函数的基本性质复习（高三综合提高）

1、函数的基本性质复习【教学目标】复习基本性质：单调性，奇偶性，周期性【单调性】1定义：对于函数，对于定义域内的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增（或减）函数。等价形式2证明方法和步骤：（1） 设元：设是给定区间上任意两个值，且；（2） 作差：；（3） 变形：（如因式分解、配方等）；（4） 定号：即；（5） 根据定义下结论。例1 讨论函数的单调性3常见初等函数的单调性：例2 讨论函数在(-2,2)内的单调性。4.，,单调性分析例3 已知函数，且（1）求实数的值；（2）判断在上是增函数还是减函数？并证明之5. 利用已知函数单调性判断例4 判断函数在上的单调性.6复合函数的单

2、调性：复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例5 函数的单调减区间是 （ ）A. B. C. D.例6 函数的单调递增区间是 . 例5 已知7函数的单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例7 奇函数在定义域上为减函数，且满足，求实数的取值范围。例8已知是定义在上的增函数，且，（1）求；（2）满足的实数的范围。8. 二次函数单调性与最值分类讨论例9 已知函数.（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数，并指出相应的单调性练习1：已知

3、，函数，（）当=2时，写出函数的单调递增区间；*（）当2时，求函数在区间上的最小值；练习2: 已知（且）（）求的定义域；（）当判断的单调性性并证明； 【奇偶性】1定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫偶函数；如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫奇函数。2奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。注意：若函数为奇函数，且在x=0处有定义，则；3判断一个函数的奇偶性的步骤先求定义域，看是否关于原点对称;再判断或 是否恒成立。例1 判断函数 的奇偶性。分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3

4、）判断函数的奇偶性4.奇偶性的定义的等价形式：对不易找到函数与关系时，常用以下等价形式：； 。当时，也可用来判断。5奇偶函数图象的性质奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。6常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。例2 设是上的奇函数，且当时，求当时的解析式。例3 已知：函数定义在R上，对任意x，yR，有且。(1) 求证：；(

5、2)求证：是偶函数；例4 判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3） （4）（抽象函数奇偶性）例5 设函数的定义域为，且对任意的都有。（1）求的值；（2）判断的奇偶性，并加以证明。【练习】（奇偶性专题） 1已知函数为偶函数，则的值是（ ）A. B. C. D. 2函数是( )A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数7、若是奇函数，是偶函数，且，则 8、已知函数对任意实数恒有判断的奇偶性 9.已知（且）判断的奇偶性 ；10.已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围 ；11已知函数.（1）确定的值，使为奇函数；（2）当为奇函数时，求的值域。 3、T设为定义在上的奇函数，当时，则( )

6、(A) 2； (B) 1； (C) ； (D) 4设是上的奇函数，当时，则 的值是（ ） A. B. C. D. 5若函数是奇函数，则为_。6. 已知在R上是奇函数，且当时，；则当时，的解析式为 . 12、（T本小题满分14分）已知定义域为的函数是奇函数。（1）求的值；（2）判断函数的单调性;（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值【周期性】1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。【理解】周期函数定义域必是无限集。若T是周期，则nT（n0,nZ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最

7、小正周期。周期函数不一定有最小正周期。如常函数f(x)=C；2.函数周期性的判定利用定义，证明对于定义域内的任何x，存在一非零常数T,使恒成立.3.几个函数方程的周期f(x)=f(x+a) T=af(x)+f(x+a)=0或f（x+a）=或f（x+a）=- T=2ay=sinx T=2附：，则是以为周期的周期函数. ，则是以为周期的周期函数. 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2是它的一个周期。 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4是它的一个周期。【例题分析】例1 设f（x）是(-,+ )上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，

8、当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（ ）A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5练习：设函数f(x)对任意xR,都有f（x+3）=-且当x.-3，-2 时，f(x)=2x，则f(113.5)的值为（ ）A. B. C. D.例2 函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x均满足f(x-1)=f(3-x)且f(x-1)=f(x-3)，当1x2时，f(x)=x2 ，则f(x)的单调递减区间是（ ）（以下kZ ）A.2k，2k+1 B. 2k-1，2kC.2k，2k+2 D. 2k-2，2k例3 定义域在R上的函数f(x)的图象关于（，0 ）成中心对称，对任意的实数x都有f（x）=

9、-f（x+）且f(-1)=1，f(0)=-2则f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(2008)的值为（ ）A.-2 B.-1 C.0 D.1【课后专练】1.已知函数在上递增，那么的取值范围是_.2已知定义域为R的函数f(x)在区间(，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5t)f(5t)，那么下列式子一定成立的是（ ）Af(1)f(9)f(13) Bf(13)f(9)f(1) Cf(9)f(1)f(13)Df(13)f(1)f(9)3设是上的减函数，则的单调递减区间为 .4函数f(x) = ax24(a1)x3在2，上递减，则a的取值范围是_ 5已知函数f(x)=ax2+bx+c (a0)是

10、偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数D.非奇非偶函数6已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为a-1,2a，则a=_ ,b=_7已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于( )A. -26B. -18C. -10D. 108若函数f（x）为偶函数，且当-2x0时，f（x）=x+1，那么当0x2时，f（x）=_.9.已知在区间上是增函数，则的范围是（ ）A B C D 10.当时，求函数的最小值11.已知在区间内有一最大值，求的值12已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m1

11、)f(12m)0，求实数m的取值范围13.若的定义域为R，对任意有=,当时且(1)判断在R上的单调性； （2）若，求的取值范围。【同步练习】1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A5 B4 C3D22.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x(0,1)时f(x)=x+1，则f()的值为 （ ）A-5 B.5- C.4- D. -43.是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=4.设存在常数p0,使，则的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；5.数列中6.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间2，3上，=,则=7.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周8.对任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)