2003-2009年高等数学B2期末考试答案

1、武汉大学数学与统计学院20022003第二学期高等数学B期末考试A卷试题答案一、填空题：1、；2、；3、1；二、选择题：1、D；2、B；3、A;三、解：（1）；（2）四、解：设故有点处的切平面的法向量为故旋转曲面在点处的切平面方程为五、解：由消去，得投影柱面，因此它在面上的投影域为：，于是区域的体积： 六、（1）令，故有，故有所以|（2）记为所围区域，则有高斯公式得：(由于关于面对称,是域上的奇函数,故有)七、解：由题设知，故曲线积分与路径无关。所以八、解：由题设有，即令驻点，而比较知，此曲面上离原点最近的点为。九、证明：将向轴投影，得，并用垂直于轴的平面截得：，所以有，故命题得证。十、解：（

2、1）设为过且垂直于的平面，由直线的一般方程为所以过的平面束方程为：，即其法向量为，平面的法向量为，因此为与垂直知，所以有，于是的方程为，因此直线的方程为（2）将：化为参数方程设是上一点，则有若是由旋转到达的另一点，由于坐标不变且到轴的距离相等，则有所以+即为所求旋转曲面方程。一、 解：（1）由复合函数求导法则可得：，所以，故（2）由题设知：，即，因此特征方程为，有特征根为，故再由得所以。武汉大学数学与统计学院20022003第二学期高等数学B期末考试B卷试题答案一、选择题: 1.B 2.C 3.D 4.D 5.C二、填空题：1. 2. ；3. 1；4、 ;5. 三、（10分）设方程确定了点附近

3、的一个隐函数，求，.解 （1分）， （4分）， （7分）， （10分）四、（8分）求过直线的平面，使它平行于直线.解 设平面：， （3分）， ，即， （6分）解得，所以，所求平面为 （8分）五、（共24分，每小题8分）计算下列各题：1、解1 （4分） （6分） （8分）解2 （3分） () （6分） （8分）2、，其中。解 ， （2分） （4分） （6分） （8分）3、. 计算积分I=，其中是面上的直线绕轴旋转一周得到的曲面与平面，所围成的空间区域解1 由设,与 ,所围. , 在柱坐标系下: :,:, （3分） = （6分） = （8分）解2 I （3分） （6分） （8分）六、 ( 10分)

4、 求圆锥面与平面所围成的立体的表面积.解1 交线在面上的投影为：,故立体的投影区域 （3分）圆锥面部分的表面积： （5分） （7分）平面部分的表面积： （9分）所以，立体的表面积。 （10分）解2 交线在面上的投影为：故立体的投影区域 （3分）圆锥面法向量，平面法向量， （5分）， （7分）立体的表面积： （10分）七、( 10分) 在曲面上求一点，使它到平面的距离最短.解1 距离最短(或最长)时，曲面在点的切平面平行于平面； （3分）故切平面法向， （7分）解得，从而，得到唯一的点，由几何意义知，到平面的距离最短。 （10分）解2 （2分）问题转化为：在条件下，求的最小值点。将换成，构造拉格

5、郎日函数 （5分） （7分）解得，由几何意义知，为最小值点，它是 （10分）八、解。设，又不包含有原点在其内部，故可以用高斯公式，。作小球面：，充分小，取其内侧。武汉大学数学与统计学院20032004第二学期高等数学B期末考试A卷试题答案一、填空题（每小题2分，共8分）：（1）解：由高斯公式知，所求积分：（由0）；(2) 或；(3) 1；（4）;二、选择题（每小题2分，共8分）：（1）A；（2）B；（3）A;（4）C;三、(每小题7分，共28分)解：（1）设即 则变成,；（2）,故（3）在两边同时对求导，得解得 （4）由题设方程的特征方程为，解出，故齐次微分方程的通解为。其中为任意常数。设题给

6、方程的一个特解为，得，代入题给方程得，即：，得，即特解为。由此得题给方程的通解为。四、(10分)解：当时，显然连续。在点附近，因为，故，从而在点连续。在点处，按定义，有，故在点处有一阶偏导数。但因 ，故函数在点处不可微分。五、(10分)解：由题设知需有：，故得方程： 其通解为：由，知，故所以有：六、(10分)解：若设为平面上的圆域：，那么曲面的方程为曲面上的面积微元，由：，我们有：七、(10分)解：法（1）化为无条件极值问题，设为交线上的一点，则到原点的距离的平方为：将 代入 得: 显然 即 因此 此时 故交线上距离原点最近的点为：法（2）由题设有，即令与故交线上距离原点最近的点为：八、（6分

7、）解：记， ，故不等式成立，显然由上述过程知等号成立的充要条件是由连续，所以由的充要条件是即为常数。九、(10分)解：方法1过点且垂直于已知直线的平面方程为，即，设它与已知直线的交点为，则：，将之代入上述平面方程，得，从而，因点与都在所求直线上，所以不妨取所求直线的方向向量为，故所求直线方程为：。方法2设所求直线的方向向量为，已知直线过点，其方向为，则由所求直线与已知直线垂直知：，又由这两条直线相交知，三向量共面。从而有，即，解上述两式，得，故所求直线方程为：。方法3已知直线过点，过点与已知直线的平面方程法向量为或，不妨取所以平面方程为： （1）过点与已知直线垂直的平面方程为： （2）由（1）

8、、（2）得所求的直线方程为：武汉大学数学与统计学院20032004第二学期高等数学B期末考试B卷试题答案一、选择题（每小题3分，共24分）1、B；2、A;3、C;4、B；5、D；6、A；二、解由于，同理，所以在原点处偏导数，存在，并且易求得函数的偏导数为，同样有，故两偏导数均存在。从上面的表达式容易看出，当沿直线趋于原点时，极限不存在。同理不存在，故偏导数，在原点不连续。也可这样说明不连续：令，则，故在原点不连续。同理在原点不连续。注意到，有，故在原点可微，且。三、证；，故四、解：五、解解因为是上的偶函数，所以有，（），（）利用收敛定理，有在上式两端令，得，即。又，由此可得。六、解解采用柱面坐

9、标系，则，于是。=。七、解题设方程的特征方程为解出，故齐次微分方程的通解为其中为任意常数。因为是二重根，故设题给方程的一个特解为，得代入题给方程得即，得。由此得方程的通解为。八、解如图71所示，设椭圆周上一点，因直线方程为，点到的距离为，从而所求问题实为函数在条件下的极值问题。作拉格朗日函数，解方程组y A 2 C(x,y) B O 3 x图71，得驻点，此时。由几何问题的实际意义，所求点可能为点和，因，比较得取时，为最大。九、解由于未知，无法直接计算积分，因积分曲面只是平面的一部分，也不能用高斯公式。可以考虑两类曲面积分之间的关系。由于的上侧的法线方向向量为，可得方向余弦为，从而原积分可转化

10、为：这里。武汉大学数学与统计学院20042005第二学期高等数学B期末考试A卷试题答案一、填空题（每小题4分）1、 ;2、0;3、;4、;5、二、1、解方程两端对求偏导得，得，同样两边对求偏导数得，得从而有。本题也可以直接两边求微分：，整理得，即2、解：3、解：令则 故4、解：令： 5、解：6、解：因 于是7、解： 三、解由于，同理，所以在原点处偏导数，存在，并且易求得函数的偏导数为，同样有，故两偏导数均存在。从上面的表达式容易看出，当沿直线趋于原点时，极限不存在。同理不存在，故偏导数，在原点不连续。也可这样说明不连续：令，则，故在原点不连续。同理在原点不连续。注意到，有，故在原点可微，且。四

11、、解：于是 (1) (2)（1）与（2）式相加，得，即 或 令有由一阶线性微分方程求解公式，解得从而即五、解：记，则 令 又梯度方向是方向导数取最大值的方向，而 此方向的方向导数的数值应为梯度的摸，故 所以有：即：六、解：由题设知，积分与路径无关,所以即 即把上式看成的多项式，比较系数得：解得：七、证：由得无穷多个驻点（1）当时，对应驻点为此时 因此函数在有极大值，且极大值为：2（2）当时, 对应驻点为此时 因此函数在这些点无极值，即证。武汉大学数学与统计学院20042005第二学期高等数学B期末考试B卷试题答案一、填空题（每小题4分）1、;2、1;3、;4、;5、。二、1、解应选B。由，则；

12、又，故，对两边对积分，有；由，有，故。2、方法1直接计算 方法2交换积分次序。由上述积分可知，由上曲线，下曲线和左直线右直线所围成的积分区域为（如图8-14所示），交换积分次序，得3、解：是一个四次方程，要解出或相当困难。因此不宜在直角坐标系中计算，为此，令，则曲线方程变为，又因所研究的是曲线在第一象限中所围成的区域，令，得，且，故4、解：设L1： ； L2：； L3： 5、解：密度函数为： 则球体的质量为： 应用球面坐标得： 6、解：为求流量，由高斯公式有：流量为负值表示流入量小于流出量。7、解： 三、解：函数在整个平面上有定义，且。又所以在点处连续， 又因，于是，特别在点处有，利用已经求出

13、的在点处的两个偏导数和知，在点处可微的充分必要条件是：不难发现，当时，。这表明上述极限不是零，故函数在点处不可微。四、解：， ，故 。五、解：由于方程中系数是分段函数，因而一般应分段求解。注意到虽然是分段函数，但它在内连续，因而存在原函数，于是，在求出的一个原函数后，可按照一阶线性微分方程的标准解法求解。首先在区间上求解初值问题：，即，不难得到方程的通解是，。利用初始条件可确定，从而所求的解为：，。接着在区间上求解方程：，即，不难得到方程的通解是，。为了得到符合题目要求的函数，只需取使得函数在处与函数连接起来，即：，可得，也就是说分段函数： 是符合题目要求的函数。六、解：设 注 依格林公式得，

14、 又 故 是正值的连续函数 于是， 即 七、证设由方程所确定的曲线为。如果上的一点为，求距离函数在条件下的极值。作辅助函数，由可得，即。上式表明，当在条件下有极值时，线段的斜率与曲线在横坐标为的点的切线的斜率互为负倒数，故为曲线在的法线。在上式中，如果，这时曲线在点处的切线平行于轴，而则是轴上的线段，所以仍是曲线在点处的法线。武汉大学数学与统计学院20052006第二学期高等数学B期末考试A卷试题答案一、试解下列各题1、解：2、解：因为 ，于是在点处方向导数达到最大值的方向为梯度，即，且方向导数的最大值为：=3、证明：因所以函数在点连续；而不存在，函数在点对的偏导数不存在；同理，函数在点对的偏

15、导数也不存在；故函数在点的偏导数不存在。4、解：令故有：（）（）二、计算下列各题： 1、解：设为直线上任意一点，到原点的距离为，故由题设问题转化为求函数在条件下的最小值。令 解得：，得惟一駏点：，由题意，距离的最小值一定存在，且有惟一駏点，（当时，）故必在駏点取得极小值2、解：由 故有时，级数收敛，而时，数项级数发散，所以幂级数的收敛域为；设 ，由于 因此又由于 ，故令，3、解：设曲面面积为S。由于所以， 其中D为应用广义极坐标变换4、解：直线的参数方程为，代入平面得交点，过直线且与平面垂直的平面的法向量为：，故在平面上的投影直线方程为：5、解：（也可用其他方法计算）三、 1）证明：曲面上任意

16、一点处的切平面的法向量为： 直线的方向向量为：由，所以曲面上任意一点处的切平面都与直线平行；2）解：由四、解：补加平面（）取后侧，构成闭合曲面，所围区域为,则（）关于z=0对称 关于y=0对称故 五、解：（1）由题设知，曲线积分与路径无关，而，由，得：将（1）两边求导并代如（2）得： 对应齐次方程的特征方程为，特征值为，的特解形式为：由待定系数法得， 由，知，代入上式得，故所求 （2） 六、证 ：令,则于是武汉大学数学与统计学院20052006第二学期高等数学B期末考试B卷试题答案一、 试解下列各题1、解：设，则 若，则有，将代入原方程可解得，即在点处有设，则在上每一点的领域内都有定义且连续；

17、在在上每一点的领域内都定连续；在上每一点有方程在上每一点的某领域内都可惟一地确定连续可导的隐函。2、解 (1)在柱面坐标系下,由的意义知. +(2)在球面坐标系下, 由的意义知: + +其中3、解：设 积分两次得 ，即 又，从而有f(0)=0, ，将其代入f(x)表达式中，得 故试求函数f的表达式为4、解：方程两边求微分，得，解得则曲线在点M处的切向量为（1，0，-），故点M处的切线方程为，法平面方程为（x-1）-（z-）=0，即x-z=0。5、解：，二、计算下列各题1、解：解： 原方程可化为 ，积分得 ，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.2、解：记，于是 =+=3、解：采用柱面坐

18、标系，则于是 =4、解：=5、解： =三、解：因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（1,1）记则由于所以又从而四、解（1）=+=（2）设A=（P，Q，R），则rot A=五、解：由题设知 即 所以又所以即 故所以故有六、解：在单位时间内流向曲面外侧的流体的质量即流量，记为，则 添加曲面取上侧的曲面积分，由和组成封闭曲面，且积分是在该封闭曲面的外侧进行，由高斯公式得： 所以 =，其中故 =负号应解释为在单位时间内流入曲面的流体的质量为七、解：（1）直接验算即可.(2) 将微分方程变形为 因为 1+P(x)+Q(x)=0 P(x)+xQ(x)=0，

19、由（1）知 都是方程的特解，且常数，故通解为 . 由初始条件得 ，故所求特解为(3) 的通解为 .由知， y(0)-1=1,于是 . 从而得 ，故所求特解为 武汉大学数学与统计学院20072008第二学期高等数学B期末考试A卷试题答案一、解: 1、通过直线的平面束方程为： （1）欲使平面（1）平行于直线，则 代入（1）得所求平面方程为： 2、的面积为:,又,故 3、设 故得曲面在点处的法向量为：。 故切平面方程为：即 法线方程为： 4、， 5、6、由已知得：，所以有：原式二、解： 又求二阶导数： 在点处，故为所求极小值。三、解：1、由 且 得 解得：由，得： 所以 2、 四、解：级数可写为，由

20、 故级数收敛。 作函数级数此级数的收敛区间为，两边积分，有： 将上式两边微分得： 故五、解：1、 当时，所以2、此方程的特征方程为：，解得：，即微分方程的通解为：，由积分曲线通过点，故得， （1）又在这点处有倾角为 的切线，故有，即 ， （2）由题设知，即 （3）联立（1）、(2)、(3)解得： 则所求积分曲线为：六、解： 补充有向平面方向分别向下和上，记为圆台外侧，法向向外，是由 所围成的闭区域，为的边界曲面的外侧，则所求流量为： 所以武汉大学数学与统计学院20072008第二学期高等数学B期末考试B卷试题答案一、1、解: ，故收敛区间为 由 当时有二、解：1、将组成三向量，有 三向量的混合

21、积为：，所以三向量共面，故四点共面。 2、所求平面方程为， 即 又平面平行于直线 所以有 故所求平面方程为： 3、原式 4、设 则三、证明：1、由，故函数在点处不可微； 2、 所以函数在点处偏导数存在； 3、 不存在 所以函数沿任一方向的方向导数并不都存在。四、解：解：设物体密度，当时，可知则 五、解：1、由 ， 故 2、由 故函数在点处取得极大值：六、解：由高斯公式，补充有向平面，方向向下，由所围成的闭区域的外侧， 七、解：由 故函数沿分段光滑的任意闭曲线积分：八、证明:法一：令 故有 法二：证明: 武汉大学数学与统计学院20082009第二学期高等数学B期末考试A卷试题答案一、（30分）试

22、解下列各题：1、（6分）求解微分方程满足的特解。解：由，得，即 而，故2、（6分）求曲面在点处的切平面方程。解 设 故曲面在点处的切平面的法向量为： 所以切平面方程为：3、（6分）已知级数在处收敛，试讨论此级数在处的敛散性。解 由阿贝尔定理知，此级数在即时绝对收敛，故此级数在处绝对收敛。 4、（6分）计算，其中由所围成的区域。解：由对称性， 5、（6分）判别级数的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：，由比值判别法知原级数的绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛.二、（10 分） 函数由方程所确定， 是不全为零的常数，证明：证明：方程两边同时对求偏导得 故 三、（12分）设，而，其中二阶可导

23、，求。 解 因为 所以四、 （10分）试将函数展成的幂级数解 因为 ，则得 （也可利用求解）五、（10分）设（1）求在点处的梯度及方向导数的最大值； （2）问：在哪些点的梯度垂直于轴。解 （1） 由 故 所以在点处方向导数的最大值为：（2）由，而轴，即，由此得： 所以平面上的点处的梯度垂直于轴。六、（10分）计算曲面积分 ，其中为曲面 ，取下侧 解：取平面，取上侧则与构成封闭曲面，取外侧令与所围空间区域为，由Gauss公式，得七、（10分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。解 由题意得： 即 特征方程，特征根 对应齐次方程的通解为： 又因为是特征根。故其特解可设为： 代入方程并整理得： 即 故所求函数为：八、（8分）将正数分为正数之和,使得最大。(其中为已知正数)解法一 化为无条件极值求解,即求的极值。 令 即 解之得 ， 再由 求得 。 当，或或时,均为0,不可能为最大,故将分成的三个正数为，。解法二 利用拉格朗日乘数法求解.作函数 令 及 将(1)，(2)，(3)中之移至等式右端,记为然后