勾股定理与方程思想的综合应用

1、勾股定理的方程思想,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,勾股定理,勾股定理的常见表达式和变形式,在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？,感受新知1,AB的中垂线DE交BC于点D,AD=BD,BC=3,BD+CD,AD+CD,=,=,3,如图，在RtABC中，C=90, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，则AD的长为.,x,3-x,感受新知2,在直角三角形中（已知两边的数量关系）,设其中一边为x,利用勾股定理列方程,解方程,求各边长,基本过程,如图，有一张直角三角形纸片，

2、两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.,6,6,例 1,解：在RtABC中 AC=6cm，BC=8cm AB=10cm,设CDDExcm，则BD（8-x）cm,由折叠可知AEAC6cm，CDDE, C= AED=90,解得x3 CD=DE=3cm,BE10-64cm, BED=90,在RtBDE中 由勾股定理可得（8-x）2 x2+42,例 1,练习,在九章算术中记载了一道有趣的数学题： “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭 赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”,这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中

3、央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？请解这道题。,例 2,有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？,例 2,解:设水深x尺，则芦苇长(x+1)尺，,由题意，得x2+52=(x+1)2,有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？,解得： x=12,答：水深12尺，芦苇长13尺。,5,x,1,x+1,例 2,思考1,1、如图，铁

4、路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？,解：,设AE= x km，则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：E站应建在离A站10km处。,x,25-x,思考1,在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？,A,B,C,D,思考2,A,B,C,D,解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m.,设AD长为x m，则树高为(x+5)m.,AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 15 - x.,在RtABC中，根据勾股定理得,解得x=2.5,答：树高为7.5米。,