4 相关与一元线性回归ppt课件

1、1,第八章 相关与一元回归分析,8.1 变量间关系的度量 8.2 一元线性回归 8.3 利用回归方程进行估计和预测,2,学习内容,1.相关系数的分析方法 线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 回归方程的显著性检验 利用回归方程进行估计和预测,3,8.1 变量间关系的度量,变量间的关系 相关关系的描述与测度,4,一. 变量间的关系函数关系,是一一对应的确定关系 设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是 x的函数，记为y =f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量 各观测点落在一条线上,5,函数关

2、系(几个例子), 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)、单位产量消耗(x2)、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,6,相关关系(correlation),变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,7,相关关系(几个例子), 相关关系的例子 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)

3、之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系,8,相关关系(类型),9,散点图(scatter diagram),10,散点图(例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增加，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的2

4、5家分行2002年的有关业务数据,11,散点图(例题分析),12,散点图(例题分析),13,相关系数(correlation coefficient),对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r,14,相关系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,15,相关系数协方差,协方差为正值时，表示正线性相关关系。,16,协方差为负值时，表示负线性相关关系。,相关系数协方差,17,协方差接近于零时，表示很小，没有线性相关关系。,相关系数协方差,18,协

5、方差(covariance)：两个变量与其均值离差乘积的平均数，是相互关系的一种度量。,总体协方差：,样本协方差：,相关系数协方差,19,协方差为大的正值时，表示强的正线性相关关系。,协方差接近于零时，表示很小，没有线性相关关系。,协方差为大的负值时，表示强的负线性相关关系。,协方差,相关系数协方差,20,cm,kg,mm,kg,大于,基本结论：协方差受计量单位影响，从而不能真实反映相关的程度。,相关系数协方差,21,相关系数（correlation coefficient）:协方差与两变量标准差乘积的比值，是没有量纲的、标准化的协方差。,总体相关系数,样本相关系数,相关系数协方差,22,相关

6、系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,23,相关系数(取值及其意义),r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r = -1，为完全负相关 r = 0，不存在线性相关关系相关 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切,24,相关系数(取值及其意义),r,25,相关系数的性质,性质1：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，即rxy= ryx 性质2：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 性质3：仅仅是x与y之间线性关系

7、的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意味着， r=0只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没 有任何关系 性质4：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与y一定有因果关系,26,相关系数的经验解释,|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|0.8时，可视为中度相关 0.3|r|t，拒绝H0； tt=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有线性关系,58,回归系数检验 (例题分析),P 值的应用,P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷 款余额之间有线性关系,59,8.3 利用回归方程进行估计和预测,点估计 区间

8、估计,60,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值 估计或预测的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计,61,点估计,2. 点估计值有 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同,对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值,62,y 的平均值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量x 的一个给定值x0，求出因变量y的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估

9、计 在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计 。根据估计的回归方程得,63,y 的个别值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计 比如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得,64,区间估计,点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间 区间估

10、计有两种类型 置信区间估计(confidence interval estimate) 预测区间估计(prediction interval estimate),65,置信区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间 E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为,式中：sy为估计标准误差,66,置信区间估计(例题分析),【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95% 的置信区间. 解：根据前面的计算结果，已知n=25， sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为:,当贷款余额为100亿元时，不

11、良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间,67,预测区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间 y0在1-置信水平下的预测区间为,68,预测区间估计(例题分析),【例】求出贷款余额为72.8亿元时，不良贷款 95% 的置信区间. 解：根据前面的计算结果，已知n=25， sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为:,贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间,69,影响区间宽度的因素,置信水平(1-) 区间宽度随置信水平的增大而增大