人教版高一必修五第一章正弦定理和余弦定理

1、第一章，解三角形,1.1.1正弦定理,1.问题的引入:,.,(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？,.C,.B,.A,引例： 为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得ABC=120o，BAC=45o，如何求A、C两点的距离？,3.对于直角三角形，我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系，我们需要建立相关理论进行沟通，这是一个有待探究的课题.,2.三角形是最基本的几何图形，许多与测量有关的实际问题，都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上

2、两个岛屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度；测量在海上航行的轮船的航速和航向等.,(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?,A,B,我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.,1、问题的给出：,2、实际问题转化为数学问题：,如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小河一侧如在B所在一侧，选择C，为了算出AB的长，可先测出BC的长a，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据a, B，C的值，能否算出AB的长。,.C,a,（1）文字叙述,正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角

3、 的正弦的比相等.,（2）结构特点,（3）方程的观点,正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.,能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?,和谐美、对称美.,正弦定理:,回忆一下直角三角形的边角关系?,两等式间有联系吗？,思考:,对一般的三角形,这个结论还能成立吗?,2.定理的推导,(1)当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?,D,如图:作AB上的高是CD,根椐 三角形的定义,得到,E,(2)当 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?,D,正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即,含三角形的三边及三内角,由己知二角一边 或二边一角可表示其它的边和角,定理结构特征:,1、A+B+C

4、=,2、大角对大边，大边对大角,3、正弦定理可以解决三角形中的问题：,已知两角和一边，求其他角和边,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角,4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形,5、正弦定理的变形形式,6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化,例1 在 已知 , 解三角形.,通过例题你发现了什么一般性结论吗?,小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。,3.定理的应用举例,变式：若将a=2 改为c=2，结果如

5、何？,例 2、,已知a=16， b= ， A=30 . 解三角形（2）将 A=30 变为B= 30 呢？,已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,变式: a=30, b=26, A=30，解三角形,由于154.30 +3001800,故B只有一解 （如图）,C=124.30,小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。,4.基础练习题,B=300,无解,练习1,练习2,无解,注意：大边对大角!,例2: a=20, b=40, A=45解三角形.,解：由正弦定理,得,注意：无解的情况!,例题讲解,例1

6、: 在 中，已知 ， 求 b.,解： 且,（2）当B116时， C=180-（A+B）180-（40+116）=24,练习：,（1）在 中，一定成立的等式是( ),C,（2）在 中，若 ，则 是( ) A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三有形,D,(3)书本：P4,（一）解三角形时解的情况:,若A为直角或钝角时:,（一）解三角形时解的情况:,B,练习：,（二）思考：三角形的面积和它的元素之间有什么联系？,正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等.,设ABC的外接圆的半径为R，如图所示，,同理 :,A,A,练习：,小结：,（一）解三角形时解的情况: 当A为锐角时；当

7、A为直角或钝角时,变式：a:b:c=sinA:sinB:sinC,作业：,(1)课本P10：B组 第2题,例题1,例题2,正弦定理,A,A,C,50m,正弦定理,对边对 对角的正弦,正弦定理,定理的应用,例 1,在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 b (保留两位有效数字）。,解：,且,b =,19,=,已知两角和任意边， 求其他两边和一角,变式训练：,（1）,在ABC中，已知b= ，A= ，B= ，求a。,（2）,在ABC中，已知c= ，A= ，B= ，求b。,解：,=,=,解：,=,又,在锐角三角形中,由向量加法的三角形法则,在钝角三角形中,A,B,C,具体证

8、明过程 马上完成!,如图：若测得a48.1m，B43 ， C69 ，求AB。,解：,A180 （43 69 ）68 ,48.4(m),解：,正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角,例在ABC中，已知a2，b ，A45， 求B和c。,变式1：在ABC中，已知a4，b ，A45， 求B和c。,变式2：在ABC中，已知a ，b ，A45， 求B和c。,正弦定理应用二： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进 而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）,点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角, 此时的解是唯一的.,课堂练习:,点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.,自我提高！,A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、不能确定,C,C,B,二种 平面几何法 向量法,定理,应用,方法,课时小结,二个 已知两角和一边（只有一解） 已知两边和其中一