【步步高高考数学总复习】第五编平面向量、解三角形

1、第五编 平面向量、解三角形5.1 平面向量的概念及线性运算基础自测1.下列等式不正确的是（ ）A.a+0=a B.a+b=b+aC.+0 D.=+答案 C2.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）A.= B.=C.= D.=0答案C3.（2008广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则等于（ ）A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案 B4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=a，=b，则等于（ ）A.b+aB. b-a C. a+b D. a-b 答案 B5.设四边形ABCD

2、中，有=，且|=|，则这个四边形是 ( )A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案 C例1 给出下列命题向量的长度与向量的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.5答案 C 例2 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，+.解 =+=-a+b+c，=+，=-,=-,=,=

3、a-b-c.+=+=2=a-2b-c.例3 设两个非零向量a与b不共线，（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.（1）证明 =a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.（2）解 ka+b与a+kb共线，存在实数，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共线的两个非零向量，k-=k-1=0，k2-1=0.k=1.例4 （12分）如图所示，在ABO中，=,=,A

4、D与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.解 设=ma+nb，则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=-a+b.又A、M、D三点共线，与共线.存在实数t,使得=t，即(m-1)a+nb=t(-a+b). 3分(m-1)a+nb=-ta+tb. ，消去t得：m-1=-2n，即m+2n=1. 5分又=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.=-=b-a=-a+b.又C、M、B三点共线，与共线. 8分存在实数t1,使得=t1,a b(m-)a+nb=t1,，消去t1得,4m+n=1 10分由得m=,n=,=a+b. 12分1.下列命题中真命题的个数为（ ）若|a|=|b|，则

5、a=b或a=-b;若=，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；若a=b,b=c,则a=c;若ab,bc,则ac.A.4B.3C.2D.1答案 D2.在OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=OB.DC与OA交于E，设=a，=b，用a,b表示向量，.解 因为A是BC的中点，所以=(+)，即=2-=2a-b；=-=-=2a-b-b=2a-b.3.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上？解 设=a，=tb，=(a+b)，=-=-a+b，=-=tb-a.要使A、B、C三点共线，只需=即-a+b=b-a有

6、 ， 当t=时，三向量终点在同一直线上.4.如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值.解 方法一 设e1=,e2=,则=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数、，使=-3e2-e1，=2e1+e2，=-=（+2）e1+（3+）e2，另外=+=2e1+3e2，=,=,APPM=41.方法二 设=，=(+)=+，=+.B、P、N三点共线，-=t(-),=(1+t)-t+=1，=，APPM=41.一、选择题1.下列算式中不正确的是（ ）A.+=0 B.-= C.0=0 D.（a）=a答

7、案 B2.（2008全国理,3）在ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则等于 （ ）A.b+c B.c-b C.b-c D.b+c 答案 A3.若=3e1，=-5e1，且|=|，则四边形ABCD是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形 D.不等腰梯形答案 C4.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、（不包括边界）.若=a1+b2，且点P落在第部分，则实数a，b满足 （ ）A.a0,b0B.a0,b0C. a0,b0D. a0,b0 答案 B 5.设=x+y，且A、B、C三点共线（该直线不过端点O），则x+y等于（ ）A.1B.-1C.0D.不能确定答案 A6.

8、已知平面内有一点P及一个ABC，若+=，则 （ ）A.点P在ABC 外部 B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上答案 D二、填空题7.在ABC中，=a，=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则可用a、b表示为 .答案 -a+b8.在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2,=+,则= .答案 三、解答题9.如图所示，ABC中，=，DEBC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设=a，=b，用a,b分别表示向量，.解 =b. =-=b-a.由ADEABC，得=(b-a).由AM是ABC的中线，BC，得=(b-a).而且=+=a+=a+(b-a)=

9、(a+b).由=(a+b).10.如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，=，=a，=b.（1）用a、b表示向量、；（2）求证：B、E、F三点共线.（1）解 延长到G，使=，连接BG、CG，得到 ABGC，所以=a+b,=(a+b), =(a+b).=b,=-=(a+b)-a=(b-2a).=-=b-a=(b-2a).(2)证明 由(1)可知=,所以B、E、F三点共线.11.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：=(+).证明 方法一 如图，E、F分别是AD、BC的中点，+=0，+=0，又+=0，=+ 同理=+ 由+得，2=+（+）+（+）=+.=(+).

10、方法二 连结，则=+，=+，=(+)=(+)=(+).12.已知点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=x，=y，求+的值.解 根据题意G为三角形的重心，故=(+)，=-=(+)-x=(-x)+,=-=y-=y-(+)=（y-）-,由于与共线，根据共线向量基本定理知=(-x)+=，=x+y-3xy=0两边同除以xy得+=3.5.2 平面向量基本定理及坐标表示基础自测1.已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量a-b等于（ ）A.(-2,-1)B. (-2,1)C. (-1,0)D. (-1,2)答案 D2.（2008安徽理,3）在平行四边形ABCD中，

11、AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则等于（ ）A. (-2,-4)B. (-3,-5)C. (3,5) D. (2,4)答案 B3.若向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),则c等于（ ）A.a+b B. a-bC. a-bD. a+b答案 B4.(2009烟台模拟)已知向量a=(8,),b=(x,1),其中x0,若（a-2b）/(2a+b),则x的值为（ ）A.4B.8 C.0D.2答案 A5.（2008广东五校联考）设a=，b=，且ab，则锐角x为 .A.B. C.D.答案 B例1 设两个非零向量e1和e2不共线.（1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-

12、8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；（2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.（1）证明 =e1-e2，=3e1+2e2, =-8e1-2e2,=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,与共线，又与有公共点C，A、C、D三点共线.（2）解 =+=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得=,即3e1-2e2=(2e1-ke2)，由平面向量的基本定理，得，解之得=，k=.例2 已知点A(1，0)、B(0，2)、C(-1，-2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.

13、解 设D的坐标为（x,y）.(1)若是ABCD，则由=得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y), x=0，y=-4.D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.（2）若是ADBC，则由=得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.D点坐标为（2，4）（如图中的D2）.（3）若是ABDC，则由=得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）.综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的

14、第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.例3 （12分）平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（a+kc）(2b-a)，求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.解 （1）（a+kc）（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2分2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 4分k=-. 6分（2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,， 8分解得或. 10分d=或d=. 12分1.如图所示，在平行四边形AB

15、CD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.解 方法一 设=a，=b，则a=+=d+b=+=c+将代入得a=d+a=-c,代入得b=c+c-d即=d-c，=c-d方法二 设=a，=b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以=b，=a，因而,即=(2d-c), =(2c-d).2.已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且=3，=2，求点M、N及的坐标.解 A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4），=（1，8），=（6，3），=3=（3，24），=2=（12，6).设M（x，y），则有=（x+3，y+4），,M点的坐标为（0，20）.同理可求得N点坐

16、标为（9，2），因此=（9，-18），故所求点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.3.已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=，=.求证：.证明 设E、F两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则依题意，得=（2，2），=（-2，3），=（4，-1）.一、选择题1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb与a-2b共线，则等于（ ）A.-B.2C.D.-2答案 A2.设a、b是不共线的两个非零向量，已知=2a+pb，=a+b，=a-2b.若A、B、D三点共线，则p的值为 ( )A.1B.2C.-2D.-1

17、答案 D3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则等于（ ）A.(8,1)B.(-8,1)C.(4,-)D. (-4,)答案 D4.已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b(a+b)，则实数的值是（ ）A.3B.-3C. D.-答案B5.（2008辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且=2，则顶点D的坐标为( )A.(2,) B.(2,)C.(3,2) D.(1,3)答案 A6.设02，已知两个向量=（cos，sin），=（2+sin，2-cos），则向量长度的最大值是 （ ）A. B.C. D.答案 C二、填空题7.（2008全国文

18、，13）设向量a=(1,2),b=(2,3)，若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线，则= .答案 28.（2008菏泽模拟）已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),mn (a0,b0)，则ab的最小值是 .答案 16三、解答题9.已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）.设=a，=b，=c，且=3c，=-2b，（1）求：3a+b-3c；（2）求满足a=mb+nc的实数m，n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).（2）m

19、b+nc=（-6m+n，-3m+8n），解得.10.若a,b为非零向量且ab,R,且0.求证：a+b与a-b为共线向量.证明 设a=(x1,y1),b=(x2,y2).ab,b0,a0,存在实数m,使得a=mb, 即a=(x1,y1)=(mx2,my2),a+b=(m+)x2,(m+)y2)=(m+)(x2,y2)同理a+b=(m-)(x2,y2),(a+b)(a-b)b,而b0,(a+b)(a-b).11.在ABCD中，A（1，1），=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.（1）若=（3，5），求点C的坐标；（2）当|=|时，求点P的轨迹.解 （1）设点C坐标为(x0，y

20、0),又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）,即（x0-1,y0-1）=（9，5），x0=10，y0=6，即点C（10，6）.（2）由三角形相似，不难得出=2设P（x,y），则=-=（x-1，y-1）-（6，0）=（x-7，y-1）,=+=+3=+3（-）=3-=（3(x-1)，3(y-1)）-（6，0）=（3x-9，3y-3），|=|，ABCD为菱形，ACBD，即（x-7，y-1）（3x-9，3y-3）=0.（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，x2+y2-10x-2y+22=0（y1）.(x-5)2+(y-1)2=4(y1).故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆

21、去掉与直线y=1的两个交点.12.A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+.当为何值时，（1）点P在第一、三象限的角平分线上；（2）点P到两坐标轴的距离相等？解 （1）由已知=（3，1），=（5，7），则+=(3，1)+(5，7)=（3+5，1+7）.设P（x，y），则=（x-2，y-3），.点P在第一、三象限的角平分线上，x=y，即5+5=4+7,=.(2）若点P到两坐标轴的距离相等，则|x|=|y|,即|5+5|=|4+7|,=或=-.5.3 平面向量的数量积基础自测1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ）A.B.C.D.答案 C2.在边长为1的正三角形A

22、BC中，设=a，=c，=b，则ab+bc+ca等于（ ）A.1.5B.-1.5C. 0.5D.-0.5答案 C3.向量a=(cos15,sin15),b=(-sin15,-cos15),则|a-b|的值是( )A.1B.C.D.答案 D4.已知a=(1,-2),b=(5,8),c=(2,3),则a(bc)为（ ）A.34B.(34,-68)C.-68D.(-34,68)答案B5.(2008 浙江理,9)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）（b-c）=0，则|c|的最大值是 .A.1B.2 C. D.答案 C例1 已知向量a=b=且x.（1）求ab及|a+b|;(2)

23、若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.解 （1）ab=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b= |a+b|=x,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2,cosx1,当cosx=时，f(x)取得最小值为-；当cosx=1时，f(x)取得最大值为-1. 例2 已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求证：a+b与a-b互相垂直；（2）若ka+b与a-kb的模相等，求-.(其中k为非零实数)（1）证明 (a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos

24、2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与a-b互相垂直.（2）解 ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),=,又k0, cos()=0.而0,-=.例3 （12分）设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的范围.解 由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，得0, 3分即(2te1+7e2)(e1+te2)0,化简即得：2t2+15t+70,解得-7t-, 6分当夹角为时，也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角

25、不是钝角，2te1+7e2与e1+te2反向. 8分设2te1+7e2=(e1+te2),0,可求得， 11分所求实数t的范围是. 12分1.向量a=(cos23,cos67),向量b=(cos68,cos22).(1)求ab；（2）若向量b与向量m共线，u=a+m,求u的模的最小值.解 （1）ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23sin22+sin23cos22=sin45=.（2）由向量b与向量m共线，得m=b(R），u=a+m=a+b=(cos23+cos68,cos67+cos22)=（cos23+sin22，sin23+cos22），|u|2=(cos23+si

26、n22)2+(sin23+cos22)2=2+1= +，当=-时，|u|有最小值为.2.已知平面向量a=,b=(-,-1).(1)证明：ab;(2）若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且xy，试把k表示为t的函数.(1)证明 ab=(-)+(-1)=0,ab.(2)解 xy,xy=0, 即a+(t2-2)b（-ka+t2b）=0.展开得-ka2+t2-k(t2-2)ab+t2(t2-2)b2=0,ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,-k+4t2(t2-2)=0,k=f(t)=4t2 (t2-2).3.设a=(cos，sin)，b=(cos，

27、sin)，且a与b具有关系|ka+b|=|a-kb|(k0).（1）用k表示ab；（2）求ab的最小值，并求此时a与b的夹角.解 （1）|ka+b|=|a-kb|，(ka+b)2=3(a-kb)2，且|a|=|b|=1，即k2+1+2kab=3(1+k2-2kab)，4kab=k2+1.ab=(k0）.（2）由（1）知：k0ab=2 =.ab的最小值为(当且仅当k=1时等号成立)设a、b的夹角为，此时cos=.0,=.故ab的最小值为，此时向量a与b的夹角为.一、选择题1.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足=，则点O是ABC的（ ）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

28、C.三条中线的交点D.三条高线的交点答案 D2.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则ab+bb的值为（ ）A.2B.3C.4D.5答案 D3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,则a与b的夹角为（ ）A.B.C.D.答案 C4.若a与b-c都是非零向量，则“ab=ac”是“a（b-c）”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C5.已知a，b是非零向量，且满足（a-2b）a，（b-2a）b，则a与b的夹角是（ ）A.B.C.D.答案 B6. |a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,则向量a与

29、b的夹角为 ( )A.30B.60 C.120D.150答案C二、填空题7.（2008天津理，14）如图所示，在平行四边形ABCD中，=（1，2），=（-3，2），则= .答案 38.（2008 江西理，13）直角坐标平面内三点A（1，2）、B（3，-2）、C（9，7），若E、F为线段BC的三等分点，则= .答案 22三、解答题9.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1)求证：（a-b）c;(2)若|ka+b+c|1 (kR)，求k的取值范围.（1）证明 （a-b）c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,（a-b）c.（2）解 |

30、ka+b+c|1|ka+b+c|21,k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c的夹角均为120,a2=b2=c2=1，ab=bc=ac=-，k2+1-2k1,即k2-2k0,k2或k0.10.已知a=,且.（1）求的最值；（2）若|ka+b|=|a-kb| (kR),求k的取值范围.解 （1）ab=-sinsin+coscos=cos2，|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=2+2cos2=4cos2.，cos，|a+b|=2cos.= =cos-.令t=cos,则t1,=1+0,t-在t上为增函数.-t-，即所求式子的最大值为，最小值为

31、-.（2）由题设可得|ka+b|2=3|a-kb|2,(ka+b)2=3(a-kb)2又|a|=|b|=1,ab=cos2，cos2=.由，得-cos21.-1.解得k2-，2+-1.11.设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60，得mn=.则有|a|=|2m+n|=.|b|=.而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-，设a与b的夹角为，则cos=-.故a，b夹角为120.12.已知向量a=,x.若函数f(x)=ab-|a+b|的最小值为-，求实数的值. 解 |a|=1，|b|=1，x，ab=coscos-sin

32、sin=cos2x，|a+b|=2=2cosx. f(x)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1=2 -1，cosx0，1. 当0时，取cosx=0,此时f(x)取得最小值，并且f(x)min=-1-,不合题意.当04时，取cosx=,此时f(x）取得最小值，并且f(x)min=-1=-,解得=2.当4时，取cosx=1,此时f(x)取得最小值，并且f(x)min=1-=-,解得=,不符合4舍去,=2.5.4 正弦定理和余弦定理基础自测1.（2008陕西理，3）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=，b=，B=120,则 a等于（ ）A.B.2C.D.答案 D 2.（

33、2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为( )A. B.C.或 D.或答案 D 3.下列判断中正确的是（ ）A.ABC中，a=7，b=14，A=30,有两解B.ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解C.ABC中，a=6,b=9，A=45，有两解D.ABC中，b=9,c=10,B=60,无解答案 B4.在ABC中，A=60,AB=5,BC=7,则ABC的面积为 .答案 5.（2008浙江理，13）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA= .答案 例1

34、在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,c=.当A=120时，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.例2 在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.解 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.将上式代入=-得:=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B为三角形的内角，B=.（2）将b=,a

35、+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.例3 （12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值.解 （1）cosA=-, 1分又A（0，），A=120. 2分（2）由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc（当且仅当c=b时取等号），3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号）. 4分即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1. 6分（3）由正弦定理得：2R, 8分= 9分= 10

36、分= 11分=. 12分例4 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a

37、2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.1.（1）ABC中，a=8,B=60,C=75,求b;（2）ABC中，B=30,b=4,c=8,求C、A、a.解（1）由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.（2）由正弦定理得sinC=1.又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,a=4.2.已知ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且2S=(a+b)2-c2，求ta

38、nC的值.解 依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化简得：tan=2.从而tanC=-.3.（2008辽宁理，17）在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面积等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.解 （1）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于，所以absinC=，所以ab=4.联立方程组 解得.（2）由题

39、意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时，A=，B=，a=，b=.当cosA0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得所以ABC的面积S=absinC=.4.已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断ABC的形状.解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=

40、（舍去）.cosB=.0B,B=.a，b，c成等差数列，a+c=2b.cosB=，化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=，ABC是等边三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=,0B,B=,a,b,c成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+sin=，sinA+sin-cos=.化简得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC为等边三角形.一

41、、选择题1.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是（ ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案 B2.在ABC中，A=120,AB=5,BC=7，则的值为（ ）A.B. C.D.答案 D3.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且面积SABC=（b2+c2-a2），则A等于（ ）A.45B.30 C.120D.15答案 A4.在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面积为，则tanC为（ ）A.B.1 C.D.答案 C5.在ABC中，a2-c2+b2=ab,则角C为（ ）A.60B.45或135 C.120 D.30答案 A6.ABC中，若a4+b4+

42、c4=2c2(a2+b2),则C的度数是 （ ）A.60B.45或135 C.120 D.30答案 B二、填空题7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=,c=,则B= .答案 8.某人向正东方向走了x千米，他右转150，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是 .答案 或2三、解答题9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求证：A=2B；（2）若a=b,判断ABC的形状.（1）证明 因为a2=b(b+c)，即a2=b2+bc,所以在ABC中，由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.（2）解 因为a=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=,所以B=30,A=2B=60,C=90.所以ABC为直角三角形.10.（2008全国理，17）在ABC中，cosB=-，cosC=.（1）求sinA的值； （2）ABC的面积SABC=，求BC的长.解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得ABACsinA=. 由(1)知sinA=,故ABAC=