高三数列题(经典提高)

1、2015高考数列经典题型1)设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*. (1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)当n1时，T12S112. 因为T1S1a1，所以a12a11，解得a11.(2)当n2时，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1，所以Sn2Sn12n1，所以Sn12Sn2n1，得an12an2.所以an122(an2)，即2(n2)(*)当n1时，a123，a226，则2.所以，当n1时，适合(*)式所以an2是以3为首项，2为公比的等比数列则an232n1，所以an32n12.2、各项均为正数的等比数列

2、an中，已知a2=8, a4=128, bn=log2an .(1) 求数列an的通项公式；(2) 求数列bn的前n项和Sn(3) 求满足不等式的正整数n的最大值【答案】解：（1） 等比数列an的各项为正，a2=8, a4=128 设公比为q q=4 a1=2 an=a1qn-1=2= (4分)（2）= （8分）（3） （1-= n2013 n的最大值为2013 （12分）3、已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2和a4的等差中项 1)求数列an的通项公式an； 2)令bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n150成立的最小的正整数n.解(1)设an的公比

3、为q，由已知，得即解得或(舍去)ana1qn12n，(2)bn2nlog2nn2n，设Tn12222323n2n，则2Tn122223(n1)2nn2n1，得Tn(2222n)n2n1(n1)2n12，SnTn(n1)2n12，由Snn2n150，得(n1)2n12n2n150，则2n26，故满足不等式的最小的正整数n5.4)已知等比数列an满足an1an92n1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，若不等式Snkan2对一切nN*恒成立，求实数k的取值范围1解析：(1)设等比数列an的公比为q， an1an92n1，nN*， a2a19，a3a218， q2

4、， 2a1a19， a13. an32n1，nN*.(2)由(1)，知Sn3(2n1)， 不等式3(2n1)k32n12，即k2对一切nN*恒成立令f(n)2，则f(n)随n的增大而增大， f(n)minf(1)2， k. 实数k的取值范围为.5)已知数列an的相邻两项an，an1是关于x的方程x22nxbn0的两根，且a11.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)设函数f(n)bntSn(nN*)，若f(n)0对任意的nN*都成立，求实数t的取值范围解：(1) anan12n， an12n1， a120， 1， 是首项为，公比为1的等比数列，且an2n(1)n(2

5、)由(1)，得Sna1a2an(2222n)(1)(1)2(1)n (3) bnanan1， bn2n(1)n2n1(1)n122n1(2)n1， bntSn0， 22n1(2)n1t0. 当n为奇数时，(22n12n1)(2n11)0， t(2n1)对任意的n为奇数都成立， t1. 当n为偶数时，(22n12n1)(2n12)0， (22n12n1)(2n1)0， t(2n11)对任意的n为偶数都成立， t.综上所述，实数t的取值范围为(，1)6）已知数列中，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请

6、说明理由；（3）若且，求证：使得，成等差数列的点列在某一直线上.解：（1）将已知条件变形为1分 由于，则（常数）3分即数列是以为首项，公比为的等比数列4分所以，即（）。5分（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，（，），由题意得，将，代入上式得7分8分化简得，即，得，解得所以，存在满足条件的连续三项为，成等比数列。10分（3）若，成等差数列，则即，变形得11分由于若，且，下面对、进行讨论： 若，均为偶数，则，解得，与矛盾，舍去； 若为奇数，为偶数，则，解得； 若为偶数，为奇数，则，解得，与矛盾，舍去； 若，均为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；综上可知，只有当为奇数，为偶

7、数时，成等差数列，此时满足条件点列落在直线（其中为正奇数）上。7、已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一：，得即，得即是等差数列。（III）证明：8、设项数均为（）的数列、前项的和分别为、. 已知集合=.（1）已知，求数列的通项公式；（2）若，试研究和时是否存在符合条件的数列对（，），并说明理由；（3）若，对于固定的，求证：符合条件的数列对（，）有偶数对.解：（1）时，时，不适合该式故， （2），时， 当时，= 数列、可以为（不唯一）： 6,12,16,14；2,8,10,4 16

8、,10,8,14；12,6,2,4 当时， 此时不存在. 故数列对（，）不存在. 另证：当时，（3）令，（） 又=，得=所以，数列对（，）与（，）成对出现。 假设数列与相同，则由及，得，均为奇数，矛盾！故，符合条件的数列对（，）有偶数对。 9、数列的首项为（），前项和为，且（）设，（）（1）求数列的通项公式；（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；（3）当时，试求三个正数，的一组值，使得为等比数列，且，成等差数列解：（1）因为 当时， ，得，（）， （2分）又由，得， （1分）所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（）（1分）（2）当时， （1分）由，得， （*） （1分）当时，时，（*）

9、不成立；当时，（*）等价于 （*）时，（*）成立时，有，即恒成立，所以时，有，时，有， （3分）综上，的取值范围是 （1分）（3）当时， （1分）， （2分）所以，当时，数列是等比数列，所以 （2分）又因为，成等差数列，所以，即，解得 （1分）从而， （1分）所以，当，时，数列为等比数列（1分）10、称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：；.（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：（i）求证：；（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样

10、的数列；若不能，请说明理由.11】已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值【答案】(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). （3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时,

11、 bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.12】已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),

12、所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.13】已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：【答案】解法一：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知， 原不等式成立（）由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立解法二：（）同解法一（）设，则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）同解法一14、对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项

13、，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，【答案】（）解：，；，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而又，所以，故（）证明：设是每项均为非负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，若记数列为，则所以从而对于任意给定的数列，由可知又由（）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，15、设数列满足， 。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有

14、。（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和【答案】（1）由 得 又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列， ， 由 得 ，由 得 ， 同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；当n为偶数时当n为奇数时因此当n为奇数时当n为偶数时 （2） 当n为奇数时， 当n为偶数时令 得: -得: 当n为奇数时当n为偶数时因此16】对于数列若存在常数M0,对任意的，恒有，则称数列为数列（）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（）设是数列的前n项和。给出下列两组判断：A组：数列是B-数列。 数列不是B-数列。数列是B-数列。 数列不是B-数列请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断

15、为结论组成一个命题,判断所给命题的真假，并证明你的结论；()若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列【答案】（）设满足题设的等比数列为，则，于是所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 （）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列,此命题为假命题事实上设，易知数列是B-数列，但，由n有的任意性知，数列不是B-数列。命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有：即，于是所以数列是数列。（注：按题中要求组成其它命题解答时，阐述解法）若数列是数列，则存在正数M，对任意的有 因为，则有因此 故数列是数列17）已知等差数列的公差

16、为（），等比数列的公比为（）。设,()若，求的值；()若，证明，；()若正数满足：，设的两个不同的排列，,证明：。【答案】（）解：由题设，可得所以，（）证明：由题设可得则 式减去式，得式加上式，得 式两边同乘q，得所以，()证明： 因为所以 (1)若，取i=n(2)若，取i满足且由（1）,(2)及题设知，且当时，得即，又所以因此当同理可得，因此综上，18）正实数数列中,且成等差数列.(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.【答案】证明：（1）由已知有：，从而，方法一：取，则（）用反证法证明这些都是无理数.假设为有理数，则必为正整数，且，故.,与

17、矛盾，所以（）都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数;方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多(2) 要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有（）又必为偶数，所以（）满足即（）时，为整数；同理有（）也满足，即（）时，为整数；显然和（）是数列中的不同项；所以当（）和（）时，为整数；由（）有，由（）有.设中满足的所有整数项的和为，则19】在数列中，其中实数。(I)求的通项公式；(II)若对一切有，求的取值范围。【答案】（）解法一：由猜测下用数学归纳法证明. 当n=1

18、时，等式成立；假设当n=k时，等式成立，即，则当n=k+1时，=综上，成立解法二：由原式得令，则，因此对有=因此因此（）解法一：由得因，所以解此不等式得：对一切，有，其中易知又由，知因此由对一切成立得又易知单调递增，故对一切成立，因此由对一切成立得.从而c的取值范围为.解法二：由得因所以对恒成立.记下分三种情况讨论.（i）当即或时，代入验证可知只有满足要求.（ii） 当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，不符合题意，此时无解.（iii）当即时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左边.因此在上是增函数.所以要使对恒成立，只需即可，由解得或结合或得或，综合以上三种情况，c的取值范围为20）对

19、于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质例如具有性质（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.讲评：首先理解题意.数集X具有性质P是指什么呢？如果在数集X中任取二个数作为向量的坐标，那么必存在一个坐标取自于该数集X的另一向量与这个向量垂直.例如X=-1,1,2具有性质P，取向量a1=(1,1)，必存在向量a2=(1,1)使a2a1，且a2，a1的坐标均来自数集X.第小题的意图在于增加感性认识，熟悉解题情景，也是给考生得分的一个机会.注意到x2，选取向量a1=(x,2)，因为a2a1，所以向量a2

20、的横坐标必为1，故设a2(-1,b).于是有x=2b，此处取b只能取2（否则与x2矛盾），所以x=4.第小题的意图在于证明数集P的一个性质：从小到大排序第二的数必是1，即证明x1=1.这是数集X的一个简单性质(这一性质在第问中起着关键的作用)，但是证明起来并不轻松.分两步.第一步证明数集X中有数1，第二步证明数集X中只能是x1等于1.构造向量a1是成败的关键.毫无目标地构造显然不靠谱. 因为欲证明x1=1，所以为方便计，设同值坐标的向量a1=(x1, x1)Y.至于向量a2就必须具有一般性了，于是设a2(s,t )Y，且a1a20.由(s+t)x1=0得s+t=0，所以s,t异号.因为-1是X

21、中唯一的负数，所以s,t中一个为-1，另一为1，所以1X. 由此可见，设同值坐标a1的目的，就是要凸现s+t=0.以下用反证法：证明只能是x1=1.假设当1kn时有xk=1，则由条件0x1x2xn和xn1知：0x110,xn0知，s,t异号，从而s,t之中恰有一个为1.若s1，则x1=txnt(xn1) x1(否则x1=txn不能成立)，矛盾；若t1，则xn=sx1s|t|(不失一般性，为方便计，限制了s|t|)，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称(即数集B的元素所对应的点在数轴上关于原点对称，这样且只能这样才符合s1/s2与t1/t2是互为相反数且成对出现的要求).注意到-1是X中

22、的唯一负数，X中的除1和x1外的数除以-1所得的商有n-1个数，即B(-,0)=-x2,-x3,-xn.所以B(0, +)=x2,x3,xn, 也只有n-1个数.也就是说数集B中有n-1对互为相反数的数，(而无其它没有相反数的数,够纯洁的哟).另外，在X中，我们考察除1和x1外的两个数的商s/t：xn/xn-1xn/xn-2xn/x2xn/x1，已有n-1个数.这一点很重要！它说明这些商就是x2,x3,xn中的数.观察以下三角形数阵：xn/xn-1 xn/xn-2xn/x1，有n-1个数，这些商就是x2,x3,xn中的数.xn-1/xn-2xn-1/xn-3xn-1/x1x2/x1，所以xn/xn-1= xn-1/xn-2=x2/x1，从而数列的通项公式为xk=x1(