2020届高考数学一轮复习 5.4 解斜三角形教案（通用）

1、5.4偏转三角形知识梳理1.正弦定理：在三角形中，每条边与对角正弦的比值是相等的，也就是说，=。利用正弦定理，我们可以解决以下两种三角形问题。(1)已知两个角和任意边，得到另外两个边和一个角；(2)知道两条边和其中一条边的对角线，找到另一条边的对角线(以便进一步找到其他边和角度)2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于另外两边的平方之和减去两边和它们之间夹角的余弦的两倍，也就是说，a2=B2 C2-2 BCCosA；B2=C2 a2-2cacob；C2=a2 B2-2 bcosc。在余弦定理中，让C=90，然后cosC=0，所以c2=a2 b2。可以看出，余弦定理是毕达哥拉斯定理的推广，可以从

2、中得到cosA=；CoSb=；cosC=。利用余弦定理，我们可以解决以下两种三角形问题：(1)已知三条边，得到三个角；(2)了解两边及其夹角，找到第三条边和另外两个角。特别提示这两个定理的形式、内容、证明和变形应用必须引起足够的重视。三角形和三角函数用向量的量积联系起来，用向量的方法证明了这两个定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的一个例子。另外，在解决三角形问题时，可能有一个解，两个解或者没有解，所以应该结合“三角形大边到大角度定理和几何作图”来帮助理解。低点击双基地1.(上海，2002)在ABC中，如果2cosBsinA=sinC，则ABC的形状必须为A.等腰直角三角形C.等腰三角形等

3、边三角形解析：a=c，a=b来自2cosbsina=sinc。答：c2.在下列条件中，ABC是一个锐角三角形新浪CoSA=0C.tanA tanB tanC0D.b=3，c=3，B=30分析：2新浪cosA=-0，A是钝器。0，成本 0时，tan (ab) (1-tana tanb) tanc 0。正切 0，a，b和c是锐角。C=或。答：c3.(国家IV，2020)在ABC中，A、B和C分别是A、B和C的相对侧。如果A，B和C变成等差数列，B=30，并且 ABC的面积是，那么B等于A.B.1C.D.2分析：a、b和c构成算术级数，2b=a c的平方A2c2=4B2-2ac。而且ABC的面积B=

4、30，所以交流=6是由S得到的ABC=acsinB=acsin30=交流=。回答：b4.如果(a b c) (b c-a)=3bc，则 a=_ _ _ _ _ _。分析：从已知的(公元前)2-a2=3bc， b2c2-a2=bc。=。a=。回答：5.在锐角ABC中，如果边长a=1，边长b=2，边长C的取值范围为_ _ _ _ _ _。分析：如果c是最大的边，cosc 0。 0， c b-a=1。1c.回答：(1，)典型案例分析例1ABC的三个内角a、b和c的相对侧分别是a、b和c。如果a2=b(b c)，则验证A=2B。分析：研究三角形问题有两种方法：一种是给角加边，另一种是给边加角。摘要：利

5、用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，并代入a2=B(B c)，得到Sin2a=sinb(sinb sinc)Sin2a-sin2b=sinb sinc-=sinb sin(A B)(cos2B-cos2A)=sinBsin(甲乙)sin(甲乙)sin(A-B)=sinBsin(甲乙)，因为A、B和C是三角形的内角，所以sin(A、B)为0。所以sin (a-b)=sinb。所以只能有A-b=b，也就是说，A=2B。注释：利用正弦定理，将命题中的边之间的关系转化为角之间的关系，并通过三角公式变换求解。思考和讨论(1)如何用余弦定理解决这个问题？解决方法：使用余弦定理

6、，从a2=b(b c)，COSA=，COS2B=2cos2B-1=2 () 2-1=-1=。因此，cosA=cos2B。因为A和B是ABC的内角，A=2B。(2)根据命题特征，我们能否构造一个满足要求的三角形，并用几何知识求解？解决方法：让a2=b(b c) get=。制作ABC，将CA扩展到D，制作AD=AB=c，并连接到BD。等式表示=，soBCDABC，so 1= D .AB=AD，我们可以看到2=D，所以1=2。因为BAC=2 D=22=21，所以A=2B。点评：近年来，高考试题涉及三角形，侧重于正弦和余弦定理，侧重于三角形变换。这是提议者的初衷。例2(国家，2020，17)中已知的锐

7、角ABC，sin (a-b)=，sin(A-B)=。(1)验证：tanA=2tanB；(2)设AB=3，求出AB边缘的高度。分析：两个角的和与差与两个角的和与差的正弦公式相关联，(1)结合图形作为求解(2)的基础。(1)证明：sin(甲乙)=，sin(甲乙)=，=2.tanA=2tanB.(2)解：ab 30”表示“新浪”A.充分和不必要的条件C.必要和充分条件分析：在ABC中，a 300 新浪；新浪 30A股30。回答：b2.如图所示，ABC是一个简单的遮阳篷，A和B是南北方向的两个固定点，向东发射的太阳光与地面成40度角。为了最大化阴影屏蔽表面的面积，遮阳篷与地面形成的角度为A.75B.6

8、0C.50D.45分析：设CE平面ABD为e，则CDE为太阳光线与地面形成的角度，即CDE=40 ,将DE的交线AB延伸至f并连接CF，则CFD为天幕与地面形成的角度，设置为。为了最大化SABD，只需要最大化测向。DF=.cf是一个固定值，当=50时，测向最大。答：c3.在ABC中，角A、B和C所对的边分别是A、B和C。如果三角形的面积S=(A2b2-C2)，那么C的度数是_ _ _ _ _ _。解析：absinC=2abcosC。tanC=1.C=与s=(a2b2-C2)。回答：454.在ABC中，如果C=60，则=_ _ _ _ _ _。正在分析：=。(*)c=60,a2 B2-C2=2

9、bcosc=ab。a2 b2=ab c2。用(*)代替=1。回答：15.在ABC中，三角形由已知条件求解，其中有两个解A.b=20，A=45，C=80B.a=30，c=28，B=60C.a=14，b=16，A=45D.a=12，c=15，A=120分析：从a=14，b=16，A=45和正弦定理，我们得到，所以sinB=。所以b有两个值。答：c培养能力6.在ABC中，角A、B和C的边是A、B和C，它们依次是几何级数，并得到y=的取值范围。解决方案：b2=ac， cosB=()-。0B，y=sinB cosB=sin(B)。B , sin (b) 1。因此，1 y 。7.已知在ABC中，2 (si

10、n2a-sin2c)=(a-b) sinb，外切圆的半径为。(1)找到c；(2)找出面积的最大值。解决方案：(1) 2 (-)=(a-b)从2 (sin2a-sin2c)=(a-b) sinb。R=， a2-C2=ab-B2。 a2b2-C2=ab。0 c 0，x 0)，则总有sinB=，sinC=(略)，而sinB=sinA来自正弦定理，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，而COSA=(k-sina来自余弦定理所以的取值范围是，。探索与创新9.城市里有一条高速公路，从城市中心的A到O，从西到东，然后在东北转到OB。现在要建一条铁路。我在OA上有一个A站，在OB上有一个B站。这条

11、铁路是AB线的一个直线段。现在要求O市中心和AB市中心之间的距离为10公里。在高速公路上，甲和乙离O中心有多远才能使|AB|最短？找到最短的距离。(不需要近似计算)解决方法：在AOB中，让OA=a，OB=B .因为AO在正西，OB在东北，所以AOB=135。那么| AB | 2=a2 B2-2 abcos 135=a2 b2ab2 abab=(2)AB，当且仅当a=b，“=”成立。从o到ab的距离是10。如果OAB=，那么 oba=45-。所以aab=，当且仅当=2230、=成立。因此，| AB | 2400(1)2，当且仅当a=b且=2230 ，=成立。因此，当a=b=10时，|AB|最短，

12、最短距离为20(1)，也就是说，当AB距离OA和OB上的o点10公里时，它可以使|AB|最短，最短距离为20 (-1)。思考和启示总结1.在ABC中，A B C=，sin=cos，cos=sin，tan=cot。2.A、B和C是算术级数，当且仅当B=60。3.在非直角三角形中，tanA tanB tanC=tanAtanBtanC。4.根据给定的条件，有两种主要的方法来确定三角形的形状：把边变成角；将角转化为边，经常使用正弦(余弦)定理来实现角变换。5.为了理解具有正(共)弦的三角形问题，我们可以利用向量的模，利用向量与三角形边长的量的乘积来计算三角形的内角。6.用矢量的数量积计算三角形的内角

13、时，有必要弄清楚矢量的夹角是等于还是等于三角形的内角。教师下载中心教学的收尾工作1.一方面，让学生了解矢量法在解三角形中的应用，另一方面，让学生了解解三角形是一种重要的测量手段，进一步提高使用计算器的技能和通过数值计算解决实际问题的能力。2.有必要增加以三角形为背景，以三角形恒等式转换公式和向量为工具的小综合问题的训练。扩展示例例1已知a、b和c是ABC的三个内角，y=cotA。(1)如果任意交换两个角的位置，y的值会改变吗？试着证明你的结论。(2)求y的最小值.解决方案：(1)y=CotA甲床甲床=cotA cotB cotC任意交换两个角的位置，y的值不会改变。(2)cos(B-C)1，ycota=2 tan=(cot 3 tan)0。因此，当A=B=C=，ymin=时。评论：这个问题的问题(1)是一个开放式的问题，y表达的表面不对称显示了这个问题的有趣之处。问题(2)实际上是一个常见的问题：在ABC中，证明：cotA cotB cotC。例2在ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状。分析：判断三角形的形状，可以通过三个内角