内发生屈曲，从而确定欧拉公式中的截面惯性矩，或压杆的柔度。,两端球铰约束细长杆的各种可能截面形状，请读者自行分析，压杆屈曲时横截面将绕哪一根轴转动？,确定压杆的柔度，判断属于哪一类压杆，采用合适的临界应力公式计算临界载荷。,根圆轴截面压杆，若材料和圆截面尺寸都相同，请大家判断哪一根杆最容易失稳？哪一根杆最不容易失稳？,应用稳定性设计准则进行稳定安全校核或设计压杆横截面尺寸。,设计压杆的横截面尺寸时，由于截面尺寸尚未已知，故无从计算柔度以及临界载荷。这种情形下，可先假设一截面尺寸，算得柔度和临界载荷，再校核稳定设计准则是否满足，若不满足则需加大或减小截面尺寸，再行计算，一般经过几次试