0、1变量在数学建模和数学实验中的应用ppt课件.ppt

1、page1,德州学院数学科学学院数学建模暑期培训教案,主讲人： 高秀莲,数学建模实例,先看一个发生在我国的实例，2000年全国人口普查，挨家挨户实查一年多（约5亿人年），查出是12.66亿人，若用微分方程，一个大学生只花5分钟（5人分），算出是13.45亿人。两者结果相差不多（实查和预测相差8000万人，占6.4%），但效率有天壤之别，前者又费时又慢（约5亿人年），后者又省又快（5人分）。这是什么道理呢？,page2,可见，数学能够作为预测或验证现实的一种又省又快的方法。,常用的建模方法,page3,1.概率统计建模：数据统计描述、方差分析（单因素、多因素）、回归分析（线性、非线性、多元线性、

2、逐步回归）、聚类分析等。 2.优化问题建模：非线性、多目标、动态规划、图论。,3. 现代优化算法：蚁群算法、贪心算法、神经 网络 、遗传算法。 4. 数学实验-MATLAB、LINGO。,参赛队应具备的能力,page4,基本知识： 高等数学+线性代数，概率论 与 数理统计， 数学规划（线性规划、整数 规划、0-1规划、多目标规划、图论、排队论等）、数值计算方法、常微分方程等； 能力要求： 建模能力，编程或实验能力，论文写作能力，团结协作能力、文献检索与阅读能力等（选读优秀论文，掌握论文写作方法，提高写作技能）。,热点建模问题,房价问题 网瘾问题,网购问题 高等教育问题 金融危机问题 钓鱼岛、南

3、海战争博弈问题 环境污染控制问题（雾霾问题、地下水、重金属等） 食品安全问题 城镇化问题、计划生育问题、老龄化问题、交通堵塞问题 大数据问题,历年本科组赛题列表,历年本科组赛题列表,命题特点,建模方法高度综合 现实性和导向性：问题和数据大多来源于工程、科技、生活、管理等科研、工程实际问题，问题的解决有一定现实意义和科研导向。 规模性：大规模变量或海量数据-必须借助数学软件 数据结构的复杂性： 数据属性结构的复杂性 缺失或异常数据问题-数据的真实性 不是所有数据都有用，如何筛选本身就是数学建模,赛题中涉及到的数学方法,空间与解析理论、线性代数、微积分 概率与统计-方差、回归、时间序列、相关分析、

4、聚类或判别分析 运筹学或数学规划-线性、整数、0-1、非线性、多目标规划 图论与网络优化 多因素综合评价 数值计算方法-数值微分，数值积分，插值与拟合等 差分与微分方程等机理分析建模方法 排队论、对策论、决策论 其他：模糊数学、 随机规划与决策、随机模拟、灰色系 统理论、优化算法（神经网络、遗传算法、蚁群算法等）,看上去简单、易理解的题目，一般并不容易取得奖项； 看上去不好理解的题目，反而有可能取得好的奖项； 尽早确定，避免犹豫不决，浪费时间-取胜关键：静下心来，仔细阅读，通过查阅文献和相关资料，把问题想明白，并用数学语言严谨第表达清楚。 国家一等奖的名额分配平均分散到各题,如何选题,耐心、

5、细心题目 注意仔细阅读题目，找出并标注有关的关键词或关键句子，仔细体会可能引导建模方向与问题目的的一切词汇 阅读题目通常会伴随竞赛全过程 确定目标要求找出所有与建模目的相关的有关因素，理清各因素之间的关联关系或机理联系，确定建模目标的基本结构和建模方法 分清建模的基本要求、难点或关键点 通过查阅文献和阅读相关图书或专业资料，寻求问题难点和关键点的解决策略或方法创新亮点,题意理解,先宏观、再微观，先主体，后细节；分清主次，逐次进行。先主要因素，后次要因素 不断选择 、不断论证、不断完善 关键点、难点的解决：逐步清晰化-亮点 现实与理想之间的平衡，简单与复杂之间的博弈：模型的解应符合现实要求，即具

6、有可行性，最理想的解不一定具有可操作性；模型并不一定越复杂越好，但过于简化有可能失真，复杂程度的高低应视问题的需要。 数学结构 在不断论证中，建模思路逐步展开和完善,建模方向把握渐次清晰过程,注重节奏与效率： 1 确立分时段的进展目标，合理分工 2 提倡讨论，但要提高讨论的有效率，避免无意义争论； 3 以成效论优劣 论文写作 1 论文写作应视为竞赛的中间过程，避免等一切做完后再着手写作 2 论文写作自始至终应由一个队员执笔，避免多人执笔出现混乱现象,建模方向把握渐次清晰过程,端正态度 竞争意识，追求卓越，锲而不舍 态度是实力发挥的保证 平和心态，冷静思考 应避免的问题：投机意识和学术不端 参赛

7、一次，受益终生 创新 把每个细节处理到极致，就是创新。创新体现在建模各个环节中,建模方向把握渐次清晰过程,建模论文的评价,2020/6/24,1、假设的合理性 关键假设,并对假设的合理性进行解释,文中引用。 2、建模的创造性 鼓励创新,但要切实,不要离题搞标新立异。 3、结果的正确性 一般是没有标准答案的，但要自圆其说，好模型的结果一般比较好,但不一定最好。 4、表述的清晰性 表述清晰、结构严谨、逻辑性强。撰写论文是让他人阅读的，前后表述应该是一个逻辑论证过程，即是一个讲理的过程。要让人知其理，明其理。,如何撰写一篇高质量的竞赛论文,2020/6/24,1、摘要写作：摘要是整篇文章的高度浓缩和

8、精华，是整篇论文的重中之重。 在摘要中应体现：针对每个问题作了何种分析，基于分析做出了哪些关键假设，采用了何种建模方法，如何对模型参数进行识别（方法），建立了什么模型；主要结果是什么；有什么 特色和创新点，以及其它工作。 注意摘要中尽量不要出现公式、图形或表格，文字精练，表达准确。,2020/6/24,2、论文写作：要求层次分明，重点突出 论文是所有工作的完整体现，力争将你们的工作和创造性成果或新的研究结果都充分地 反映出来 要求内容充实、论据充分、论证有力、主题明确、格式规范、层次分明，通过大小标题分为 若于个逻辑段落，让评委各取所需，一目了然。 不要给评委留下更多的疑问和猜测。 实事求是，

9、不要过分夸张。,如何撰写一篇高质量的竞赛论文,关于论文写作的评价,规范性 数学表达的严谨性和完整性 前后自圆其说 培养结果检验意识：误差分析、稳定性分析、灵敏度检验、假设检验等,竞赛论文评阅中常见的问题,数学建模是一个严谨的分析、论证、检验和应用过程，建模论文前后应自圆其说。 问题分析不透彻，不管条件与具体问题的差异，直接引用或套用建模方法，缺乏必要的分析、观察、论证或假设检验过程。 整篇论文没有明确的数学模型，只是根据赛题的数据，利用软件计算，“凑”出结果，结果正确 与否无论证； 罗列一系列假设或模型，既不作合理性和正确性分析和评价，又不做模型优选和正确性评价，希望碰上“参考答案”或“评阅思

10、路”,建模方法不可信：吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题； 就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺； 对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的方法，导致错误； 对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周； 撰写论文时间过于仓促，导致论文过于简单，该交代的内容被省略；,竞赛论文评阅中常见的问题,写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文献); 无参考文献，或罗列一批参考文献，但在论文正文中无引用 公式、符号、图形、表格不规范现象突出，主要体现在键盘公式、图形或表格无标题和编号、计算结果直接屏幕截图 队员之间合作精神差，孤军奋战； 依赖心理重，甚至违纪（指导教师、 网络）,竞赛论文评阅中常见

11、的问题,0-1变量在数学建模和数学实验中的应用,page22,数学建模在实际问题和数学理论之间架起了桥梁，发挥了巨大的作用，而数学模型的建立和求解需要实验。许多数学模型是抽象的，只有通过数学实验才能迅速进行数值求解和定量分析，进一步地完善和构建数学模型。所谓“数学实验”就是利用计算机系统作为研究工具，以数学理论作为实验原理，以数学素材作为实验对象，以简单的对话方式或复杂的程序方式作为实验形式，以数值计算、符号演算、几何图形演示作为实验内容，以实例分析、模拟仿真、归纳总结等为主要实验方法，以辅助学数学、辅助用数学或辅助作数学为实验目的，以实验报告为最终形式的上机实践活动。数学素质是数学知识和能力

12、的综合体现，数学素质除了包含抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力外，还应包括数学建模能力与数值计算能力，即会“用数学”解决实际问题，会用计算机进行科学计算，而数学实验正是这种能力的很好体现和应用。,0-1变量在数学建模和数学实验中的应用,page23,近几年的数学建模竞赛题大都来自于工程技术与社会经济生活，每一道题都紧扣当前社会热点，而每年都有这样一类题：给定的人力、物力、财力怎样使得效益最大或给定的任务，怎样用最少的人力、物力、财力去解决它 即属于“运筹学中的规划论”部分，更确切地说，属于“规划论中的整数规划和混合整数规划”，如2003年的A题：SARS的传播、B题：露天矿

13、生产的车辆安排； 2004年的A题：奥运会临时超市网点设计、B题：电力市场的输电阻塞管理； 2005年的A题：长江水质的评价和预测、B题：DVD 在线租赁； 2006年的A题：出版社的资源配置；2007年的B题：“乘公车，看奥运”； 2009年的B题：眼科病床的合理安排问题；2011年的B题：交巡警服务平台的设置与调度问题； 2012年的B题：太阳能小屋的设计问题； 2013年的B题：碎纸拼接问题。,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少

14、的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）,（非）线性规划问题的数学模型,规划问题,page24,我们遇到的实际中的整数规划所涉及的重要问题有： (1)运作问题(Operational Problems)例如：货物的分配、生产调度、机器排序、运输问题等。 (2)计划问题(Planning Problems)例如：资金预算、选址问题、证券组合分析等。 (3)设计问题(Design Problems)例如：通信和交通网络设计、超大规模的集成电路设计、自动化生产线设计等。 其特

15、点都是对资源进行有效管理，使其发挥尽可能大的效益。传统的计算整数规划的方法有：“割平面法(Cutting Plane Algorithm)”和“分支定界法(Branch and Bound Method)”。但是对于变量比较多的整数规划问题或是混合整数规划问题，这些方法就不太实用了。目前比较简单的方法就是引入0一l逻辑变量，使得约束条件线性化，光滑化后用LINDOL1NG0来解决。,常规的整数规划的求解方法,page25,0 1变量的应用,page26,这类问题常常出现在计划问题中的选址问题和证券组合分析中，例如：在A1 、A2 、A3处建厂至多选择两个，则可引入0-1 变量， 问题化为 ，其

16、中 。,0-l变量在含有相互排斥的计划问题中的应用,page27,对于这类相互矛盾的又必须同时出现在模型中的互斥约束，可以通过引入0- 1变量及一个很大正数M，化为,可以看出当y=0时(1)式起作用，(2)式自然成立；y=1时(2)式起作用，(1)式自然成立。,在建立数学模型的时候，有时会遇到相互矛盾的约束条件，而模型只能是二者选择其一，例如： 与 是相互矛盾的，显然不能同时将他们直接放在模型中，因为这两个矛盾的约束案件的交集是空集，模型将无解，但是问题却需要同时考虑这对矛盾的约束。,0-1变量在含有相互排斥的约束条件的问题中的应用,page28,更一般地,page29,0-1变量在含有相互排

17、斥的约束条件的问题中的应用,若n个约束条件,中只有k个起作用，可以通过引入0-1变量及一个很大正数M，化为,其中,表明 个约束条件中有n-k个的右端项为 ，,为自然成立不起约束作用，而只有k个约束条件起作用。, 约束条件的右端项可能是r个值中 的某一个，,page30,0-1变量在含有相互排斥的约束条件的问题中的应用,即,则定义,则模型可 为：,我们经常能遇到含有固定费用的优化问题，尤其在存储问题中，经常含有固定费用和可变费用两部分。这类含有固定费用的问题一般不能用线性规划来表述，但是经过引入01变量可以化为混合整数规划。例如用 表示产品j的生产数量，其生产费用函数通常可表示,page31,0

18、-1变量在含有固定费用的函数问题中的应用,其中 是与产量无关的生产准备费用。若问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小，即求 为了表达费用函数,中的两个式子，引入01变量满足,page32,0-1变量在含有固定费用的函数问题中的应用,现引入一个任意大正数M ，则上述约束可表为：,则模型可 为：,page33,0-1变量在模型中的应用及其LINGO求解,考虑数学模型,满足以下约束条件：,(3)下 等式至少有一个成立：,其中,将此问题归结为混合整数规划并求解。,page34,0-1变量在模型中的应用及其LINGO求解,解：引入0-1 变量,则模型化为：,page35,利用LINGO求解,model: min=20*y1+5*x1+12*y2+6*x2; x1-1000*y