高一数学正余弦定理及其应用人教版（通用）

1、高一数学高一数学正余弦定理及其应用正余弦定理及其应用人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 正余弦定理及其应用 【典型例题典型例题】 例 1 已知在中，试解该三角形。ABC2,6,45BCABA 解法一：解法一：由正弦定理，得 2 3 45sin 2 6 sinC 因 3 2 2 6sinAAB6, 2ABBC 由，则有二解，即或62360C120C 或754560180B1545120180B 故或，13sin sin ACB A BC AC13 AC15,120BC 75,60BC 解法二：解法二：令 AC=b，则由余弦定理 222 245cos62)6(bb 1

2、30232 2 bbb 又Cbbcos222)6( 222 或60, 2 1 cosCC120C 或75)6045(180B15)12045(180B 例 2 在中，求三内角 A、B、C。ABC 2 13 , 2 tan tan c b b bc B A A CB a 450 b c 解：解：由已知有，化简并利用正弦定理： b c B A2 1 tan tan B C BA BABA sin sin2 sincos sincoscossin B C BA BA sin sin2 sincos )sin( 0cossin2sinACC 由，故0sin 60 2 1 cosAA 由，可设 2 13

3、 c b ，由余弦定理，得kckb2,) 13( kakkka6) 13(24) 13( 22222 由正弦定理得 C c A a sinsin 2 2 6 2 3 2 sin sin k k a Ac C 由则 C 是锐角，故bc 75180,45CABC 例 3 在中，若且，求这个三角形的面积。ABC4, 5ba 32 31 )cos( BA 解法一：解法一：由余弦定理得 c c bc acb A 8 9 2 cos 2222 c c ac bca B 10 9 2 cos 2222 由正弦定理得：BA BA sin 4 5 sin sin 4 sin 5 32 31 )cos1 ( 4

4、5 10 9 8 9 2 22 B c c c c 32 31 ) 10 9 (1 4 5 80 81 2 2 2 4 c c c c 636 32 31 80 16282 2 2 2 cc c c 故 16 9 48 936 8 9 cos 2 c c A 7 16 5 sinA 4 715 sin 2 1 AcbS ABC 解法二：解法二：如图，作，AD 交 BC 于 D，令BACADxCD 则由知，在中5axADxBD5,5CAD 由余弦定理 32 31 )5(8 4)5( )cos( 222 x xx BA 化简得，在中由正弦定理199xxCAD )sin(4)sin(sin )sin

5、(sin BABA CD AD C BA CD C AD 7 8 3 )(cos14 2 BA 7 4 15 8 73 54 2 1 sin 2 1 CBCACS ABC 例 4 在中，已知 A、B、C 成等差数列，且，ABCBCA 2 cossinsin ，求三边 a、b、c。34 ABC S 解：解：由已知，得，又由 2 CA B 180CBA60B 故 4 1 60cossinsin 2 CA 又由 BcaS ABC sin 2 1 34 16 4 3 34acac 故64) sin () sin ( sinsin 22 C c A a CA ac 8 sinsin C c A a 由3

6、460sin8sin8 sin sin B A Ba b 则 2 1 2 60coscos 222 ac bca B 即964848)(3)( 222 caacbca 64ca 把与联立，得 或)26(2),26(2ca)26(2),26(2ca 例 5 在中，已知，求 A、B、C 的大小，又ABCBCA232tantanCA 知顶点 C 的对边 C 上的高等于，求三角形各边 a、b、c 的长。34 A B C D a 解：解：由已知，及BCA2120,60180CABCBA 由及 CA CA CA tantan1 tantan )tan( 32tantan, 3)tan(CACA 得，以为一

7、元二次方程33tantanCACA tan,tan 的两个根，解方程，得032)33( 2 xx 或或 32tan 1tan C A 1tan 32tan C A 75 45 C A 45 75 C A 若，则，75,45CA8 60sin 34 a64 45sin 34 b ) 13(4 45sin 75sin8 sin sin A Ca c 若，则 45,75CA 60sin 34 a 75sin 34 , 8 b) 13(64 )623(4 ) 13(8 sin sin B Cb c 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 已知中，则的面积（ ）ABC30, 1, 3BbaABC A

8、. B. C. 或D. 或 2 3 4 3 2 3 3 2 3 4 3 2. 在中，三边长分别为 AB=7，BC=5，CA=6，则的值是（ ）ABCBCBA A. 18B. 36C. 19D. 38 C A B 3. 在中，则有 的值等ABC1,60bA3 ABC S CBA cba sinsinsin 于（ ） A. B. C. D. 81 38 3 392 3 326 72 4. 中，A、B、C 相应对边分别为 a、b、c，则（ ）ABCAbBacoscos A. B. C. D. cCcos2Csin2 2 ba 5. 在中，已知，则该的形状为（ ）ABCAbBatantan 22 AB

9、C A. 等腰三角形B. 直角三角形 C. 正三角形D. 等腰或直角三角形 6. 已知满足，则该三角形的形状为（ ）ABC BA BA C coscos sinsin sin A. 等腰三角形B. 直角三角形 C. 正三角形D. 等腰或直角三角形 7. 在中，若，则角 A 与 C 的大小关系是（ ）ABCB A BAsin 2 tan,tansin A. B. C. A=CD. 不确定CA CA 8. 已知中，则的度数为（ ）ABC b bc B A 2 tan tan A A. B. C. D. 30456075 二. 填空题： 9. 在中，已知，且最大角为，则最大的边长为 ABCbcaba

10、2, 4120 。 10. 三角形两边分别为 1，第三边上的中线长为 1，则该三角形的外接圆半径为 3 。 11. 已知中，AB=6，则的面积等于 。ABC120,30BAABC 12. 在四边形 ABCD 中，BC=1，DC=2，四个内角之比为，10:4:7:3:DCBA 则 AB 的长等于 。 13. 不查表 。80sin40sin50cos10cos 22 三. 解答题： 14. 某观测站 C 在目标 A 的南偏西方向，从 A 出发有一条南偏东的走向的公路，2535 在 C 处观测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 点有一人正沿此公路向 A 走去，走 20 千米到 达 D，此时测得

11、CD=21 千米，求此人在 D 处距 A 还有多少千米？ A D C 东 北 B 15. 隔河可见对岸两目标 A、B，但不能到达，现在岸边取相隔千米的 C、D 两点，3 测得，（A、B、C、D 在同一30,45,75ADCBCDACB45ADB 平面内），求两目标 A、B 之间的距离。 450 750 300 450 A B C D 3 试题答案试题答案 一. 1. D 析：析：由有两解abBasin 或或60 2 3sin sin sinsin A b Ba A B b A a 12090C 30C 又即得CabSsin 2 1 2. C 提示：提示：由 35 19 572 657 2 co

12、s 222222 ac bca B 19 35 19 57cos|BBCBABCBA 3. B 由正弦，所求即为。由 A a sin ABC SAbc sin 2 1 4 c 又由13cos2 222 aAbccba 故 3 392 60sin 13 sin A a 4. D 射影定理 C D A B C ADBB DA C 5. D 由已知切化弦得 A Ab B Ba cos sin cos sin 22 又由正弦定理 A AB B BA cos sinsin cos sinsin 22 BABABBAA222sin2sincossincossin 或或BABA2180290BA 6. B

13、2 cos 2 cos2 2 cos 2 sin2 sin BABA BABA C 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin2 C C CC 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 CC 2 C 7. C A B BBA sin sin costansin 即 a b ac bca 2 222 bcbca2 222 B A A B A sin cos1 sin sin 2 tan b a bc acb B A A 2 1 sin sin cos1 222 bcacacb22 222 由+得CAacacc 22 2 8. B 已知即，化弦为 b c B BA2 tan tantan B

14、 C BA ABBA sin sin2 sincos cossincossin 45 2 2 cossin2 cos )sin( AAC A BA 二. 9. 14 由已知42, 4babcba 故 a 为最长边，故120A 2 1 )4(2 )4()4( cos 222 bb bbb A 2 1 82 16 b b 14,10ab 10. 1 由)(2 2222 BCABBCAD42)31 (2 22 BC 902 222 ABCABACBC1 sin2 1 A BC R C A D B 1 M 1 3 11. 39 由30)12030(180C 3612 sinsin AC C AB B

15、AC 39 2 1 636 2 1 sin 2 1 AABACS 12. 2 23 由，及360DCBA10:4:7:3:DCBA 150,60,105,451524360DCBA 如图连结 BD，由余弦定理，有 903360cos2 222 CBDBDCDCBCDCBBD 12030150,30ADBCDB 在中，由正弦定理ABD 2 23 45sin 120sin3 AB A D B C 13. 4 3 由 222 )60(sin60cos40sin80sin240sin80sin 三. 14. 解：由已知，BC=31，BD=20，CD=21603525CAD 由余弦定理得 31 23 20312 212031 2 cos 222222 BDBC CDBDBC B 3 31 12 cos1sin 2 BB 又在中，由正弦定理得ABC24 sin sin A BBC AC 由余弦定理AABACABACBCcos2 222 即60cos2422431 222 ABAB