高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的三角函数常用方法例析素材 北师大版必修4（通用）

1、3.3二倍角的三角函数常用方法的例子二倍角三角函数是和、差角三角函数的特例，其评价、简化、证明的出发点是统一角、统一函数和减少次数。 在变形的过程中，要注意角与角的和、差、倍的关系、特殊的角的关系等。 另外，观察公式的特征，适当选择公式进行简化。 在这里，举例分析了几个常用的方法，供同学们参考。一、逆用公式法：求出例sin10sin30sin50sin70的值。分析：关注sin 10s in 50 sin 70=co s80 co s40 cos 20，分子分母可以同时乘以2sin20，相反可以用正弦的二倍方式来解，也可以用变形形式来抵消。解法1 (连续逆用法) sin 10s in 30 s

2、in 50 sin 70=co s80 co s40 cos 20=cos 80 cos 40 (2合20 cos 20 )co型s80(2in40cos40 )=(2sin80cos80)=解法2 (商法) sin 10s in 30 sin 50 sin 70=co s80 co s40 cos 20=。注解：解法1根据其特征乘以一个三角函数式，形成使用二倍方程式sin2=2sincos的形式，达到了评价的目的。 把解法2用作商相消化法可以使问题变得简单。正弦二倍角的三角函数式起到转换角的作用。 在三角函数的评价、简化、证明的过程中，对于角为二倍角关系的馀弦函数的积(第一项成为正弦)的问题

3、也可以用同样的方法求解。 总之，方法不拘泥，要注意活用。示例2化简cosA sin(A) cos(A )。解析：反馀弦二倍方式的变形通常称为“降次式”，可以降次正馀弦函数的平方。 本问题首先可以用下式下次，用和、差式展开变得简单。解：原式= cos2a-(cosco S2 a-sins in2a ) (cosco S2 a-sins in2a ) =(cos2a-cos2asin2a-cos2a-sin2a )=注解：从二倍方式到1 cos2=2cos、1-cos2=2sin、sin=、cos=。 式通常被称为幂式，同时可以将1cos2项的式减少到1项的式(2)通常被称为幂式，可以减少式的次数

4、。 可以根据函数公式的特征灵活地进行选择。二、化弦法：示例3简化(1tantan )分析：为了容易简化，必须将角、统一的正切馀切平均化为弦，即采用“切弦”并利用和角倍角公式化为最简单的形式。解：原式=(-)(1 )=2csc注解：“断弦”是简化的关键。法则：对于六种不同的三角函数，利用商数关系和倒数关系，转换成正弦、馀弦两种三角函数简化求解过程，通称“化弦法”。三、化切法例4知道tan，求出sin2、cos2.分析：求sin2时，以二倍方式展开后，在分母上加上cos sin进行切断。 要求cos2，只要根据正切的二倍方程式反转商数关系就可以了。解： sin2=cos2=注解：分母被“1=cos

5、 sin”替换是解决问题的诀窍。以上二式和正切的二倍方程式合称为“万能式”，对三角的计算、恒等式的证明和不等式的证明有重要的作用，特别是对包含tan、sin2、sincos、cos2、tan2、sin2、cos2、tan2、tan2、tan2的三角函数恒等式的证明有效果。 如果方程式中tan=t，则模拟3可以通过用“1=cos sin”置换来估计sin2=，cos2=，tan2=，sin2=、sincos=、cos2=。这样，三角恒等式成为f(t)=g(t )的形式，可以变换成代数恒等式来证明。例5求证：=2cos2cos2(sin2 2sin2)分析：设tan=t，利用万能公式变换成代数表达

6、式。证明：如果tan=t左=右边=2()=方程式成立注解：像这样将很多二倍角的三角式和单角三角的二次式转换成正切表现的方法，一般被称为“化切法”。 该方法简化了三角运算，可获得一半的效果。四、随堂训练ABC的内角a为sin2A=、sinA cosA=()(A) (B) (C) (D )。求出cos36cos72的值。求出已知sin()sin(-)=、- (sin 4)的值求出sim20 cos50 sin30sin70的值。喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6求出tan=、sin(2)的值。知道sin 2cos=2，求出tan的值。参考答案。h4444444444航空航空航空6原式=cos2=sin(-2)=2sin(-)cos(-)=2sin()sin(-)=2=；-、2(、2)、sin2=-；sin4=2sin2cos2=-。原式= sin70=1-cos(70-30)-cos(70 30) sin70=1-2sin70sin30 sin70=1原式=心理