微积分在其他学科中的应用

1、绥化学院本科毕业设计（论文）微积分在其它学科中的应用学生姓名： 刘春梅 学 号： 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2010级 指导教师： 刘 一 讲 师 Suihua University Graduation Paper Calculus Applications in other DisciplinesStudent name Liu Chunmei Student number Major Mathematics and Applied Maths Supervising teacher Liu Yi Suihua University摘 要 微积分不仅在数学里是十分重要的内容，而且

2、在其它学科中也有着非常重要的应用本文首先介绍了微积分的发展及其基本定义，然后介绍导数在经济学中边际分析和弹性理论中的应用，以及利用积分的知识解决经济学中总函数的求解和消费者剩余的测算等问题最后介绍微积分在几何学中的应用，包括利用导数解决切线问题和距离极值问题，利用积分求几何图形的面积，曲线长度，几何体的体积等几何问题，正是有了微积分的加入才使得其它学科的理论更加严格和完善关键词：微积分；经济学；几何学Abstract Calculus in mathematics is not only very important content, but also has the very importa

3、nt application in other disciplines. In this paper，we first introduces the development of calculus and its basic definition. Then, we introduce the application of derivative in economic marginal analysis and elastic theory, and how to use the knowledge of the integral to solve function in economics

4、and the calculation of consumer surplus. Finally, we introduces the application of calculus in geometry, including the use of derivative extremum problems, solve the problem of the tangent and the distance by using integral geometry, the area of curve length, geometry size of the problem, It is the

5、addition of calculus and other disciplines has the theory more strict and perfect. Key words: Calculus; economics; geometry目 录摘 要IAbstractII第1章 微积分的发展及其相关定义1 第1节 微积分的发展1 第2节 微分的相关定义2 第3节 积分的相关定义3第2章 微积分在经济学中的应用5 第1节 导数在经济学中的应用5 第2节 积分在经济学中的应用14第3章 微积分在几何中的应用18 第1节 导数在几何中的应用18 第2节 积分在几何中的应用19结 论23参考文

6、献24致 谢25第1章 微积分的发展及其相关定义第1节 微积分的发展微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念，求积的无限小方法，积分与微分的互逆关系，最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献微分和积分的思想早在古代就已经产生了公元前3世纪古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287前212）的著作圆的测量和论球与圆柱中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想作为微积分的基础极

7、限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的庄子一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”他在1615年测量酒桶体积的新科学一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为极限思想的佳作意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的连续不可分几何，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备微积分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础

8、上产生和发展起来的而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作笛卡尔1637年发表了科学中的正确运用理性和追求真理的方法论（简称方法论），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表

9、示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间17世纪以后，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究前人工作

10、终于使牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶各自独立创立了微积分1605年5月20日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志牛顿关于微积分的著作很多写于1665-1676年间，但这些著作发表很迟他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱布尼莱公式微积分的产生是数学上的伟大创造它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展如今微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分微积分堪称是人类智慧最伟大的成

11、就之一第2节 微分的相关定义 2.1 极限定义1设函数在点的某一空心邻域内有定义，为一常数，若任给，总存在，使得当时，都有 成立，则称为函数当时的极限，记作3 或 2.2 一阶微分 定义2设函数在某区间内有定义，及在此区间内如果函数的增量可表示为：（其中是不依赖于的常数），而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，且称作函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即1通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即于是函数的微分又可记作函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数因此，导数也叫做微商几何意义 设是曲线上的点的在横坐标上的增量，是曲线在点对应在纵坐标上的增量，是曲线在点的切线对应在纵坐标

12、上的增量当非常小时，比要小得多(高阶无穷小)，因此在点附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段第3节 积分的相关定义 3.1 不定积分 定义1若成立称为函数的一个原函数由定义可知：若求函数为的一个原函数，则的所有的原函数可表示为，其中任意的常数2我们把函数的所有原函数（为任意常数）叫做函数的不定积分 记作其中叫做积分号，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式，叫做积分常数. 求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分 3.2 定积分 设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点，把分成个小区间：，各个小区间的长度依次为：，在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积并作和，记，如果不论

13、对怎样分割，也不管在小区间上点怎样取法，只要当时，和总是趋于确定的极限，我们称这个极限值为函数在区间上的定积分（简称为积分），记作，即， 其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分下限，称为积分上限，称为积分变量，称为积分和第2章 微积分在经济学中的应用第1节 导数在经济学中的应用 微积分在经济领域中的应用主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系因此必须了解一些经济分析中常见的函数导数在经济学中的应用是十分广泛的，因为在经济学中很多函数里面都有导数的存在才能去进行一些定量分析进而得出最优化的结果根据导数的一些性质可以为大家解释一些经济学函数图像的走向问题，为何会出现此种走向等等同样的在极限的概

14、念基础上面，很多微积分的概念理论得到发展很多经济学的知识也得到有效的解决像一些复利问题，还有用极限方法解决弹性计算问题积分的应用是由人们在生产生活活动中，为了解决复杂和动态过程的量化累积而引入的在日常经济活动中，积分的应用也非常广泛，比如求总值（如总成本和总利润等），包括其他变量时间累计的总量等这些经济活动内容涉及到很多个领域，且函数表达方式都有所不同，但它们的原理都是一样的，这些都是微积分在经济学中的广泛应用 1.1 导数在边际分析中的应用 导数在引进经济学之后，对经济分析带来了很大变革，可以定量分析很多以前没办法分析的经济问题导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性经济学中的边际经济变量都是

15、用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少，如边际效用、边际成、边际收益、边际利润、边际替代率等等这些边际概念几乎都用导数来表示 （1）边际需求与边际供给 需求函数在点处可导(其中为需求量，为商品价格)，则其边际函数称为边际需求函数，简称边际需求，称为当价格为时的边际需求，其经济意义为：当价格达到时，如果价格上涨一个单位，则需求将相应减少个单位4供给函数可导(为供给量为商品价格)，则其边际函数称为边际供给函数，简称边际供给，称为当价格为时的边际供给其经济意义为：当价格达到时，如果价格上涨一个单位，则供给增个单位（2）边际成本函数总成本函数 ，平均成本函数 ，边际成本函数 ，

16、其中代表固定成本，代表可变成本称为当产量为时的边际成本，其经济意义为：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减个单位5 （3）边际收益函数总收益函数，平均收益函数，边际收益函数，简称边际收益，称为当商品销售量为时的边际收益，经济意义为：当销售量达到时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减个单位总收益是产量与价格的乘积，即 ，总利润为总收益与总成本的差值，即 若价格随的变化而改变，则最大时总收益和总利润不一定取到最大值，并且收益最大时的产量不一定能产生最大的利润（4）边际利润函数利润函数，平均利润函数，边际利润函数，称为当产量为时的边际利润，其经济意义是：当产量达到时，如果增减一

17、个单位产品，则利润将相应增减个单位7 在以上定义中发现不管是边际成本、边际利润，都是导数的一些很简单的应用导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题，因此我们可以把微观经济学中的很多问题归结到数学中来，用所学的导数知识加以研究并解决导数在经济学中的意义可以解释为，用增加一个经济变量的一个单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少比如边际替代率，为了维持原有的满足程度不变，消费者为增加一单位商品而必须放弃的商品的数量用公式表示就是： 例1 某种产品的总成本（万元）与产量（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为 ，求生产水平为（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继

18、续提高产量是否合适？解 当时的总成本为（万元），所以平均成本（单位成本）为（元/件），边际成本， ，因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量 例2 设垄断厂商的需求函数为，总成本函数， （1）求为多少时使总收益最大，与此相应的价格，总收益及总利润各为多少？ （2）求为多少时总利润最大，价格，总收益及总利润为多少?解 （1）已知厂商的产品的需求函数为 ，则 ，总收益最大，即要求 ，所以导数方法 ，即 ，得 ，所以时，最大把代入 ，得，总收益 ，总利润 （2） ， ， ，总利润最大时， ，得 ， 把代入 ，得，总收益 ，总利

19、润 例3 某公司总利润（万元）与日产量（吨）之间的函数关系式（即利润函数）为试求每天生产吨，吨，吨时的边际利润，并说明经济含义解 边际利润， ， ， 从上面的结果表明，当日产量在150吨时，每天增加1吨产量可增加总利润0.5万元；当日产量在200吨时，再增加产量，总利润已经不会增加；而当日产量在350吨时，每天产量再增加1吨反而使总利润减少1.5万元，由此可见，该公司应该把日产量定在200吨，此时的总利润最大为： （万元）从上例可以发现，公司获利最大的时候，边际利润为零例4 某公司有两个子公司生产同种产品，其总成本函数为，其中表示子公司生产的产量表示子公司生产的产量当公司生产的产量为120时，

20、求公司生产总成本最少时两子公司的产量组合解当个公司用两个子公司生产同种产品时，它必须使两个子公司生产的边际成本相等，才能实现成本最少的产量组合子公司，生产的边际成本： ，子公司日生产的边际成本： ，由的原则， ，即，因为 ，于是 ，解得 ， 1.2 导数在弹性理论中的应用弹性概念：需求弹性用于描述在一定时期内一种商品的需求量的相对变动对于该商品的价格的相对变动的反应程度需求的点弹性公式为，弧弹性公式为 ，供给弹性用于表示在一定时期内的一种商品的攻击量的相对变动对于该商品的价格的相对变动额反应程度7供给的点弹性公式为，供给弧弹性公式为 例5假设某市场上两公司是生产同种有差异产品的竞争者，且市场上

21、对两公司产品的现有需求量已达到饱和市场上公司的需求曲线为，公司的需求曲线为，两公司的销售价格分别为只元，元 （1）求两公司的需求价格弹性； （2）如果公司降价到公司的销售价格400，使得公司的销售量增加，而公司的销售量减少，那么公司需求的交叉弹性是多少? （3）公司降价的行为选择正确吗?公司由销售量减少而造成的损失是多少? 解（1）由，得 ，于是 ，从而市场上面对该产品的饱和需求量为，公司的需求价格弹性，公司的需求价格弹性 （2）当时，得，市场上对该产品的饱和需求量为400，可知于是 ，公司需求的交叉弹性： （3）公司在时的需求价格弹性为，即需求缺乏弹性，降价会减少销售收入，因为，降价前公司的

22、收入，降价后公司的收入，显然，公司降价减少了它的销售收人，所以，对于该公司追求销售收入最大化的目标而言，它降价在经济上是不合理的降价前，公司的销售收入，降价后，公司的销售收入， ，公司有销售量减少而造成的损失时 例6已知需求函数， （1）求需求弹性； （2）问取何值时，为单位弹性，缺乏弹性，富有弹性 解 （1）（2）由 ，得；，即当时，为单位弹性；当时，为缺乏弹性；当时，为富有弹性第2节 积分在经济学中的应用 在经济学中有各种各样的函数，代表不同的经济学现象而且我们一般情况下知道的都是比较直接的一些边际函数，当我们想知道总函数的时候我们就要去了解一些微积分中的其他一些内容了，下面我就谈谈积分在

23、经济学中的应用 2.1 总函数的求解 在经济管理中，由边际函数求总函数(即原函数)，一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决8 例1 设生产个产品的边际成本，其固定成本为元，产品单价规定为500元假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润解 总成本函数为，总收益函数为， 总利润，令得，因为，所以生产量为200单位时，利润最大，最大为（元）在这里我们应用了定积分，分析出利润最大，并不是意味着多增加产量就必定增加利润，只有合理安排生产量，才能取得最大的利润 例2生产某产品的边际成本函数为，固定成本，求出生产个产品的

24、总成本函数解总成本函数 2.2 消费者剩余消费者剩余是某商品价值与其价格之间的差额，或者是消费者根据自己对商品效用的评价所愿意支付的价格与实际付出的价格的差额计算消费者剩余，对于市场是否使得经济主体福利达到最大化、市场结构是否有效等问题的解答起着关键的作用有限需求者的离散型的需求结构中，消费者剩余可以通过累加的方式进行计算，但是在连续需求函数中，消费者剩余的测算就需要利用积分的知识了例3 设生产某产品的固定成本为1万元，则边际收益和边际成本分别为(单位：万元，台)： ，求若产量由1台增加到3台，总收益增加多少?总成本增加多少?产量为多少时，总利润达到最大?解总收益增加量为 ，总成本增加量为，边

25、际成本等于边际收益是利益最大，即，时总利润最大，此时产量为例4 已知边际收益函数，求总收益函数于需求函数 解 此时总收益函数 ，由于，得，需求函数 ，即 第3章 微积分在几何中的应用第1节 导数在几何中的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学，有关导数的内容，其解题要求都是非常基本的，在这里主要讨论导数在几何中的应用例1 确定抛物线方程中的常数，使得抛物线和直线在处相切 分析 这道题可以根据导数的几何意义来求，导数的几何意义是函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率此抛物线切线斜率的方程可表示为，根据直线是抛物线的切线，且在处相切，可得，因此可得的值；又因为是直线与抛物线

26、交点的横坐标，根据直线方程可得交点为，代入抛物线方程得到的值解因为，由题意知，所以，又因为时，代入，得例2求曲线上与定点距离最近的点分析根据平面上两点间的距离公式，得到以为自变量的函数，这道题就转化成了求函数最值的问题解设曲线上一点，的距离，设，则令，由得，当时，；当时，所以在时取最小值，此时也取最小值，最小值为，即与最近的点为导数的应用问题涉及到很多内容，以上仅仅讨论了在解析几何中的应用第2节 积分在几何中的应用 2.1 求平面图形的面积设曲线与直线，及轴所围曲边梯形面积为，取为积分变量，则，则此面积为，面积为 例1 计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积解 由，得交点，则例2计算抛物线与直

27、线所围图形的面积解由，得交点，为简便计算，选取积分变量，则有设，求曲线及射线围成的曲边扇形的面积在区间上任取小区间，则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为，所求曲边扇形的面积为 2.2 求平面曲线的弧长定义1若在弧上任意作内接折线，当折线段的最大边长时，线的长度趋向于一个确定的极限，则称此极限为曲线的弧长，即，称此曲线弧为可求长的曲线由直角坐标方程给出:弧长元素：，因此所求弧长曲线由参数方程给出：，弧长微元(弧微分)，因此所求弧长曲线弧由极坐标方程给出：，则得弧长为，因此所求弧长 例4 求连续曲线段的弧长解 因为，所以当时， 2.3 求立体的体积设所给立体垂直于轴的截面面积为，在上连续，则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为 例5 一个平面经过半径为的圆柱体的底面圆的中心，并与底面交成角，计算该平面所截圆柱体所得立体的体积 解 取坐标系，则圆的方程为，垂直于轴的截面是直角三角形，其面积为，利用对称性 2.4 求旋转体的侧面积设平面光滑曲线，且，求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.侧面积元素：位于上的圆台的侧面积，积分后得旋转体的侧面积注意侧