高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 平面解析几何(学生版)

1、平面解析几何一、高考预测解析几何的主要内容主要是直线和方程、圆和方程以及空间直角坐标系。这部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何知识体系中占有重要地位。然而，由于高中平面解析几何的主要内容是二次曲线和方程，这部分高考的分数并不多。在高考中，考查直线与方程、圆与方程的基本问题通常是一道选择题或填空题。它倾向于检查直线和圆的组合，并且试题不难。直线方程和圆方程的深入检验与圆锥曲线相结合。从近年高考的情况来看，解析几何的初试是稳定的。预计2012年这部分考试仍将考查直线和圆的基本知识和方法，带有选择题或填空题，而这部分知识的应用将在解析几何答题中进行考查。圆锥曲线和方程是高考的核心内容之一。在高考

2、中，一般有1 2个选择题或填空题，以及一个答题。选择题或填空题旨在考查椭圆、双曲线、抛物线、标准方程、简单几何性质的定义及其应用。试题主要针对二次曲线本身，综合性差，难度小。答案问题主要基于椭圆，检查椭圆方程的解，检查直线和曲线之间的位置关系，检查数学思维方法，如数形结合、函数和方程、等价变换、分类和积分等。这个问题通常是试卷的最后一道题。由于二次曲线和二次方程是传统的高中数学主干知识，它们在高考命题中已经相对成熟，考试形式和试题的难度和类型也相对稳定。预计2012年仍将是这种考试方式，不会有重大变化。解析几何的知识主线非常明确，即线性方程、圆方程、圆锥方程及其简单的几何性质。复习解析几何时，

3、不仅要关注知识，还要深入到解题方法和思路。解析几何中基本的解题方法是用代数方程方法研究直线和曲线的一些几何性质。代数方程是解决问题的桥梁。必须掌握一些解方程(组)的方法，掌握二次方程知识在解析几何中的应用，掌握用维埃塔定理代替整体的解题方法。数学思维方法在解析几何问题中起着重要的作用，首先是数和形的结合，然后是思想、函数和方程的分类讨论、归约和变换思想。例如，解析几何中的最大值问题通常是建立一个函数来求解目标，而几何中的最大值是通过函数的最大值来研究的。复习解析几何时，应充分强调数学思维方法的应用。二。知识引导(a)直线方程1.点斜型：2。拦截类型：3.两点公式：4。拦截类型：5.通式：其中A

4、和B不同时为0。(2)两条直线之间的位置关系两条直线有三种位置关系：平行(无公共点)；交点(只有一个公共点)；巧合(有无数共同点)。在这三种位置关系中，我们侧重于平行和相交。设置直线：=，直线：=，然后的充要条件是=，和=；的充要条件是=-1。(3)与圆相关的问题1.标准圆方程(r 0)是一个叫做圆的标准方程，它的中心坐标是(a，b ),半径是r。特别是，当圆心在原点(0，0)且半径为r时，方程对称性：分别绕X轴和Y轴轴对称，绕原点对称。椭圆的对称中心称为椭圆中心。(3)顶点：有四个(-a，0)，(a，0)(0，-b)，(0，b)。线段分别称为椭圆的长轴和短轴。它们的长度分别等于2a和2b，A

5、和B分别称为椭圆的长轴和短轴。因此，椭圆和它们的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点。(4)偏心率：椭圆焦距与长轴长度之比称为椭圆偏心率。它的值表示椭圆的平坦度。当0 e 1。e越接近1，椭圆越平坦。相反，E越接近0，椭圆越接近圆。2.椭圆的第二种定义(1)定义：移动点m和平面中顶点之间的距离与其到固定直线的距离之比是常数(当e 1=该移动点的轨迹是椭圆形时)。准线：根据椭圆的对称性，( 0)有两条准线，它们的方程(6)是椭圆的参数方程椭圆( 0)的参数方程为(为参数)。注这里的参数称为椭圆的偏心角。椭圆上的点P的偏心角不同于直线OP的倾斜角:椭圆的参数方程可以通过与三角恒等式的比较得到，因此椭圆

6、参数方程的本质是三角代换。(7)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面上运动点的轨迹，其与两个固定点的距离之差的绝对值等于常数2a(小于| | ),称为双曲线。在这个定义中，注意条件2a | |，则没有轨道。如果 h，轨迹就是双曲线的另一个分支。双曲线由两个分支组成，所以应该定义为“差值绝对值”。2.双曲线的标准方程：和(a 0，b 0)。这里，这里|=2c。应该注意a，b，c之间的相似和不同，以及它们之间的关系和省略号。3.双曲线的标准方程是这样确定的：如果项的系数为正，则焦点在X轴上；如果项的系数为正，则焦点在y轴上。对于双曲线，a不一定大于b，所以不可能通过比较分母来确定焦点在哪个坐标

7、轴上，就像椭圆一样。4.要找到双曲线的标准方程，应注意两个问题：(1)正确判断焦点位置；标准方程建立后，用待定系数法求解。(8)双曲线的简单几何性质1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，偏心率 1，偏心率e越大，双曲线的开口越大。2.双曲线的渐近线方程表示为。如果双曲线的渐近线方程是已知的，也就是说，那么双曲线方程有以下形式：，其中k是不为零的常数。3.双曲线的第二个定义是：一个点的轨迹，其在平面上从一个固定点(焦点)到一条固定直线(准线)的距离之比是一个大于1的常数(偏心率)，称为双曲线。对于双曲线，其焦点坐标为(-c，0)和(C，0)，对应的准线方程分别为和。在双曲线中，四个元素A、B、

8、C和E相互关联，确定双曲线的标准方程，如椭圆，只需要两个独立的条件。(9)抛物线的标准方程和几何性质1.抛物线的定义：平面上一点的轨迹与某一点(F)和某一直线(L)的距离相等，称为抛物线。这个固定点f叫做抛物线的焦点，这个固定的直线l叫做抛物线的准线。应该强调的是，点F不在直线L上，否则轨迹是穿过点F并垂直于L的直线，而不是抛物线。2.有四种类型的抛物方程：对于上述四个方程，应注意它们的规律：哪一个轴是曲线的对称轴，方程中的项是主要项；如果第一项是prec(3)顶点：o (0，0)，注意：抛物线也叫无心圆锥曲线(因为没有中心)；(4)偏心率：e=1，因为e是常数，抛物线的形状变化由方程中的p决

9、定；(5)准线方程；(6)焦点半径公式：抛物线上的点P(x1，y1)，f是抛物线的焦点，四个抛物线的焦点半径公式为(p 0):(7)焦点弦长公式：对于抛物线焦点上的弦长，可由焦点半径公式推导出弦长公式。如果通过抛物线焦点f的弦y2=2px (p o)是ab，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的倾角是，则有|AB|=x x p 以上两个公式仅适用于求通过焦点的弦长。对于其他和弦，只能使用“和弦长度公式”。(8)直线和抛物线的关系：将直线和抛物线方程组合后，得到一元二次方程：x bx c=0。当a0时，确定直线和抛物线之间的位置关系与确定椭圆和双曲线的位置关系相同，可以使用判别法。然而，如果

10、a=0，则直线是抛物线的对称轴或平行于对称轴的直线。在这种情况下，直线与抛物线相交，但只有一个公共点。(十)轨迹方程(1)曲线上各点的坐标都是该方程的解；以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点。这个方程叫做曲线方程。这条曲线被称为方程的曲线(曲线或轨迹)。有关注意事项1.(1)直线的斜率是一个非常重要的概念。斜率K反映直线相对于X轴的倾斜程度。当斜率K存在时，直线方程通常表示为点斜型或截断型。当斜率不存在时，直线方程为x=a(aR)。因此，在用直线的点斜型或截断型方程求解问题时，应分别考虑斜率K的有无。直线的截距公式是两点公式的特例。a和B分别是直线在X轴和Y轴上的截距。因为a0和b0，当直线平

11、行于X轴、平行于Y轴或直线通过原点时，其方程不能用截距公式求解，而应该用其他形式求解。(3)如果没有特别强调，解线性方程的最终结果应该写成一个通式。(4)当直线的斜率不存在或不存在时，通过绘图很容易确定两条直线是平行的还是垂直的(5)在处理与圆有关的问题时，除了合理选择圆的方程外，还应注意圆的对称性等几何性质的应用，这样可以简化计算。2.(1)当用待定系数法求椭圆的标准方程时，有必要区分焦点是在X轴上还是在Y轴上，或者两者都在。(2)注意椭圆的定义及其性质的应用，熟练地进行A、B、C、E之间的相互计算，并根据给定的方程画出椭圆。(3)寻找双曲线的标准方程应注意两个问题：(1)正确判断焦点的位置

12、；(2)设置问题(光的反射)；注意证明曲线过不动点的方法(两种方法：变量特殊化和分离)2。注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用平面上圆的相关定理，如截线定理、相交弦定理和垂直直径定理来解决问题。应注意将从圆上的移动点到固定点和固定直线的距离的最大值转换为从圆心到它们的距离。注意圆的内接四边形和正弦定理及余弦定理的一些性质。以通过某一点的线为弦的面积最小的圆以线段为直径，而面积最大的圆以该点为线段的中点。3.注意圆与椭圆、三角形与矢量的结合(注意加减转换、模数转换和夹角转换，然后考虑坐标转换)；4.注意在平面上构造一个三点模型来寻找最大值。一般来说，涉及“和”的问题具有最小值，而涉及“差”

13、的问题具有最大值。最大值只能在三个点共线时获得。5.熟悉求解椭圆方程、双曲方程和抛物方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：当焦点在轴上时，焦点在轴上时，焦点在轴上；注意抛物方程到标准形式的转换(即2p、p和的关系)；注意使用比例思维，减少变量，不知道焦点位置，可以把椭圆方程设为。6.巧用圆锥曲线的第一和第二定义解决问题；熟悉计算偏心率的问题和方法，特别提醒人们在求解二次曲线方程或偏心率问题时，要用比例思维方法来减少变量。7.注意圆锥曲线最大值的范围：不等式的条件是：“方法”；(2)偏心范围；(3)自变量的范围；(4)曲线上从点到顶点、焦点和准线的范围；应该

14、注意找出两个变量之间的关系，用一个变量来表示另一个变量，把它转换成一个单一的变量，建立一个关于参数的目标函数，并把它转换成函数的范围。问题的条件和结论能明显反映几何特征和意义。可以考虑数字和形状相结合的方法。应注意曲线上点坐标(x，y)的取值范围、偏心距范围和根的判别式范围。8.求解轨迹方程的常用方法：直接法；(2)几何方法；(3)定义方法；相关点法；9、注意向量法的使用，注意垂直、平行、中点等条件都以向量形式给出；注意向量表达式的合理变形；应该特别注意角度问题，这个问题可以用矢量积来解决。10.注重对存在问题和探索问题的研究，注重从特殊到一般的方法。三、易犯错误点的收尾点从命题角度1审视椭圆

15、相关知识1.将椭圆的两个焦点分别设置为F1和F2。作为椭圆长轴的垂直交点F2在点P处与椭圆相交。如果FlPF2是等腰直角三角形，则椭圆的偏心率为()对症下药如果c将双曲方程设为=1，则c=5，a2=20 b2=5，a=2 b=，双曲渐近线的斜率为=3.如果从集合1，2，3 中选择两个元素.11如图所示，l与椭圆和双曲线的交点是A(x1，y1)，B (x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，即=3所以x1 x2=-From (1-k2)x2-2bkx-(b2 1)=0(2)如果k=1，l和双曲线之间最多有一个交点，这与问题的含义不一致，所以k1所以x3 x4=，从x3-x1=x2-x4 x1 x2=x3 x4-bk=0或b=0(1)当k=0，x1来自(1)，2=x3来自(2)，4=from=3(x4-x1)时，也就是说，l的等式是y=(2)当b=0，x1和2=(1)并且x3和4=3(x4-x3)来自(2)时，即，总而言之，直线l的方程是：y=【专家脉冲】在设置带斜截面的直线方程时，没有注意到斜率的存在，导致了片面的思考和解的缺失。解决方案1:首先讨论当L不垂直于X轴的情况。如图所示，l与椭圆和双曲线的交点是：A(x1，y1)，B(