2018年高二数学：抛物线

1、2018年高二数学：抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直

2、线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()答案：(1)(2)(3)(4)2已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆 D抛物线解析：选D由已知得|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线3抛物线8x2y0的焦点坐标为_解析：由8x2y0，得x2y.2p，p，焦点为.答案：4焦点在直线

3、2xy20上的抛物线的标准方程为_解析：当焦点在x轴上时，令方程2xy20中的y0，得焦点为(1,0)，故抛物线方程为y24x，当焦点在y轴上时，令方程2xy20中的x0，得焦点为(0，2)，故抛物线方程为x28y.答案：y24x或x28y5(教材习题改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.答案：考什么怎么考高考要求考生掌握四种不同的抛物线的标准形式.高考试题的考查形式主要有两种：一是求抛物线的方程；二是根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质，题型多为选择题、填空题，难度适中.1顶点在

4、原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2y Dy2x或x28y解析：选D(待定系数法)设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)解析：选B抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即1，所以焦点坐标为(1,0)3若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且

5、|AM|，|AF|3，则此抛物线的标准方程为_解析：设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，A(x1，y1)，则F，M，则解得p4或p2.故所求抛物线的标准方程为x28y或x24y.答案：x28y或x24y4(2017天津高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(1，a)(a0)，则A(0，a)又F(1,0)，所以(1,0)，(1，a)，由题意得与的夹角为120，故cos 120，解得a，所以圆的方程为(x1)2(y)21.答案：(x1)2(y)21怎样快解

6、准解求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y22px(p0)上的点常设为.注意求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况(如第1题)题点全练角度(一)利用抛物线的定义解决最值、距离问题1若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()

7、A(0,0)B.C(1，) D(2,2)解析：选D过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2,2)2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2C. D3解析：选B由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.3(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于

8、点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A. B2C2 D3解析：选C法一：由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314.又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为42.法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60，则|MN|MF|4.又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为42.题型技法(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的

9、定义求解由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|.角度(二)利用抛物线的定义处理焦点弦问题4(2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14C12 D10思维路径要求|AB|DE|的最小值，需用合适的变量表示|AB|DE|，因为AB和DE均过焦点F，故考虑利用抛物线的定义，用点A，B和D，E的坐标表示|AB|和|DE|，然后利用函数或基本不等式求最值解析：选A

10、法一：抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y，得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，当且仅当k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16.法二：如图所示，设直线AB的倾斜角为，过A，B分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，则|AF|AA1|，|BF|BB1|，过点F向AA1引垂线FG，得cos ，则|AF|，同理|BF|，则

11、|AB|AF|BF|，即|AB|，因为l1与l2垂直，故直线DE的倾斜角为或，则|DE|，则|AB|DE|，则易知|AB|DE|的最小值为16.题型技法1灵活选用方法准解题定义法|AB|x1x2p斜率法|AB|2p(k为AB的斜率)倾斜角法|AB|(为AB的倾斜角)2谨记二级结论快解题如图所示，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)y1y2p2，x1x2.|AF|，|BF|(为AB的倾斜角)为定值.焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：SAOB|AB|d|OF|y1y2|.以AB为直径的圆与准线相切以AF或BF为直径的圆与y轴相切过焦点弦的端点的切线互

12、相垂直且交点在准线上冲关演练1(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析：法一：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0,4)，|FN|6.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛

13、物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案：62已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.证明：设直线AB的方程为xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得yAyBp2，即yB.BCx轴，且C在准线x上，C.则kOCkOA.直线AC经过原点O.直线与抛物线的位置关系是每年高考的重点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属于中等偏上.典题领悟(2017全国卷)设A，B为曲线C：y上两点，A

14、与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程学审题看到曲线的切线想到导数的几何意义；看到AMBM想到直角三角形的性质或0.解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)法一：由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y，得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|M

15、N|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为xy70.法二：由y，得y，设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，由得x24x4m0.由16(m1)0，得m1.则x1x24，x1x24m.AMBM，0，即(x12)(x22)(y11)(y21)0，又yxm，(x12)(x22)(x1m1)(x2m1)0，即2x1x2(m3)(x1x2)4(m1)20，8m4(m3)4(m1)20，整理得m26m70，解得m7或m1，又m1，m7，直线AB的方程为xy70.解题师说解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆

16、、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|xA|xB|p或|AB|yA|yB|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法注意涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解冲关演练(2018洛阳模拟)已知抛物线C：x22py(p0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N

17、.证明：直线AN与抛物线相切解：(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp2，p1，故抛物线C的方程为x22y.(2)设直线AB的方程为ykx，由得x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1已知抛物线x22py(p0)的准线经过点(1，1)，则抛物线的焦点坐标为()A(0,1)B(0,2)C(1,0) D(2,0)解析：选A由抛物线x22py(p0)的准线为y1，得p2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)2已知AB是抛物线y22x的

18、一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是()A2 B.C. D.解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p4，又p1，所以x1x23，所以点C的横坐标是.3设抛物线C：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若QAF的面积为2，则点P的坐标为()A(1,2)或(1，2) B(1,4)或(1，4)C(1,2) D(1,4)解析：选A设点P的坐标为(x0，y0)因为QAF的面积为2，所以2|y0|2，即|y0|2，所以x01，所以点P的坐标为(1,2)或(1，2)4已知点F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点

19、若|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B.C. D1解析：选B设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|BF|xAxBxAxBp3，则AB的中点C到y轴的距离d.5已知点A(0,2)，抛物线C1：y2ax(a0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|MN|1，则a的值为()A. B.C1 D4解析：选D依题意，点F的坐标为，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|MK|，|KM|MN|1，则|KN|KM|21.kFN，kFN2，2，解得a4.6已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点若

20、AOB的面积为4，则|AB|()A6 B8C12 D16解析：选D设A，B，F(1,0)当ABx轴时，|AB|4，SAOB|OF|AB|2，不成立，所以y1y24.由AOB的面积为4，得|y1y2|14，所以yy56，因此|AB|x1x2p216.7已知点P在抛物线y24x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y24x的准线方程为x1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得xP1，所以y4，所以|yP|2.答案：28一个顶点在原点，另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_解析：如图，根据抛物

21、线的对称性得AOx30.直线OA的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6.即得A的坐标为(6,2)|AB|4，正三角形OAB的面积为4612.答案：129已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析：由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案：210已知抛物线y24x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点若|AF|

22、3，则|BF|_.解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|xA13，所以xA2，yA2，所以直线AB的斜率为k2.则直线AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立整理得2x25x20，xAxB，所以xB，所以|BF|xB1.答案：B级中档题目练通抓牢1已知抛物线C：y28x的焦点为F，P是抛物线C的准线上一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点若|PQ|QF|，则直线PF的方程为()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20解析：选B如图，过点Q作QMl于点M.|QF|等于点Q到准线的距离|QM|，|PQ|QM|，PQM45，PFO45，直线P

23、F的倾斜角为135，即斜率k1，直线PF的方程为y01(x2)，即xy20.2已知点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|PM|的最小值是()A. B4C. D5解析：选C设抛物线y22x的焦点为F，则|PF|PM|，|PM|PF|.|PA|PM|PA|PF|.将x代入抛物线方程y22x，得y.4，点A在抛物线的外部当P，A，F三点共线时，|PA|PF|有最小值F，|AF| 5.|PA|PM|有最小值5.3.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay2xBy23xC

24、y2x Dy29x解析：选B如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|a，则|BC|2a，由抛物线的定义得，|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|3，|AC|33a，2|AE|AC|，所以633a，从而得a1，因为BDFG，所以.即，解得p，因此抛物线方程为y23x.4(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|

25、AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立消去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx5已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则实数a的取值范围为_解析：如图，设C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)，则(x0，ax)，(x0，ax)CACB，0，即(ax)(ax)20，(ax)(1ax)0.xa10，a1.答案：1，)6已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为

26、B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA，MNFA，kMN.FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，N的坐标为.7.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物

27、线的方程为y22px(p0)因为点P(1,2)在抛物线上，所以222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA(x11)，kPB(x21)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以，所以y12(y22)所以y1y24.由得，yy4(x1x2)，所以kAB1(x1x2)C级重难题目自主选做1过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A，B两点，以线段AB为直径的圆C过点E(2,3)，则圆C的方

28、程为()A(x1)2(y2)22B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)217D(x1)2(y2)226解析：选B设直线AB的方程为x1ty.由得y24ty40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(1，y1)，B(1，y2)y1y24t，y1y24.又以AB为直径的圆C过点E(2,3)，(1,3y1)，(1,3y2)，1(3y1)(3y2)0，即y1y23(y1y2)10412t100，解得t.y1y22，圆C的圆心为(1,1)半径R.圆C的方程为(x1)2(y1)25.2(2018武汉调研)已知直线yk(x2)与抛物线：y2x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线

29、交于点N.(1)证明：抛物线在点N处的切线与直线AB平行；(2)是否存在实数k使0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由消去y并整理，得2k2x2(8k21)x8k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24，xM，yMk(xM2)k.由题设条件可知，yNyM，xN2y，N.设抛物线在点N处的切线l的方程为ym，将x2y2代入上式，得2my2y0.直线l与抛物线相切，142m0，mk，即lAB.(2)假设存在实数k，使0，则NANB.M是AB的中点，|MN|AB|.由(1)，得|AB|x1x2|.MNy轴，|MN|xMxN|.，解得k.故存在k，使0.

30、(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.B1C. D2解析：选Dy24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)，得k2.2已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A3 B.C. D.解析：选A已知F(2,0)，设P(2，t)，Q(x0，y0)，则(4，t)，(x02，y0)由题设可得4(x02)4，即x01，所以|QF|x023.3已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的

31、中点到x轴的最短距离为()A. B.C1 D2解析：选D设AB的中点为M，焦点为F(0,1)，过点M作准线l：y1的垂线MN，垂足为N，过点A作ACl于点C，过点B作BDl于点D，则|MN|3，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，所以AB的中点到x轴的最短距离dmin312.故选D.4已知点A是抛物线C：x22py(p0)上一点，O为坐标原点若A，B是以点M(0,10)为圆心，OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO为等边三角形，则p的值是()A. B.C. D.解析：选C如图，因为|MA|OA|，所以点A在线段OM的垂直平分线上又因为M(0,10)，所以可设A(x,5)由tan 3

32、0，得x.将A代入方程x22py，得p.5(2018太原模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|6，则AOB的面积为()A. B2C2 D4解析：选A因为抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|4，不满足题意，所以设直线AB的方程为yk(x1)，与y24x联立，消去x得ky24y4k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y24，所以|y1y2| ，因为|AB|y1y2|6，所以46，解得k，所以|y1y2|2，所以AOB的面积为12，故选A.6过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24

33、x相交于A，B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x2的垂线，垂足分别为D，E，|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.答案：7(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立消去x，得a2y22p

34、b2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx8已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则实数a的取值范围为_解析：如图，设C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)，则(x0，ax)，(x0，ax)CACB，0，即(ax)(ax)20，(ax)(1ax)0.xa10，a1.答案：1，)9.如图所示，已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点(1)若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|20，求直线l的方程解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)

35、因为线段AB的中点在直线y2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直线l的方程是yx1.(2)设直线l的方程为xmy1，与抛物线方程联立得消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24，16(m21)0.|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.10.(2018合肥模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y24x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点以点

36、F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B.(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明解：(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1时，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.所以，解得k.即直线l的方程为y(x1)(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y4x0.因为|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直线AB的方程为y(xx0)，整理得，xx0，把上式代入y24x得y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直线AB与抛物线C相切B级拔高题目稳做准做1(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：选B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，解得p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.2设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF