整式的乘法与因式分解

1、,第十四章 整式的乘法与因式分解,14.1 整式的乘法 14.1.1 整式的乘法,1,课前预习 1. 102103的结果是 （ ） A.104 B.105 C.106 D.108 2. 计算： (1)x5x; (2)10103106; (3)-b2b3; (4)y 3m y m+2 . 3.x6=x 4+2 =x4 ;y2 =y5. 4.若xm=3,xn=2，则xm+n = .,B,原式=x6,原式=1010,原式=-b5,原式=y4m+2,x2,y3,6,2,课堂精讲 知识点.同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘法法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有 即同底数幂相乘，

2、底数不变，指数相加 注意：(1)三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适 用，即 (m，n，p都是正整数) (2)不要忽视指数为l的因数 (3)底数不一定只是一个数或一个字母 (4)注意法则的逆用，即 郝是正整数）,3,【例】化简： （1）an+2an+1an （2）a4an1+2an+1a2 （3）（xy）2（yx）5 解析：本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂 相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键（1） 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；（2）先根 据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即 可；（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可,4,解：（1）原式=an+2+n+1+n

3、=a3n+3； （2）原式=a4+n1+2an+1+2 =an+3+2an+3 =3an+3； （3）原式=（xy）2（xy）5 =（xy）7,5,课堂精讲 变式拓展 1.下列各式中，正确的是（ ） Aa4a2=a8 Ba4a2=a6 Ca4a2=a16 Da4a2=a2,B,6,2.计算： （1）（6）763； （2）（ab）（ba）4 （3）an+1a3+ana4； （4）a2（a）3a+a4（a）2,原式=6763=610；,原式=（ab）（ab）4 =（ab）5,原式=an+1a3+ana4 =an+4+an+4 =2an+4,原式=a2（a）3a+a4（a）2 =a6+a6=0,7,

4、随堂检测 1.计算（m）2m3的结果是（ ） Am5 Bm5 Cm6 Dm6 2.在等式x2x5（ ）=x11中，括号里的代数式应为（ ） Ax2 Bx3 Cx4 Dx5 3.下列运算错误的是（ ） Ax2x4=x6 B（b）2（b）4=b6 Cxx3x5=x9 D（a+1）2（a+1）3=（a+1）5,B,B,8,4.xm+nxmn=x10，则m= 5.已知：2x=4，2y=8，求2x+y 6.计算： （1）255525253；,5,解：2x=4，2y=8， 2x+y=2x2y=48=32,解：255525253 =525525253 =5555 =0,9,（2）（mn）2（nm）2（nm）

5、4 （3）（x-y）（y-x）2（x-y）3-（y-x）6,解：原式=（nm）2（nm）2（nm）4 =（nm）8,解：（x-y）（y-x）2（x-y）3-（y-x）6 =（x-y）（x-y）2（x-y）3-（x-y）6 =（x-y）6-（x-y）6 =0,10,14.1.2 幂的乘方,11,课前预习 1.(10 3) 4=( );(x 2) 5=( ) 2.(x m) n=( );(a 3) na 2=( ) 3.(-3 2) 2=( );(-x 2) 3=( ) 4. (3 2) 5等于 （ ） A.310 B.37 C.152 D.65 5. (x 3) 2(x 2) 3等于 （ ） A

6、.x10 B. x25 C. x12 D.x36,1012,x10,xnm,a3n+2,34,-x6,A,C,12,课堂精讲 知识点.幂的乘方 （1）幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如(a5)3是三个a5相 乘，读作n的五次幂的三次方，(am)n是n个am相乘，读 作a的m次幂的n次方. （2）幂的乘方法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有 即幂的乘方，底数不变，指数相乘,13,提示：(1)此法则可推广为 (m，n，p都是正整数) (2)此法则可以逆用： (m，n都是正整数),14,【例1】（x4）2等于（ ） AX6 BX8 CX16 D2x4 解析：根

7、据幂的乘方等于底数不变指数相乘，可得答 案 解：原式=x42=x8， 答案：B 【例2】计算：x2（x4）9 解析：首先计算幂的乘方，然后计算同底数的幂的乘 法即可求解 解：原式=x2x36=x38,15,课堂精讲 变式拓展 1.（2015青浦区一模）下列各式中与（-a2）3相等的是（ ） Aa5 Ba6 C-a5 D-a6 2.计算： （1）（x2）3（x3）5； （2）（a2）3（a3）4.,D,（x2）3（x3）5=（x6）（x15）=x21,（a2）3（a3）4=（a6）a12=a18,16,随堂检测 1.计算（a3）2的结果是（ ） Aa6 Ba6 Ca8 Da8 2.（2015黄浦

8、区二模）计算：（a2）2= . 3.93=3m，则m= 4.计算：（a5）5（a）2 5.计算：（-x6）2（-x2）3x5,A,a4,6,解：原式=a25a2 =a27,解：原式=（-1）2x62（-1）3x23x5 =-x12+6+5 =-x23,17,14.1.3 积的乘方,18,课前预习 1.(ab) 2= ;(ab)3= . 2.(a2b)3= ;(2a 2b)2= ; (-3xy2)2= . 3. 下列计算中正确的是 （ ） A. (xy) 3=xy3 B. (2xy)3=6x3y3 C. (-3x2) 3=27x5 D. (a2b) n=a2n bn 4. 如果(ambn) 3=

9、a9b12 ，那么m,n的值等于 （ ） A. m=9,n=4 B. m=3,n=4 C. m=4,n=3 D. m=9,n=6,a2b2,a3b3,a6b3,4a4b2,9x2y4,D,19,课堂精讲 知识点.积的乘方 （1）积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方如(ab)3，(ab)n 等 （ab）3=（ab）（ab）（ab） （积的乘方的意义） =（aaa）(bbb) （乘法交换律、结合律） =a3 b3 （2）积的乘方法则. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n.,20,即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘 注意：(1)三个或三个以上因式的积的乘方

10、，也具有这 一性质例如(abc)n=anbncn（n为正整数） (2)此法则可以逆用：anbn=(ab)n(n为正整数),21,【例1】（2015滨海县一模）计算（2x2y）3的结果是 （ ） A8x6y3 B6x6y3 C8x5y3 D6x5y3 解析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行运算即 可 解：（2x2y）3=8x6y3 答案：A,22,【例2】计算： （1）a3（b3）2+（2ab2）3 （2）（2）（a2b3）23a2 解析：本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂 的乘法运算，掌握运算法则是解答本题的关键 解：（1）原式=a3b68a3b6=7a3b6 （2）（a2b3）23a

11、2=a12b18a2=a14b18,23,课堂精讲 变式拓展 1. 计算： (1)(a2b ) 5; (2)(-pq) 3; (3)(-a2b 3) 2. 2. 下列计算正确的是 （ ） A. (ab3) 2=a 2b 6 B.(3xy) 2=6x2y2 C. (-2a 3) 2=-4a 6 D.(-x 2yz) 3=-x6yz3,原式=a10b,原式=-p3q3,原式=a4b6,A,24,随堂检测 1.计算（3a3）2的结果是（ ） A.3a6 B.3a6 C.9a6 D.9a6 2.若（ambn）2=a8b6，那么m22n的值是（ ） A10 B52 C20 D32 3.化简：（a2b3）

12、3= 4.计算：（2x）3（3xy2）2 5.计算：（2m2n2）23m3n3,D,A,a6b9,原式=8x39x2y4 =72x5y4,原式=4m4n43m3n3， =12m43n4+3， =12mn1,25,14.1.4 整式的乘法,26,课前预习 1. (-5x) (2x)2= . （ ） A. -10 x3 B. -20 x3 C. -10 x3-5x D. 10 x3 2. 下列计算正确的是 （ ） A. 3x22x3=6x6 B. 2x3x5=6x5 C. 3a25a4=15a6 D. 4x55x4=9x9 3. 计算(-3x)(2x2-5x-1)的结果是 （ ） A. -6x 2

13、-15x 2-3x B. -6x 3+15x 2+3x C. -6x 2+15x 2 D. -6x 3+15x 2-1 4. (1)(x+2)(x-3)= ; (2)(3a-2b)(2a+5b)= .,B,C,B,x2-x-6,6a2+11ab-10b2,27,课堂精讲 知识点1.单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式， 注意：(1)积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符 号，再计算积的绝对值 (2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变， 指数相加”进行计算 (3)只在一个单项

14、式里含有的字母，要连同它的指数写在 积里，注意不要把这个因式丢掉 (4)单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个以上的单项 式相乘同样适用 (5)单项式乘单项式的结果仍然是单项式,28,【例1】 计算： 解析：(1)直接运用单项式乘法法则，把系数、相同 字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式.(2)三个单项式相乘， 仍然按照系数、相同字母、不同字母三部分分别相乘 .(3)含有乘方运算，应先算乘方，再运用单项式乘法 法则计算.,29,30,课堂精讲 变式拓展 1. 计算： (1)(2x 2y) 3(-4xy 2); (2)(410 5)(210 4) 2; (3)

15、9x 2y(-2xy 3)(-3xz 3); (4)(9m 2n)( m 2n2)(-m 3n 3).,原式=8x6y3(-4xy2)=-32x7y5.,原式=(4105)(4108)=161013 =1.61014.,原式=54x4y4z3.,原式=-6m7n6,31,课堂精讲 知识点2.单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的积相加，用式子表示为 注意：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用 分配律将其转化为单项式乘单项式 (2)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数 与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中 是否漏乘

16、某些项 (3)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前 面的符号，同时还要注意单项式的符号 (4)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须 合并，从而得到最简结果.,32,【例2】 计算：,33,变式拓展 2. 计算： (1)(-2a 2) ab+b2; (2) x2y-6xy xy2; (3)- x2y(-6x3y7+5x4y4-8x6y2); (4)3ab(6a2b4-3ab+ ab2).,原式=-a3b-2a2b2,原式= x3y3-3x2y3,原式=3x5y8- x6y5+4x8y3.,原式=18a3b5-9a2b2+ a2b3,34,课堂精讲 知识点3.多项式与多项式相乘

17、 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加用式子 表示为 注意：(1)运用多项式乘法法则时，必须做到不重不 漏为此，相乘时，要按一定的顺序进行例如（m+n） （a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多 项式相乘，得m（a+b+c）与n(a+b+c)，再用单项式乘多 项式的法则展开，即（m+n）(a+b+c)=m（a+b+c）+n （a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc (2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之 前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积,35,【例3】 计算: (1)(x-2)(x-5); (2

18、)(x+2y)(5a+3b-2c); (3)(3a+b)(a-2b)(2a+b). 解析： (1)可用(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab进行计算;(2) 直接运用多项式乘以多项式的法则进行计算;(3)是三 个多项式相乘，可以先把其中的两个多项式相乘，把 积化简后，再和第三个多项式相乘，注意最后要合并 同类项.,36,解： (1)(x-2)(x-5) =x 2+(-2)+(-5)x+ (-2) (-5) =x 2-7x+10; (2)(x+2y)(5a+3b-2c) =x5a+x3b-x2c+2y5a+2y3b-2y2c =5ax+3bx-2cx+10ay+6by-4cy; (3)

19、(3a+b)(a-2b)(2a+b) =(3aa-3a2b+ba-b2b)(2a+b) =(3a 2-6ab+ab-2b 2)(2a+b) =(3a 2-5ab-2b 2)(2a+b) =3a 22a+3a 2b-5ab2a-5abb-2b 22a-2b 2b =6a 3+3a 2b-10a 2b-5ab 2-4ab 2-2b 3 =6a 3-7a 2b-9ab 2-2b 3.,37,变式拓展 3. 计算： (1)(a-2b)(5a+3b); (2)(x+y)(x2-xy+y2);,原式=a5a+a3b+（-2b）5a+(-2b)3b =5a2+3ab-10ab-6b2 =5a2-7ab-6b

20、2.,原式=xx2+x(-xy)+xy2+yx2+y(-xy)+yy2 =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.,38,(3)(5x+2y)(3x-2y); (4)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b).,原式=5x3x+5x(-2y)+2y3x+2y(-2y) =15x2-10 xy+6xy-4y2 =15x2-4xy-4y2.,原式=(a2-2ab+ab-2b2)-(a2-ab+2ab-2b2) =a2-ab-2b2-a2-ab+2b2 =-2ab.,39,随堂检测 1.计算y2（xy3）2的结果是（ ） Ax3y10 Bx2y8 Cx3y8 Dx4y12 2.下

21、列计算正确的是（ ） Ax（x2x1）=x3x1 Bab（a+b）=a2+b2 C3x（x22x1）=3x36x23x D2x（x2x1）=2x32x2+2x 3.计算：（3x1）（2x+1）= ,B,C,6x2+x1,40,4.计算：（ ax2）（2a2x）3 5.计算：（2a2）（3ab25ab3）,原式= ax2（2）3a6x3， = ax2（8）a6x3， =2a7x5,原式=6a3b2+10a3b3,41,6.计算： （1）（ ab2a）（ a2b2）； （2）（2m1）（3m2）,原式= a3b3+ a3b2,原式=6m24m3m+2 =6m27m+2,42,14.1.5 同底数幂

22、的除法,43,课前预习 1. 下列计算，结果正确的是 ( ) A.x2x=x2 B.a3a 3=a3-3 =0 C.(-x) 5x3=(-x)2=x2 D.(-a) 3a2=-a 2. 108104102= ,(-5) 755= .,D,102,-25,44,课堂精讲 知识点1.零底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则：一般地，我们有aman = am-n(aO，m，n都是正整数，并且mn) 即同底数幂相除，底数不变，指数相减 注意：(1)底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底 数a不能为O，若a为O，则除数为O，除法就没有意义 了 (2)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如

23、：amanap=am-n-p(aO，m，n，p都是正整数，且 mn+p) (3)应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么， 然后按同底数幂的除法法则进行计算 (4)同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算,45,【例1】 计算： (1)a8a5; (2)(-x)6(-x)3; (3)b 2m+2 b 2m-1 ; (4)(abc)5(-abc)2. 解析：同底数幂相除，直接运用法则计算，底数是互为相反 数的应先化为同底，再计算. 解：(1)a8a5=a8-5 =a3. (2)(-x)6(-x)3=(-x) 3=-x3. (3)b2m+2 b2m-1 =b2m+2-2m+1 =b3. (4

24、)(abc) 5(-abc) 2=(abc) 5(abc) 2=(abc)3=a3b3c3.,46,课堂精讲 变式拓展 1. 计算： (1)x8x7; (2) (- x4)(- x); (3)a11 a11 ; (4) (- )6( )2.,原式=x,原式= - x3,原式=1,原式= ( )4,47,课堂精讲 知识点2.零指数次幂 (1)零指数幂性质规定的原因. 计算：a ma m. 一方面：根据除法的意义，可知a ma m=1; 另一方面：依照同底数幂的除法，又可得 a ma m=a m-m =a 0.于是规定：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. (2)零指数幂的性质. 任何不等于0的数

25、的0次幂都等于1.即 a0=1(a0).,48,【例2】若(2a-l)0 =1，则( ) A.a- B.a=0 C.a DaO 解析：a0 =1成立的条件是aO，2a-lO，即a 答案：C,49,2.80= ;(-5)0= . 3. 如果(x-3) 0=1，则x的取值范围是 ( ) A. x3 B. x3 C. x=3 D. x3,1,1,D,50,随堂检测 1.下列各式计算正确的是（ ） A（a5）2=a7 B2x2= C4a32a2=8a6 Da8a2=a6 2.（2015嵊州市一模）下列计算正确的是（ ） A6a5a=1 B.（a2）3=a5 Ca6a3=a2 Da2a3=a5 3下列运

26、算正确的是（ ） A.(2x-3)0=1 B. 0=0 C.(a2 -1)0 =1 D.(m2 +1)0 =1 4.计算：（ ）5（ ）2= ,D,D,D,51,5.若(x-5)0 =1，则x的取值范围是 6.已知xa=32，xb=4，求xab,x5,解：xa=32，xb=4， xab=xaxb=324=8,52,14.1.6 整式的除法,53,课前预习 1. 填空： (1)8x 34x= ;(2)6a2b2ab= ; (3)12a3b2x 43ab2= . 2.计算：-5a5b3c15a4b3的结果是 （ ） A.3ac B.-3ac C. ac D.- ac 3.根据(a+b)x=ax+b

27、x，可得出(ax+bx)x= ,用同样的方法，计算(4xy2+2x2y)2xy= .,2x 2,3a,4a2x4,D,a+b,2y+x,54,课堂精讲 知识点1.单项式除以单项式 单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底 数幂分别相除作为商的因式， 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为 商的一个因式， 注意：(1)法则包括三个方面：系数相除；同底数 幂相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数 作为商的一个因式 (2)计算结果是否正确，可由单项式乘法验证,55,【例1】 计算： (1)12x5y3z(3x4y); (3)(1.210 7)(510 4). 解析： 运用单项式与单

28、项式相除的法则计算. 解： (1)12x5y 3z(3x4y)=(123)x5-4 y3-1 z=4xy2z. (3)原式=(1.25)10 7-4 =0.24103=2.4102.,56,课堂精讲 变式拓展： 1. 计算： (1)12a4b3c2(-3a2bc2); (2)(2a2b)2(4a3b); (3)(7.2108)(-3.6105).,原式=-4a2b2,原式=4a4b2(4a3b)=ab,原式=-2103,57,课堂精讲 知识点2.多项式除以单项式 多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这 个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相 加. 注意：(1)多项式除以单项式是

29、将其化为单项式除以单 项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符 号 (2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该 有几项，不要漏项 (3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算， 可用其进行检验,58,【例2】 计算： (1)(16x 4-8x 3-4x)(4x); (2)(24a 3b 3c+12a 2b 3c-6abc)(6abc). 解析：运用多项式除以单项式法则计算. 解：(1)原式=16x 4(4x)-8x 3(4x)-4x(4x)= 4x 3-2x 2-1. (2)原式=24a3b3c(6abc)+12a2b3c(6abc)- 6abc(6abc)=4a2b2+2ab2-

30、1.,59,2.计算： (1)(0.25a4b3- a4b5- a3b2)(0.5a3b2); (2)(21x3y3-15x2y2)(-3xy); (3)(2x3-3x2y+4xy3)(-2x); (4)( a4b7+ a3b8- a2b6)( a2b6).,原式= ab-ab3-,原式=-7x2y2+5xy,原式=-x2+ xy-2y,原式= a2b+ ab2-1,60,随堂检测 1.计算2x6x4的结果是（ ） Ax2 B2x2 C2x4 D2x10 2.计算（5m2+15m3n20m4）（5m2）结果正确的是（ ） A13mn+4m2 B13m+4m2 C4m23mn1 D4m23mn

31、3.（2015平定县一模）下列计算正确的是（ ） Aa3a=a3 B（2a+b）2=4a2+b2 Ca8ba2=a4b D（3ab3）2=9a2b6 4.已知一个长方形的面积是x22x，长为x，那么它的宽为 5.计算：8x2（2x）= ,B,D,x-2,-4x,61,6.计算： （1）24a3b23ab2 （2）（9x415x2+6x）3x,原式=8a3,原式=3x35x+2,62,14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式,63,课前预习 1. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是 （ ） A. (x+y)(-x-y) B. (2x+3y)(2x-3z) C. (-a-b)(a-b)

32、 D. (m-n)(n-m) 2. 下列计算正确的是 （ ） A. (2x+3)(2x-3)=2x 2-9 B. (x+4)(x-4)=x 2-4 C. (5+x)(x-6)=x 2-30 D. (-1+4b)(-1-4b)=1-16b 2,C,D,64,3. 利用公式计算： （1）(x-1)(x+1); （2）1.030.97,原式=x2-1,原式=(1+0.03)(1-0.03) =1-(0.03)2 =1-0.000 9 =0.999 1,65,课堂精讲 知识点.平方差公式 （1）平方差公式 一般地，我们有 即两个数的和与这两个 数的差的积，等于这两个数的平方差，这个公式叫做 （乘法的）

33、平方差公式 （2）平方差公式的特点 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一 项完全相同，另一项互为相反数； 右边是相同项的平方减去相反项的平方； 公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式,66,归纳：公式(a+b) (a-b) =a2 -b2的8种变化形式：,67,【例】 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪 些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果. (1)(2a-3b)(3b-2a); (2)(-2a+3b)(2a+3b); (3)(-2a+3b)(-2a-3b); (4)(2a+3b)(2a-3b); (5)(-2a-3b)(2a-3b); (6)(2a+3b)(-2a-

34、3b). 解析： 依据平方差公式的特点来判断，把这两个多项式 中每一个多项式分成两部分，其中一部分完全相同，另 一部分互为相反数. 解： (2)(3)(4)(5)可以用平方差公式计算，(1)(6)不能用平 方差公式计算. (2)(-2a+3b)(2a+3b)=(3b) 2-(2a) 2=9b 2-4a 2; (3) (-2a+3b)(-2a-3b)=(-2a) 2-(3b) 2=4a 2-9b 2; (4)(2a+3b)(2a-3b)=(2a) 2-(3b) 2=4a 2-9b 2; (5)(-2a-3b)(2a-3b)=(-3b) 2-(2a) 2=9b 2-4a 2.,68,课堂精讲 变式

35、拓展： 计算： (1)(a-1) (a+1); (2)(-3x2+y2)(y2+3x2); (3)(-m+3n)(-m-3n).,原式= a2-1,原式=y4-9x4,原式=m2-9n2,69,随堂检测 1.计算（a+b）（a+b）的结果是（ ） Ab2a2 Ba2b2 Ca22ab+b2 Da2+2ab+b2 2.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A（x+1）（1+x） B（ a+b）（ba） C（a+b）（ab） D（x2y）（x+y2） 3.（2014梅州）已知a+b=4，ab=3，则a2b2= 4.已知a2b2=6，ab=1，则a+b= ,A,B,12,6,70,5.（

36、m+n）（ ）=m2+n2 6.化简：（a+b）（ab）+2b2,m+n,解：原式=a2b2+2b2 =a2+b2,71,14.2.2 完全平方公式,72,课前预习 1.(2a+b)2=4a2+ +b2. 2.(-x- )2= . 3.(x+y)2=(x-y) 2+ . 4. 如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m= .,4ab,x2+x+,4xy,6,73,课堂精讲 知识点.完全平方公式 一般地，我们有（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加 上（或减去）它们的积的2倍 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式 完全

37、平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方， 二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项 是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中 两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同， 注意：(1)公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式 (2)对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用完全 平方公式计算,74,归纳：完全平方公式的常用形式： (l)a2 +b2 = (a+b) 2 - 2ab= (a-b)2 +2ab; (2) ab= （a+b）2-（a2+b2）； (5) (a+b) 2 = (a-b)2 +4ab; (6) (a-b) 2 = (a+b)

38、2 -4ab; (7)ab=,75,【例1】 化简: (1)(a+3b) 2; (2)(-x+3y) 2; (3)(-m-n) 2; (4)(2x+3)(-2x-3). 解析：此题可利用完全平方公式计算.(1)题是两数和 的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中a相当 于公式中的a,3b相当于公式中的b；(2)题(-x+3y)2=(3y- x) 2= (x-3y) 2 ，应选用“差”的完全平方公式；(3)题 (-m-n) 2=-(m+n)2=(m+n) 2,应选择“和”的完全平 方公式计算；(4)题中的-2x-3=-(2x+3)，原式可变形为 -(2x+3) 2，选择“和”的完全平方公式计算.

39、,76,解： (1)(a+3b) 2=a 2+2a3b+(3b) 2=a 2+6ab+9b 2. (2)(-x+3y) 2=(3y-x) 2=(3y) 2-23yx+x 2=9y 2-6xy+x 2. (3)(-m-n) 2=(m+n) 2=m 2+2mn+n 2. (4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3) 2=-(4x 2+12x+9)=-4x 2-12x-9.,77,课堂精讲 变式拓展： 计算: (1)(-3a-4b) 2; (2)(5x-2y) 2+20 xy; (3)(2m+n)(2m-n)2; (4)(y+3) 2-(3-y) 2.,9a2+24ab+16b2,25x2+4y

40、2,16m4-8m2n2+n4,12y,78,随堂检测 1.若m+n=7，mn=12，则m2mn+n2的值是（ ） A11 B13 C37 D61 2.（2015北京一模）在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（ ） Ax B3x C6x D9x 3.已知（x+y）22x2y+1=0，则x+y= 4.化简：（a+3）26a= 5.x210 x+ =（x ）2 6.若9x2+kx+16是一个完全平方式，求k的值,B,C,1,a2+9,25,5,解：中间一项为加上或减去3x和4积的2倍， 故k=24,79,14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法,80,

41、课前预习 1. 把下列多项式写成整式乘积的形式： (1)a 2+a= ;(2)x 2-1= . 2.下列变形：a(x+y)=ax+ay;x2-4x+4=x(x-4)+4;10 x2-5x=5x(2x-1);x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x.其中属于因式分解的有 . 3.8a3b2与12ab3c的公因式是 . 4. 把下列各式分解因式： (1)6mn 2+2mn; (2)18xyz-12x 2y 2;,a(a+1),(x+1)(x-1),4ab 2,原式=2mn(3n+1),原式=6xy(3z-2xy),81,课堂精讲 知识点1.因式分解的概念 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形

42、式，这种 式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式. 如：ax+ay=a(x+y),a 2-b 2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b 2=(a+b) 2, x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), am+an+bm+bn=(a+b)(m+n)，,都是因式分解. 注意: 因式分解专指多项式的恒等变形，即等式的 左边必须是多项式.,82,因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.如 x2+xy=x(x+y)是因式分解，而2x+2y+3y=2(x+y)+3y不 是因式分解. 因式分解与整式的乘法互为逆变形.例如：(3x- 2)(3x+2)=9x 2-4是整式的乘

43、法，反过来，9x 2-4=(3x- 2)(3x+2)是因式分解，所以因式分解的结果可以用整 式的乘法进行验证.,83,【例1】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？ 哪些不是？ （1）24x2y=4x6xy； （2）（x+5）（x5）=x225； （3）x2+2x3=（x+3）（x1）； （4）9x26x+1=3x（3x2）+1； （5）x2+1=x（x+ ） 解析：根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个 整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做分解因式.,84,解：（1）因式分解是针对多项式来说的，故（1）不 是因式分解； （2）右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3

44、）是因式分解； （4）右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）右边不是整式积的形式，不是因式分解； 则（1）（2）（4）（5）不是因式分解，（3）是因 式分解,85,课堂精讲 1.下列各式哪些是因式分解（ ） Ax2+x=x（x+1） Ba（ab）=a2abb C（a+3）（a3）=a29 Da22a+1=a（a2）+1 2.（2015潮南区一模）从左到右的变形，是因式分解的为（ ） A（3x）（3+x）=9x2 B（ab）（a2+ab+b2）=a3b3 Ca24ab+4b21=a（a4b）+（2b+1）（2b1） D4x225y2=（2x+5y）（2x5y）,A,D,86,课堂精讲 知识

45、点2.提公因式法分解因式 (1)一个多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式 各项的公因式. (2)一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法. 注意：(1)提公因式分解因式的关键是确定公因式.确 定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别 考虑： 对 于数字系数如果是整数系数，取各项系数的 最大公约数作为公因式的系数；对于字母，需考虑两 条：一条是取各项相同的字母；另一条是各相同字母的 指数取其次数最低的.,87,(2)乘法分配律是提公因式法的依据，提公因式法实质 上是分配律的“逆用”，即 (3)提公因

46、式法分解因式的一般步骤是：第一步找出公 因式；第二步提公因式并确定另一个因式.提公因式 时可用原多项式除的公因式，所得的商即为提公因式 后剩下的另一个因式.也可以用公因式分别去除原多 项式的每一项，求得剩下的另一个因式.例如：因式 分解8a 3b 2-12ab 2c，提公因式4ab 2时，用4ab 2分 别去除原多项式的每一项，得(8a 3b 24ab 2- 12ab3c4ab 2)=2a 2-3bc,即8a 3b 2-12ab3c=4ab2(2a2- 3bc).,88,【例2】 运用提取公因式法分解因式. (1)12a 2b 3+6a 2b 2-18a 3b 2; (2)-27m 2n+9m

47、n 2-18mn; (3)5a 2(x-y)+10a(y-x); (4)x(x-y) 2-y(y-x) 2; (5)18(a-b) 3-12b(b-a) 2. 解析：(1)系数12，6，-18的最大公约数为6.相同字母 a,b的最低次幂为a2b2，公因式为6a2b2.12a2b3+6a2b2- 18a3b2=6a2b2(2b+1-3a). 注意括号内第二项应为1.,89,(2)当第一项系数为负时，应提出负号，括号内各项都变号， 公因式为-9mn. -27m2n+9mn2-18mn =-9mn(3m-n+2) . (3)y-x=-(x-y), 公因式为5a(x-y). 5a2(x-y)+10a(

48、y-x) =5a(x-y)(a-2). (4)x(x-y) 2-y(y-x)2 =x(x-y)2-y(x-y) 2 =(x-y)2(x-y) =(x-y)3 (5)18(a-b)3-12b(b-a)2 =18(a-b) 3-12b(a-b)2 =6(a-b)2(3a-3b-2b) =6(a-b)2(3a-5b),90,3. 把下列各式分解因式. (1)ab+a+b+1; (2)-4m 3+16m2-26m; (3)m(a-3)+2(3-a); (4)6a(b-a)2-2(a-b)3.,原式=a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1),原式=-2m(2m2-8m+13),原式=m(a-3)

49、-2(a-3) =(a-3)(m-2),原式=6a(a-b)2-2(a-b)3 =2(a-b)23a-(a-b) =2(a-b)2(2a+b),91,随堂检测 1.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） Aa（x+y）=ax+ay B（m+1）（m1）（1m）=m（m1） Cx216+3x=（x+4）（x4）+3x D10 x25x=5x（2x1） 2.把多项式a24a分解因式，结果正确的是（ ） Aa（a4） B（a+2）（a2） Ca（a+2）（ a2） D（a2 ）24 3.（2015惠安县一模）分解因式：x2+4x= 4.在多项式12ab3c8a3b中应提取的公因式是 ,D

50、,A,x（x+4）,4ab,92,5.因式分解： （1）x（xy）y（yx）； （2）a2x2yaxy2,原式=x（xy）+y（xy） =（x+y）（xy）,原式=axy（axy）,93,14.3.2 公式法（一）,94,课前预习 1.计算：852152=（ ） A70 B700 C4900 D7000 2.下列多项式中，能运用公式法因式分解的是（ ） Ax2xy Bx2+xy Cx2+y2 Dx2y2 3.分解因式：x24= 4.若x29=（x3）（x+a），则a= ,D,D,（x+2）（x2）,3,95,课堂精讲 知识点.利用平方差公式分解因式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数 的和与这两个数的差的积. (1)把乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2逆用，