数学（心得）之数学知识的特征与学习方式的有效选择

1、数学论文数学知识的特征和学习方式的有效选择新课程强调自主、合作、探索等学习方式，有助于培养学生的创新精神和实践能力。 但是，只有这种学习方式是不够的。 因为数学知识有不同的特征。 本文主要论述数学知识的特征，而且不同特征的知识需要选择不同的学习方式：有的应该接受学习方式，有的应该探索学习方式。 接受这里的学习有两个意义：一是某些内容很难探索、发现，教师需要在课堂上表现出来；二是学生对某些内容的理解有限，不能完全理解的情况下，先接受，进行相应的训练，然后通过学习逐渐理解数学知识的特征数学是一门关于数和形的科学，与物理学、化学、生物学等学科不同，没有把客观世界的具体物质运动形态作为研究对象。 “数

2、”和“形”都抽象地存在于人的理性思考世界中。 基本上，数学的对象来源于现实世界，具体的东西是抽象的。 但是，如果有很多数学知识，就会显示出超经验性、道理性、或者可编程性。 这些特征对数学教育有特别的要求。1知识的超经验性和经验性数量是抽象的产物。 “我们虽然使用了抽象的数字，但是不打算每次都和具体的对象联系起来。 我们在学校学到的是抽象的乘法表，不是把男孩的数量乘以苹果的数量，也不是把苹果的价格乘以苹果的数量同样用几何学研究的是直线，而不是紧张的绳子”1数学的研究对象，把现实世界抽象化后，进一步正因为如此，数学今天很繁荣。 因此，数学的研究对象和日常生活经验有远近不同：学生的生活和知识经验相近

3、，他们可以根据自己的经验探索构建这些数学知识，这些知识是经验的是人的理性思考的结晶，脱离学生的生活和知识经验，学生通过自己的经验人们从没见过自然数“1”，只见过牛和羊。 自然数、分数、小数可以用几个特征来表示，虽然是直观的，但是负数不是直观的。 无理数是抽象的，很难以具体的为原型来找到。 即使是最正确的尺子，也很难拿出不合理的数量。 无理数是人类长期探索的结晶，是人理性思考的结果。 无理数是无限循环的小数。 人们很难掌握“无限”，无法直接感受到“不循环”是什么，不能说清楚。 在初中，通常用反证法证明是无理数。 直观地看，这个证明没有给我们提供具体信息。 因此，学生很难用自己的经验构建无理数这个

4、概念。 如果可以看作边长为1的单位正方形的对角线的长度，那么如何理解、e呢？ 难怪中学生提出了一个有圆周率的特别长数作为循环节可能成为循环小数的问题，代数式更抽象，也离我们的经验很远。 在数的运算中，自然数的运算规则是直观的小数和分数的算法在具体的和抽象的之间。实数和代数式的算法只能超过我们的经验，从自然数、有理数的算法转移。 也就是说，无理数、虚数这样的数学知识不能由学生用自己的经验来“探索”。 因此，我们可以把这些知识直接传达给学生，让他们接受，然后让学生通过自己的理性思考逐渐消化和理解。数学知识不是全是超经验的，很多数学知识是经验的。 例如，用“亩”测量田地面积，用分数表示“部分”的大小

5、，用数据表示“事件”发生的概率等，是通过具体的经验得到的数学知识。 这些知识是有经验的，学生可以通过自主活动、积极思考、自主探索来构筑。2知识的道理和演绎性数学知识的获得，必须经过严格的演绎证明。 只有经过严格演绎证明的结论被称为数学知识，是可以接受的。 数学知识的证明性也被称为演绎性。 数学知识的获得往往经过不完全的归纳、实验、推测等探索和合理的推论过程。 特别是在中小学，因为学生的认知水平低，很多结论是通过例子和不完全的摘要得到的“混乱”，数学知识显示了“道理”。例如，数学法则的学习。 自然数、分数乘法的交换律直观，可以通过画和例子来说明。 当然，这种直观的说明相当深。 23=32，34=

6、43，让学生感受到的话，ab=ba。 这只是感觉，只是推测，不是自己的发现、创造，也不是证明。 有理数乘法的交换律更像是有规律的。 规定的合理性来源于“运律的继承性”。 自然数的乘法、分数的乘法、小数的乘法都满足交换律，为了保持算术的继承性，有理数的乘法也满足交换律。 因为实数范围内有无理数，所以通过例子很难直观地感觉到实数乘法的交换规则。 初中数学教材中的处理，在实数的范围内，加法、乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律还成立。陈省身老师说：“数学的主要方法是逻辑推论，所以构筑了坚固的思想结构。” 这样，中小学数学教育为什么不追求严格的逻辑推论？ 如果按照逻辑推理的要求，从皮亚诺公理系统和

7、自然数乘法的定义证明自然数乘法的交换律。 要证明实数乘法的交换律，需要有理数的基本序列、界限等知识。 这样严密的逻辑推论，谁能忍受？ 因此，对于学生的认知水平，这些知识既不能证明，也不能证明。 对小学生来说，23=32，举个例子就行了。“符号法则无法证明。 人们只关心这个法则在逻辑上是否被允许。 这些定律任意地被限制于使用方便，例如继承的原则。 我一般不希望你们成立不可能的证明书。 大家要用简单的例子让学生相信，如果可能的话，要自己弄清楚。 实际上，继承性原则中包含的这些约定关系，能得到一致方便的算法，所以正好合适。” 2因此，举个例子说明问题，只是为了让学生理解，充其量是合理的推论，不是证明

8、，也不是探索。 教材中的这种处理符合儿童的认知规则，也符合这些知识产生的现实。 对教育来说重要的是如何结合不同年龄阶段的学生特征，在学生原有知识的基础上进行说明。 实际上，长期的教育实践也是这样，没有什么不好的。有些数学知识不能证明，不要证明。 在初步的理解的基础上，先接受，知识有一定的积累，认知水平有一定的提高后再证明也是有道理的。 例如，开始学习几何学时，可以画画，测量量，觉得“三角形内角之和为180”。 这与学生的经验相近，很直观。 但是，在中学阶段，必须让学生体会证明的必要性，学习演绎证明。 否则，学生只会停留在“测量、测量”的状态。 随着学习的加深，学生可以用逻辑的方法来证明。 这也

9、是学习数学的基本要求。道理性对学生知识水平和心理发展的特征。 理论上，数学知识可以通过严格的演绎来证明。 数学的价值在于证明。 因此，对于演绎式的、可以在学生能力和知识范围内证明的数学知识，教师应该帮助学生鼓励、引导、自主探索和发现。3知识的程序性和对象性J.R .安德森把知识分为陈述性知识和程序性知识。 数学中包含了算法、解题方法、解题策略等很多程序性知识。 即使表现性知识，如代数式、方程式、函数等多个数学概念的形成过程一般必须经过活动阶段、过程阶段、对象阶段、图示阶段，很多数学概念都具有过程和对象的双重属性。 可编程性可以说是数学知识的基本属性。 知识的程序性要求，必须在初步理解某概念、技

10、能的学习的基础上，进行适度的训练，在训练中加深理解，获得技能。掌握概念，通常要从过程开始，体验成为认识对象的过程。 例如，在结合律的学习中，事先进行“(7 6) 2=7 (6 2 )”这样的训练，然后，作为旁观者考虑过去的操作过程，就像皮亚杰提出的“反省抽象”，可以得到附加的结合律。 “加法、乘法遵循交换规则，所以不需要推测、发现3基本技能的学习需要经历认知阶段、联系阶段、自动化阶段三个阶段。 训练对基本技能的形成很重要。 “帮助学生合成基本技能时，练习和反馈是极其重要的因素。 每次练习和尝试都为他们的合成提供了机会，因为这两个潜在相关的生成公式在工作记忆中同时被激活”。 4质因数分解时，学生

11、很容易理解什么是原因分解，但遇到具体问题时，不知道如何分解。 产生质因数分解，模仿具有一定技能的例题，进行适量的训练，在头脑中形成比较固定的解决问题的技能。 学生要积极进行有意义的探究学习，必须有一定的知识和技能基础。 否则，就不能积极参加探索。 探索所需的这些基础知识和技能，主要来源于教育效率高的听讲。 5数学知识除了程序性的以外，也有对象性的和概念性的。 也就是说，数学知识可以表现为一系列的算法、顺序、对象、结构，可以表现为“有联系的知识网络”6。 这样，一方面必须通过适当的训练，使学生掌握这些算法和技能，另一方面将该知识放在知识的网络上，确立该知识与其他知识的联系，确立对该知识的理解。

12、例如，对于一次二次方程式的公式解法的学习，学生可以以方程式为ax2 bx c=0的形式，判断=b2-4ac的大小，带入一次二次方程式按照求出根式求解的程序进行练习，通过练习形成一定的技能。 但是，解一次二次方程式本质上是基于方程式的同解原理，基于“化归”的思想，把一次二次方程式变换成一次方程式，因此必须确立一次二次方程式的求根公式法与一次方程式、方程式的同解原理、分配方法的关系。 因此，学生首先可以自主地探索、发现一次二次方程式的求根式解法，确立知识间的联系，并按照一定的顺序进行相应的训练，探索和训练相结合。二数学学习方式的有效选择P.Ernest说数学教育的问题是“教育的最好方法不是什么，数

13、学是什么？”。如果不正视数学的本质问题，就无法解决有关教育的争论7。 可以说数学知识的特征影响着学习的特征，影响着学习方式和教育方式的选择：知识的特征不同，学习方式不同。l超经验的知识、道理的知识、程序性的知识，适合接受学习数学中虽然有人类长期实践经验和理性思考的结晶知识，但这些知识即使超过了学生现在的经验，对于学生的实际知识水平，这些知识也无法证明，难以探索，或者可以探索的成分少，首先接受，逐渐理解，理解也是相对的数学中也有程序性的知识，必须先接受后进行一定的训练才能学会手。在义务教育阶段，数学知识的特征和学生身心发展的特征决定了很多接受学习的存在。 在这个阶段，学生的知识无法解释现在的困惑

14、，必要的知识还没有确立。 此时，先接受相关知识，进行相应的训练，在新的知识体系建立后，只能再次深入理解。 学习本质上是克服困难的过程，数学不是玩耍。 “我们并不是根据学生喜欢的标准来选择题材。 真正的教师会让计算变得有趣。 我们不会用糖宠坏自己的孩子，对吧？ 当然，并不是主张味道不好的食物对健康越好。 我只是说爱好可以培养。 ”8对于这些知识，虽然采用了学习方式来掌握，但是我国教师在长期的教育实践中积累了丰富的教育经验，因此，例如创设有意义的学习方案，开展启发式教育和变革教育，设置合适的楼层等，“以符号代表的新观念和学生的认知结构内在正因为如此，这种接纳学习的大部分都是有意义的接纳学习。 但是，如果教育策略不恰当，就应该避免容易接受机器的学习2经验知识、演绎知识和对象知识适合开展探究学习探索学习有助于培养学生的再创造能力和创新能力。 在数学上，只有被证明的结论被接受，被证明的探索是有意义的，所以应该对经验知识、演绎知识、对象知识进行探索学习。 但是，如上所述的超经验知识、道理知识、程序知识不应该探索，即使是适合探索的知识，从时间、物质条件的限制和教育进度的需要来看，也不一定需要探索。 凡事从头做，别的什么也做不了。 在我们提倡探索学习时，也要看到探索学习的界限。知识特征不同，学习方式不同。 评价某种学习方式的优劣，必须放在具体