初等函数的幂级数展开式

1、其中,定理1 (泰勒中值定理) 若函数f(x)在x0点的某邻域U (x0)内具有直到n+1阶连续导数, 则当x取U (x0)内任何值时, f (x)可按(xx0)的方幂展开为,f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+,( 在x0与x之间),+Rn(x),公式(1)称为函数 f (x)在x0处的泰勒公式.,(1),Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.,泰勒系数,k=0, 1, 2, , n,是唯一的.,一、泰勒公式,定义 如果函数f (x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数, 则幂级数,称为函数f (x)在x0处的泰勒级数.,= f(x0) + f (x0)(xx0),二、泰勒

2、级数,称为函数 f (x)的麦克劳林级数.,sin x =,x(, +).,(1x1),=1+x+x2+xn+,定理2 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于f (x) 在UR (x0) 内, Rn(x)0.,x(, +)., 1, 收敛区间为: (1, 1).,1 0, 收敛区间为: 1, 1.,1x1,7.7 初等函数的幂级数展开式,一、直接法(泰勒级数法) 二、间接法 三、常见函数的幂级数展开式,步骤:,(1) 求 f (n)(x), n=0,1,2, ,(2) 计算 an , n=0,1,2, ,(4) 讨论,?,并求出其收敛区间.,(3) 写出幂级数,利用泰勒公式或麦克劳

3、林公式将f(x)展开为幂级数,若为0, 则幂级数在此收敛区间内等于函数 f(x);,若不为0, 则幂级数虽然收敛, 但它的和不是 f(x).,一、直接法(泰勒级数法),解,例1 将 f(x)=e x 在展开成 x的幂级数.,因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, ,f (n)(0)=e 0=1,于是 f(x)=e x 在x=0的麦克劳林级数为:,其中,0 1,=0,所以 e x =1+x+,x+.,收敛区间为: (, +),二项展开式,+ +nxn1+x n,(1+x)n=1+nx+,(1+x) = 1+x+,?,解,例3 将 f(x)=(1+x ) 展开成 x的幂级数.,n=0

4、,1,2,f (n)(0)=(1)(2)(n+1),=1,得,(1+x)(n) =(1)(2)(n+1)(1+x)( n) ,注意: 当x=1时, 级数的收敛性与 的取值有关., 1, 收敛区间为: (1, 1).,1 0, 收敛区间为: 1, 1.,所以(1+x) 的泰勒级数的收敛区间是(1, 1),x(1, 1),(1+x)=1+x+,牛顿二项式展开式,二、间接展开法,根据唯一性, 利用常见展开式、等比级数的和及幂级数的性质等, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式.,当 = 1时,x (1, 1).,=1x + x2 x3+(1)nxn +,解,

5、例6 将 f(x)=cosx 展开成 x的幂级数.,因 (sin x) =cosx ,又,x(, +).,x(, +).,对上式逐项求导得,解,例10 将函数 展开成 x的幂级数.,因为,x(, +).,所以,x(, +).,解,例5 将下列函数展开成 x的幂级数.,(1),x(1,1).,=1x + x2 x3+(1)nxn +,因为,(2) arctan x,(1) 以x2 代替上式中的 x ,=1x 2 +x4 x6+(1)nx2n +,x (1, 1).,(2) 因,0,x,arctan x,对上式逐项积分,0,x,(1)nt 2n,x1, 1.,arctan x,arctan x,当

6、x= 1时, 为,交错级数, 收敛,当x= 1时, 为,交错级数, 收敛,所以,arctan 1 =,解,例1* 将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数.,x(1,1).,=1x + x2 x3+(1)nxn +,因为,又,0,x,ln(1+x),对上式逐项积分,0,x,(1)nt n,x(1, 1.,ln(1+x),当x= 1时, 为,发散,当x= 1时, 为,交错级数, 收敛,所以,ln(1+x),ln 2 =,例7 将函数f (x)= 展开x 的幂级数.,解,因为,x(, +).,x(, +).,以 代替上式中的 x ,解,例2* 将函数 展开成 x的幂级数.,因为,x(, +).,所以

7、,x(, +).,四则运算,因为,x(, +).,所以,x(, +).,解,例8 将函数sin 2 x 展开成 x的幂级数.,又,解,例11 将函数 分别在x=0和x=2处展开成幂级数.,因为,x(1, 1).,所以 (1),由,得收敛区间为: x(5, 5).,(2),由,得收敛区间为: x(1, 5).,x(1, 1).,解,例9 将函数 展开成x幂级数.,x(1, 1).,x(2, 2).,收敛区间为: x(1, 1).,解,例12 将函数ln x 展开成 (x1) 的幂级数.,x(1,1.,因为,而,ln x = ln (1+ x 1 ),得收敛区间为: x(0, 2.,由1 x 11 ,解,例3* 将函数,展开成 x 的幂级数.,( ) ,x(1,1,x(1, 1).,x1,1),解2,例3* 将函数,展开成 x 的幂级数.,0,x,f (x)=,对上式逐项积分得,因 f (0)=0,x(1, 1).,x(1, 1).,x(1, 1.,x(, +).,1 几何级数,2,3,4,5,三、常用已知和函数的幂级数,x(, +).,x(, +).,x(1, 1).,x1, 1.