固体物理第六章 金属电子论

1、第六章 金属电子论 1. 经典的金属电子论 理论基础：经典理论（系统的微观理论） 理论成果：解释了欧姆定律；热导和电导之间关系等 存在尖锐的矛盾：无法解释 （1）金属中自由电子对热容量的贡献； （2）金属中电子具有很长的“自由程”。在讨论金属的电导、电热、温差电、电磁效应等输运过程中发现，电子的自由程应只等于几百个原子间距。 问题：把电子看成经典粒子，服从经典力学运动 规律和统计分布。没有考虑量子效应：量子力学的规律和量子统计效应。 2. 现代的金属电子论 把量子力学和费米统计规律结合起来分析金属中电子的运动，建立了现代的金属电子论。较成功地解释了金属导、导热以及对热容的贡献等。,按照能带理论

2、，在严格的周期性势场中，电子可以保持 在一个本征态中，具有一定的平均速度，并不随时间改变，相当于无限的自由程。实际自由程之所以是有限的，则是由于原子振动或其它原因致使晶体势场偏离周期性的结果。在费米统计和能带论的基础上，逐步发展了关于电子输运过程的现代理论。 本章首先介绍金属中电子的费米统计规律性，分析电子热容量问题，然后在费米统计和能带论的基础上，讨论有关的输运问题。 输运过程和输运性质： 实际上是讨论非平衡过程，导热、导电和扩散过程都属于输运过程，对应了某种物理量的转移。,6.1 费米统计和电子热容量 实际上，一般只讨论导带中的电子 1. 费米分布函数 在能带理论中采取的是单电子近似，每个

3、电子的运动被看成是独立的，具有一系列确定的本征态，这些本征态可以有不同的波数n k标志。 一个单电子近似描述的系统的宏观态，可以由电子在这些本征态间的统计分布来描述，满足所谓的费米分布。 对于系统的平衡态，费米统计分布函数： 给出能量为E的本征态被一个电子占据的几率。 是费米能级,系统中的化学势，电子占据和空出的分界面，【费米面，对应的能给为费米能级】 的值可由归一化条件来确定（书上公式有错）。 即（分离能级）：,积分形式的归一化条件表示为： 此时认为电子的能级是连续分布的。在能带中电子的能级是准连续的分布。 f(E) 的分布曲线： )当E=EF时，f(E)=1/2 )当E-EF/kBT1时，

4、 f(E)=0 )当E比EF低几个kBT时 f(E) 1，表示电子状态被填满。分布图见图6-1（P.277) 在体积 内包含的量子态数为： 统计平均的电子数为：,能级E上的平均电子数为： 2. 费米能级 的确定： T=0K时 此时f(E) 1 T0K时 引入函数 表示E以下量子态的总数: 因此得: ,上式中, 第一项为零，因为：E f(E) 0，而当 E0 Q(E)0 ，所以：, 可以写为,上式为偶函数，并具有Delta函数的性质，只在费米能级附近不为零。,把Q(E)在E=EF附近展开： 带入上式得： 引入积分变数： 则,上式第2项被积函数为奇函数，所以积分为零。,定积分： 所以： 附近展开

5、则有,因为有： 所以：,对于近自由电子情况 N(E) E1/2 所以： 3. 电子热容量 下面讨论晶体中电子，对晶体热容量的贡献。 电子系统总能量： 定义函数： 则有： 对比前面的计算过程可得：,根据定义上式右边第一项为：温度等于0K时电子的总能量，则第二项为电子系统的激发热能。 电子系统的热容为： 近自由电子为例：,讨论晶体中电子的热容量：,对于近自由电子：,在费米能级处：,代入上面的公式得： 可见，与温度成线性关系。 而前面讨论晶格振动时， 得到晶格振动的热容量是 与温度的三次方成正比。,即：,在一般温度下： 而当温度接近0K时：,物理解释是什么？,6.2 功函数和接触电势差 1. 热电子

6、发射和功函数 什么是热电子发射？ 发射电流随温度的变化规律： 功函数： (1)经典电子论解释 假设金属中的电子可以看作是处在一个恒定的势场中的自由质点，势井中的电子服从经典统计分布。速度分布为： 式中， 是速度处在 内的电子密度。 ， 为单位体积的电子数。 按照分子运动论的方法讨论发射电流。,-经典的麦克斯韦速度分布,选X坐标沿垂直发射面的方向，发射电流密度可以表示为：,其中， 为电子摆脱金属束缚发射到体外的条件。以上 推导过程完全类似于分子运动论中讨论分子对容器器壁所产生的 压强。最后的结果为：,给出了发射电流随温度变化的指数关系，并且给出的功函数的解释是：,这里的,为金属势井的深度。,(2

7、) 热电子发射的量子理论 假定采用近自由电子近似，则其能量关系为： 并且有： dV内的量子态数目： dV内的统计平均电子数： 这里,和,为费米统计分布律,由于发射热电子的能量必须大于势井的深度，所以要求：,实际上， 所以有： 同经典情况 完全类似。,同样可以得出量子理论所相应的电流表示式：,但功函数为：,2. 不同金属中电子的平衡和接触电势 静电势： 附加静电势能： 此时满足：,6.3 分布函数和波尔兹曼方程 一、输运过程的分布函数方法 速度在v-v+dv内的粒子数为： （t 时刻,经典描述） 在 范围内的量子态 数为： 则在 范围内的电子数为： 单位体积内的电子数为： 电流密度 满足(欧姆定

8、律),单位体积在 中的电子数为： 对电流密度的贡献为： 总电流密度 外电场下电子状态 变化服从 电子在k空间偏移的距离 外场引起的漂移项 ：,流体的连续性原理： 由此 变分为,漂移项： （2）碰撞项： 跃迁几率： 具体考虑 内的粒子数： 在 时间内向 内跃迁的粒子数为： 由于跃迁失去的电子数：,另一方面： 粒子数的变化 变化率 f 变化所满足的方程,恒定电磁场和温度下： 稳定状态！ 均匀态： 波尔兹曼输运方程简化为:,6.4 弛豫时间近似和电导率公式 波尔兹曼输运方程的一般表示式为： 弛豫时间近似中的碰撞项写为： 在平衡态： 只有碰撞作用时： 对时间的积分： 对平衡的偏离： 当 时， 均匀系统的定态波尔兹曼方程化为：,将f按E展开: 带入上面的波尔兹曼方程有： 取一级近似： 将f1代入:,标准形式 ： 最