3最值系列之瓜豆原理

1、甜瓜豆最值系列原理在辅助圆问题中，我们找到了移动点最大值问题的方法之一，学习了如何求出移动点的最大值。本文继续讨论另一类运动点出现的最大问题。我会在这个主题中说明第一个移动的点p，但最后的问题可以问另一个点q。当然，p和q之间有某种联系。在p点探索qpoint运动轨迹，求出最高值是普遍的想法。一、轨道的圆形文章范例1:插图，p是圆o的最后一个goto点，a是点，连接AP，q是AP的中点。考虑：当点p在圆o处运动时，q点轨迹是？观测图还必须确定点q轨迹是圆，并且这个圆与圆o有什么关系。考虑到Qc点始终是AP中点，连接AO，取AO中点m，则m点是QS轨道的圆中心，半径MQ是OP的一半，在所有时刻，

2、amqAOP，QM : po=AQ : AP=1:0 AP摘要确定qpoint轨迹圆决定了中心点和半径。a、q、p总是共线。a、m、o三点共线。q是AP中点。am=1/2ao。Qpoint轨迹的比例与p-point轨迹的比例相同。根据移动点之间的相对位置关系分析中心点的相对位置关系。根据运动点之间的数量关系，分析轨迹圆半径数量关系。范例2:插图，p是圆o的最后一个goto点，a是点，AP，AQ考虑：当点p在圆o处运动时，q点轨迹是？Qpoint轨道是可以理解为围绕点a逆时针旋转90 AQ的圆。因此，qpoint轨迹和p点轨迹都是圆。接下来，确定中心点和半径。考虑APAQ，qpoint轨道m能满

3、足amao；考虑AP=AQ，qpoint轨迹满足m=ao，并获得半径MQ=po。圆m位置在任何时候都有apoAQM。示例3:图APQ表示直角三角形，PAQ=90和AP=2AQ，p在圆o处工作时，qpoint轨迹是？考虑APAQ，qpoint轨道可以使m满足amao。考虑Ap : AQ=233601，qpoint轨迹圆形核心m表示ao : am=233601。圆m位置在任何时候都有 apo AQM，相似比为2。模型摘要为了便于区分点p，q，可以将点p称为活动点，将点q称为从动点。此类问题的必要条件：两个定量作用中点、从动点和固定点连接的角度为数量(PAQ是值)。活动点，从起点到固定点的距离比率为

4、数量(AP:AQ为值)。(1)主、从动点和固定点连接的角度等于两个中心点和固定点连接的角度。paq=OAM；(2)主从动点与两个中心点到点的距离的比率为：AP:AQ=AO:AM也是两个圆半径的比率。按以上两点确定从动点轨迹圆。q和p对应于旋转扩展。古人云：种黄瓜，种大豆。“种”是圆的，“种”线叫“瓜豆原理”。事故1:图，p是圆o的最后一个goto点，a是固定点，连接AP，AP是一边等边 apq。考虑：当点p在圆o处运动时，q点轨迹是？分析满足qpoint(1)paq=60；(2)AP=AQ，因此qpoint轨道是圆。考虑到 paq=60，q点轨道圆心m可以满足Mao=60。考虑AP=AQ，qp

5、oint轨迹可以满足AM=AO，并获得半径MQ=po。圆m位置在任何时候都有apoAQM。摘要可以理解AQ由AP旋转。因此，圆m也由圆o旋转，旋转角度和比例都与AP和AQ的位置和数量关系相同。事故2图，p是圆o的最后一个移动点，a连接点，AP，AP是斜边，与腰垂直 apq。考虑：当点p在圆o中工作时，如何创建qpoint轨迹？分析qpoint match(1)paq=45；(2) AP : AQ=: 1，因此qpoint轨道是圆。AO，结构OAM=45和ao : am=: 1.m点总是AOPamq .确定点q的轨迹圆的QS轨迹圆。练习如图所示，点P(3，4)，圆P半径为2，a (2.8，0)，

6、B(5.6，0)，点m是圆P上的转至点，如果点c是MB的中点，AC的最小值为_ _ _ _ _ _m点为作用中的点，c点为从动点，b点为固定点。c考虑BM中点。c点轨迹。BP中点o，o为中心，OC为半径圆，点c轨迹。如果a，c，o 3点共线，c点在OA段上，AC为最小值，根据b，p坐标求出o，用两点之间的距离公式求出OA，减去OC即可。2016无限长在等腰RtABC中，AC=BC=，点p是以四边AB为直径的半圆，m是PC的中点，当半圆从点a移动到点b时，点m运动的路径为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。考虑到c、m、p共线和m是CP中点，确定m点轨迹。将AB中点o连接到CO中点d，以

7、d为中心，将DM半径d连接到AC，将BC连接到e，f连接到两点，将圆弧EF连接到m点轨迹。当然，如果可以理解m-点和p-点轨迹关系，就可以直接得到m-点的轨迹长度是p-点轨迹的一半，从而解决问题。2018南通高士图，在正方形的ABCD中间，o是BC边的中点，点e是正方形的内动点，OE=2，连接DE，线段DE绕点d逆时针旋转90 DF。寻找连接AE，cf .区段OF长度的最小值。分析 e是活动点，f是从动点，d是固定点，e点符合EO=2，因此e点轨迹是以o为中心，2是半径的圆。考虑到De df和DE=DF，DM do和DM=DO，f点轨迹是以点m为中心、以2为半径的圆。直接连接OM，圆m交点为f

8、点。此时OF最小值。构造三个垂直等腰线长度，然后使用毕达哥拉斯定理求出OM，减去MF，得到OF的最小值。练习在ABC中，如果以AB=4、AC=2、BC为边界，在ABC之外，方形BCDE、BD、CE与点o相交，则区段AO的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _考虑到AB，AC都设置为值，可以固定其中的一个。例如，冻结AB，将AC视为移动段，从而导致矩形BCED发生变化，以获取段AO的最大值。根据AC=2，c点轨迹以点a为中心，2为半径的圆。接下来，我们求出AO的最大值，因此，如果确定o点轨迹，观察BOC是等腰直角三角形，锐角顶点c的轨迹是以点a为中心，以2为半径的圆，

9、因此，o点轨迹也是圆，以AB为斜边，等腰直角三角形，直角顶点m是点o轨迹圆的中心。连接AM以延伸与圆m的交点是所需的点o。ao根据AB首先求出AM，根据BC和BO的比率，根据圆m的半径与圆a的半径之比得出MO，然后加AO。此方法可以有多个。例如，可以将旋转配置为，当A、c、A 共线时，获得AO的最大值：或者直接使用托勒密定理，可以获得最大价值。第二，轨道的线段示例：例如，p是线BC的最后一个移动点，连接AP，获取AP中点q，当点p在BC中移动时，q点轨迹是？分析当p点轨迹为直线时，q点轨迹也为直线。这将通过a，q，分别垂直于BC，垂直于m，n，AP=2AQ，qn始终是AM的一半，即QC到BC的

10、距离值，因此QN点轨迹是直线。示例图APQ是等边直角三角形，PAQ=90和AP=AQ，点p在直线BC上移动时求q点轨迹吗？如果AP和AQ之间的夹角是固定的，并且AP:AQ指定了值，则p，q轨迹是同一图形。确定轨迹是线段时，可以使用两小时的QS位置(例如QS的起始位置和结束位置)连接它。模型摘要先决条件：作用中点、从动点和固定点连接的角度为数量(PAQ是值)。活动点，从起点到固定点的距离比率为数量(AP:AQ为值)。结论：具有p，q两点轨迹的直线的角度为p，q两点轨迹长度的比率等于AP : AQ(AP : AQ=可获得BC:MN的ABCamn)图2017苏州地区2模式，等边ABC中的AB=10，

11、BD=4，BE=2，点p从点e向EA方向移动，连接PD，然后在PD的右侧，如图所示等边DPF，点p从点e移动到点a时点f运动的路径长度为_因为DPF是等边三角形，所以可以知道f点运动路径与p点的长度相同，p从e点到a点路径的长度为8，所以问题的答案是8。在“2013湖州高史”图中，已知点a是象限1内部横坐标的一个点，ACx轴位于点m上，相交线y=-x位于点n上，点p是直线ON上的一个移动点，APB=30，ba pa是点点p从点o移动到点n时，点b移动路径的长度为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。根据PAB=90，-APB=30:AP : ab=，因此b点轨

12、迹也是段，p点轨迹路径长度与b点轨迹长度之比，p点轨迹长度ON，因此b点轨迹长度为。练习在平面直角座标系统中，A(-3，0)点b寻找y轴正向上的上一个点，x轴正向上的点c，d寻找x轴正向上的边，AB在AB向下的等边ABP，y轴上移动点b时OP的最小值，如图所示。要求OP最小值，首先必须有p点轨迹，以ABP为等边三角形，b点沿直线运动为基础，可以看出p点轨迹也是直线。需要两个特别的时刻。(1)如果点b与点o匹配，则创建点p位置P1。(2)p点位置p2，其中点b位于x轴上，AB和x轴之间的角度为60。链接P1P2是p点轨迹。根据ABP=60:与y轴的角度为60，op，产生的OP长度为最小值，OP2

13、=OA=3，因此op=。2019宿迁高师图中，矩形ABCD的边长为4，e是BC的前一点，BE=1，f是AB边的移动点，连接EF，EF向右等边EFG，连接CG的最小值为.与前面问题goto点路径长度不同，等边三角形也可以查找CG的最小值，将f点从点b移动到点a以创建gpoint轨迹。考虑到f点轨迹是段的这一点，g点轨迹也是段，可以通过起点和终点确定段位置，初始时刻有g点位置，最终g点位置(不一定在CD侧)是g点运动轨迹。CG最小值为CG时，CHh是所需的最小值。根据模型：与AB的角度为60，因此等于。如果在点f上efch点e，则HF=1，CF=，所以CH=，所以CG的最小值是。三、轨道上的其他图

14、形文章“瓜豆原理”是活动点的轨迹和从动点的轨迹相似，主、从动点和固定点连接的角度和主、从动点到固定点的距离的比率决定从动点的轨迹，如果活动点轨迹是不同的图，则从动点轨迹也应该类似。2016乐山大佛如图所示，半比例函数的图像中有移动的点a，连接AO，延伸相交图像中的另一个点b，第一个象限中有满足AC=BC的点c，如果点a移动，则点c总是在函数图像中移动，对于tan-cab=2，k的值为(A.2B.4C.6D.8AOC=90和AO:OC=1:2，显然点c的轨迹也分别为m，n，连接OC，证词amoonc，CN=2OM，ON=2AM如果将思考条件“tancab=2”更改为“ABC是等边三角形”，则k是多少？练习图A(-1，1)、B(-1，4)、C(-5，4)，点p是ABC边上的一个移动点，连接OP的斜边，OP的右上等腰直角，OPQ，点p是OPQ可以通过等腰直角三角形得到。qpoint轨迹与p点轨迹形状相同，并且根据OP:OQ=，p点轨迹图形的计算比率与q点轨迹图形类似，因此面积比率为233601，ABC面积为1/234=6，因此q点轨迹形成的闭合图形区域为3。摘要根据甜瓜豆原理，这种圆周点轨道长度或轨道图形区域是根据活动