函数、极限、连续 练习题

1、函数、极限、连续二、典型例题题型一 复合函数例1、 设, ，试求.解：.例2、.（可用图像法）例3、已知的定义域为，求的定义域.解： 则，即的定义域为，于是，故.例4、设和互为反函数，则的反函数为(B)(A) (B) (C) (D) 解：，则，即，于是，即故的反函数为.题型二 函数性态例1、定义于上的下列函数为奇函数的是(C)(A) (B) (C) (D) 例2、当时，变量是(D)（注意函数的局部性质）(A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界量 (D) 无界量注：当时，若，则；若，则.例3、设，下列结论成立的是(C)(A)存在,当时， (B) 存在,当时， (C) 若,则存在,当时， (D

2、) 若当时,那么.注1：若，则对，存在,当时，总有（局部有界）.注2：若，当时,那么（局部保号）.例4、在下列区间中有界的是(A)(A) (B) (C) (D) 注：若在内连续，且,则在内有界.题型三 未定式计算（限于，另三种，以后讲）例1、 求极限：（1）；（2） ；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解 （1）： 原式.（找老大，去小口算；同除老大显算法）解 （2）：原式.解（3）：原式=.（找同阶老大，去小口算；同除老大显算法）原式（是错的）注：等价无穷小代换可在中对较复杂的“0”进行等价代换，当分子（母）由各无穷小因子相乘时，可对较复杂的无穷小因子进行等价，这能保证整体也等价；而当分

3、子（母）由各无穷小因子相加（减）时，一般不能对各无穷小因子进行等价，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项（同阶老大）后看能否拆开.解（4）：原式.注：当时，.解（5）：原式.解（6）：原式.解（7）：原式.注：.题型四 极限存在题型例1、判断下列极限存在吗？（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）（7）提示：（6）因，则原式（7）注1： 时，的极限不存在，先研究时，的极限不存在，只需注意其为有界量，也可考虑有界量性质注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和

4、可以考虑使用夹逼准则注5：极限函数的求法，要注意对取值范围的讨论，如等.例2、求其中. 提示： 令 ，则，则原式=（本题的结论是一个常用结论）.例3、设，且（C） (A)存在且等于零 (B)存在但不一定等于零 (C)不一定存在 (D) 一定不存在 提示：若，由夹逼定理可得，故不选A与D. 取，则，且，但 不存在， B不正确例4、设，则数列有界是数列收敛的（C）(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）即非充分地非必要条件.例5、设，求.解：由题意，知 ，先证收敛，由数学归纳法知有上界.又，即由单调有界定理知收敛，令易知 解得 ，即.注：（1）对数列，若有递推表达式，

5、则一般使用单调有界准则证明数列的收敛性.（2）若，有时也会用证明数列的单调性.（3）对此类题，往往利用递推表达式先定出极限，再证明数列的界性，最后研究其单调性.（4）若该题改为：设，求.则分三种情况讨论：若，用单调增上有界完成；若，则；若，用单调减下有界完成.题型五 极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断）例1、当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（D）（A）（B）（C）（D）解：对于（D）可找出反例，如当时，但例2、已知当时,与是等价无穷小,求的值.解： ,则,显然.例3、求曲线的渐近线方程.解： 为其铅直渐近线又 为其斜渐近线.注：记忆各类渐

6、近线的确定方法：若，称为一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水平渐近线；若，称为的一条铅直渐近线；若，称为的一条斜渐近线.例4、试确定的间断点，并判断其类型.解：其间断点为 （），因，则为其可去间断点； 又 ， 此时， （）为其第二类间断点而 为其跳跃间断点.例5、，试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。解： 为其铅直渐近线，且为其第二类间断点； 为其水平渐近线；又 为其水平渐近线；而，故为其第一类中的跳跃间断点.例6、求证：设在间断，在连续，则在间断.并举例说明在可能连续.提示：设，则在间断，在连续，在连续；若设，在间断，但在均连续.注：“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件.三

7、、课后练习1（A）、，则2（A）、当时，3（B）、（提示：用图像法）4（A）、与相同的函数为（B） （A） （B） （C） （D） 5（A）、已知则 6（A）、设，则7（A）、设，又，则的定义域为8（A）、当时，下列函数哪个是无穷大量（ C ） （A） （B） （C） （D） 9（B）、当时，是（D）（A） 无穷小 （B） 无穷大 （C） 有界但非无穷小（D） 无界但非无穷大10（A）、下列命题正确的是（C）（A） 无穷小是很小的数，无穷大是很大的数（B） 无穷小的倒数是无穷大（C） 无穷大的倒数是无穷小 （D） 无穷小与无穷大互为倒数11（B）、在下列哪个区间内有界（A） （A） （B） （

8、C） （D） 12（A）、函数在处有定义是在处有极限的（D） （A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分且必要条件（D） 既不充分也不必要条件13（A）、下列结论正确的是（A）（A） 收敛数列必有界 （B） 有界数列必收敛（C） 若，则必有界 （D） 若，则必有界.注：当，（C）对；当时，（D）对14（B）、设且则当充分大时有（A）（A） （B） （C） （D）注：取，则（C）错；取，则（D）错15（A）、设，均为非负数列，且，则必有（D）（A）恒成立 （B）恒成立 （C）不存在（D） 不存在16（B）、设（A）(提示：) （A）都收敛于（B） 都收敛，但不一定收敛于（C）可能收敛

9、，也可能发散（D）都发散17（B）、设数列与满足，则下列断言正确的是（D）（A） 若发散，则必发散 （B） 若无界，则必有界（C）若有界，则必为无穷小 （D）若为无穷小，则必为无穷小18（B）、当时，用表示比高阶的无穷小，则不能表示为（B）（A） （B） （C） （D） 注： 19（A）、时，是的（C）（A） 低阶无穷小 （B） 高阶无穷小 （C）同阶但非等价无穷小（D） 等价无穷小20（A）、当时，而，则正整数等于（B）(A) 1 （B） 2 （C） 3 （D） 421（A）、无穷间断点的个数为122（A）、对函数，点是（B）（A） 可去间断点 （B）跳跃间断点 （C） 第二类间断点 （D） 连续点23（A）、设,则该函数图象的水平渐近线为，其铅直渐近线为24（A）、下列曲线有渐近线的是（C）（A）（B）（C）（D）25（A）、设，则该函数图象具有（B）(A)一条水平渐近线，一个可去间断点 (B)一条水平渐近线，一个跳跃间断点(C)一条铅直渐近线，一个可去间断点 (D)一条铅直渐近线，一个跳跃间断点26（A）、求下列极限或判断极限的存在性：（1）；（2）；（3）；（4） ；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）（15）；（16）；（17）；（18）；27（A）、若在上连续，则28（A）、设，则的间断点为29（B）、，且