云南省楚雄州2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）（通用）

1、云南省楚雄州2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A版必修一、二占30%，必修三占70%.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由一元一次不等式的解法求得集合B，由交集运算求出，得到结果。【详解】由题意得，又，所以，故选C【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题2.对两个变量，的几组观测数据统计如下表，

2、则这两个相关变量的关系是1098765233.544.85A. 负相关B. 正相关C. 先正后负相关D. 先负后正相关【答案】A【解析】【分析】从表中可知变量值在减小时，变量的值反而在增大，它们应是负相关.【详解】根据给定数据得这两个相关变量的关系是负相关.选A.【点睛】本题考查变量的相关性，掌握正负相关的概念是解题关键，本题属于基础题.3.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的A. 4B. 13C. 40D. 41【答案】C【解析】【分析】运行程序，进行计算，当时退出循环，输出的值.【详解】，；，；，；，.因为，所以输出.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果.4.某

3、人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是A. 至少有一次中靶B. 只有一次中靶C. 两次都中靶D. 两次都不中靶【答案】C【解析】【分析】至多有一次的反面是至少有两次.【详解】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定.5.为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据：82 42 17 53 31 57 24 55 06

4、 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为A. 217B. 206C. 245D. 212【答案】B【解析】【分析】从第7行第4列开始向右依次读取3个数据，重复的去掉后可得.【详

5、解】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206选B.【点睛】本题考查随机数表，属于基础题.6.若直线平分圆的周长，则A. 9B. -9C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】直线平分圆周长，说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得.【详解】因为直线平分圆的周长，所以直线经过该圆的圆心，则，即.选B.【点睛】本题考查圆的一般方程，解题关键是把圆的一般方程化为标准方程，属于基础题.7.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方

6、形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为A. 0.2B. 0.25C. 40D. 50【答案】D【解析】【分析】直方图中，所有小长方形面积之和为1，每个小长方形的面积就是相应的频率，由此可列方程求解.【详解】设中间一组的频率为，则其他8组的频率为，由题意知，得，所以中间一组频数为.选D.【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题型.8.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件即可，根据输出结果可得循环条件【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，. 此时循环结束，故选B.【点睛】本题

7、考查程序框图，解题时只要模拟程序运行，观察其中变量值的变化情况，进行判断9.某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为9:7，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多8人，则A. 960B. 1000C. 1920D. 2000【答案】A【解析】【分析】样本中男生数为，女生数为，列出方程组，解得后可得样本容量，从而得值.【详解】设样本中男生数为，女生数为，则，解得，所以样本容量为，由，解得.选A.【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题.10.数据，的平均数为7，标准差为3，则数据，的方差和平均数分别为A. 81，19B. 19，81C. 27，19D.

8、 9，19【答案】A【解析】【分析】根据下列性质计算：数据，的平均数为，标准差为，其方差为，则，的方差为，平均数为.【详解】数据，的平均数为7，标准差为3，所以数据，的方差为9，平均数为7.根据方差和平均数的性质可得，的方差为，平均数为.选A.【点睛】本题考查方差与平均数的概念，解题关键是掌握平均数与方差的性质：数据，的平均数为，方差为，则，的方差为，平均数为.11.定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，为单调增函数，且，则解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为。【详解】当时，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义

9、在上的奇函数，所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题。应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反。12.已知函数，则任取一实数，使的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出的的范围，再根据与长度有关的几何概型概率公式计算【详解】当时，由得，当时，由得，因此由，可得.从而所求概率为.故选C.【点睛】本题考查几何概型概率公式，属于基础题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.某单位对员工编号为1到60的60名员工进行

10、常规检查，每次采取系统抽样方法从中抽取5名员工.若某次抽取的编号分别为，17，53，则_.【答案】75【解析】【分析】由，17，53成等差数列，利用等差数列的性质可求解【详解】由系统抽样可得公差为，得，所以.【点睛】本题考查系统抽样，解题关键是掌握系统抽样的性质：系统抽样中样本数据成等差数列14.如图，在边长为3的正方形内有一个阴影部分，某同学利用随机模拟的方法求阴影部分的面积.若在正方形内随机产生10000个点，并记录落在阴影部分内的点的个数有3000个，则该阴影部分的面积约为_.【答案】2.7【解析】【分析】由模拟数据可得落在阴影部分内的点的概率为，再由几何概型概率公式可得阴影部分的面积【

11、详解】设阴影部分的面积为，由题意得，若在正方形内随机产生10000点，落在阴影部分内的点有3000个，则，解得.【点睛】本题考查几何概型，几何概型一般有几种：与长度（角度）有关的概率；与面积有关的概率；与体积有关的概率本题是与面积有关的概率15.执行如图所示的程序框图，则输出的_.【答案】4【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件即可.【详解】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；此时.故退出循环，输出.【点睛】本题考查程序框图，解题时只要模拟程序运行，观察其中变量值的变化情况，进行判断16.若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，,则该三棱锥的外接球的表面积为_.【

12、答案】【解析】分析】由已知计算后知也是以为斜边的直角三角形，这样的中点到棱锥四个顶点的距离相等，即为外接球的球心，从而很容易得球的半径，计算出表面积【详解】因为，所以是等腰直角三角形，且为斜边，为的中点，因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，点即为球心，则该三棱锥的外接圆半径，故该三棱锥的外接球的表面积为.【点睛】本题考查球的表面积，考查三棱锥与外接球，解题关键是找到外接球的球心，证明也是以为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质是本题的关键也是寻找外接球球心的一种方法三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从某校期中考试数学试卷中，抽取样本，考

13、察成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1:3:6:4:2，第一组的频数是4.（1）求样本容量及各组对应的频率；（2）根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数（结果保留两位小数）.【答案】（1）样本容量为64，各组对应频率依次为；（2）平均数，中位数为【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中所有小矩形的面积即为频率，由第一组的频数是4，可计算出其他各组频数，从而得样本容量及各组频率；（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即为估计平均数；中位数把频率分布直方图中所有小矩形面积平分【详解】（1）因为第一组频数为

14、4，从左到右各小组的长方形的面积之比为1:3:6:4:2，所以设样本容量为，得，则，即样本容量为64. 所选各组频率依次为， ， ，. （2）平均数，设中位数为，则，解得.【点睛】本题考查频率分布直方图，解题时注意频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，估值时常用小矩形底边中点横坐标作为此矩形的估值进行计算.18.已知，点的坐标为.（1）求当时，点满足的概率；（2）求当时，点满足的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出矩形的面积及已知矩形包含中圆中的部分的半圆面积，由几何概型面积公式计算出概率；（2）求出矩形内整点个数及又满足圆整点个数，由古典概型概率公式计算.【详解】由题意知

15、，所组成的区域为长为6，宽为4的矩形. （1）点所在的区域为矩形的内部（含边界）满足的区域，故所求概率. （2）满足且，的整点有35个，满足且的整点有9个，故所求概率.【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率公式，属于基础题.19.已知，函数.（1）求的定义域；（2）当时，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，解不等式可得答案。（2）代入数据可得，根据对数函数单调性，可得，结合定义域即可求解。【详解】（1）由题意得：，解得因为，所以故的定义域为（2）因为，所以，因为，所以，即从而，解得故不等式的解集为.【点睛】本题考查了对数函数定义域及利用对数函数单调性求解不

16、等式问题，属基础题20.某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，.（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求英语成绩在的人数.分数段1:22:16:51:21:1【答案】（1）（2）分（3）140人【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，由此可得；（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即为估计平均数；（3）求出这200名学生的数学成绩在，的人数，然后计算出各分数段的英语

17、人数即可【详解】（1）由，解得. （2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数为. （3）由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在，的分别有60人，40人，10人，按照表中给的比例，则英语成绩在，的分别有50人，80人，10人，所以英语成绩在的有140人.【点睛】本题考查频率分布直方图，解题时注意频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，估值时常用小矩形底边中点横坐标作为此矩形的估值进行计算.21.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，且，为的中点.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）要证，由

18、于底面菱形中对角线，因此可取中点，从而有，即，于是只要证，即可得平面，从而得证线线垂直，这可由面面垂直的性质得平面，从而得；（2）换底，即，由（1）是棱锥的高，底面的面积是面积的一半，是菱形面积的四分之一，再由体积公式可得.【详解】（1）证明：取的中点，连接，.因为，为的中点，所以. 因为平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以.因为底面为菱形，所以. 因为为的中点，为的中点，所以，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. （2）解：由（1）可知四棱锥的高为.因为，所以. 因为底面为菱形，所以， 所以【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质，解题时注意定理的条件要写全，在定理的条件全部出现的情况下才能得出最终结论，否则证明过程有不完整.换底法是求三棱锥体积的常用方法，一般是在高不易寻找的情况下，可试着把三棱锥的顶点与底面改变一下，这样可简单迅速地找到高，从而易求得体积，有时还可能利用等底（面积）等高的棱锥体积相等的性质求解22.某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：单价（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568（1）求销量（件）关于单价（元）的线性回归方程；（2）若单价定为10元，估计销量为多少件；（3）根据销量关于单价的线性回归方程，要使利润最大，应将价格定为多少？参