2020年普通高考数学一轮复习 第37讲 空间夹角和距离精品学案（通用）

1、2020年一般高考数学课复习了精品学方案第三十七届空间的角度和距离1 .教材要求：1 .可以利用空间几何体内的位置关系求出空间的角度和距离2 .用向量法解决了线、线面、面的角度计算问题，体会向量法在研究几何问题上的作用。2 .命题的方向性空间角度和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本论文的考察主要有以下情况： (1)空间角度(2)空间距离(3)空间向量在求角度和距离中的应用。对2020年高考本课内容的考察求空间向量的应用角度，求距离。 教科书利用空间关系找角，稀释求距离内容的说明，增大了向量的应用说明，所以作为立体几何学的解答问题，以向量法处理角度和距离为主要方法，复习时要提高这方面的训练力

2、。问题型上的空间角度和距离主要以主观的问题形式进行考察。3 .详细说明要点1 .空间的各种角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。(1)异面直线所成的角的范围是。 求两条异面直线所成角的大小的一般方法是平行移动直线，将异面问题变换成共面问题来解决。具体的步骤如下：通过定义结构角，可以固定一根，或直线移动另一根，或同时将两根直线移动到特殊位置，顶点可以选择在特殊位置证明的角是求出的角利用三角形求角。(2)直线与平面所成的角的范围是。 求直线和平面所成的角的是射影变换法。德. d乙级联赛甲级联赛c.c具体的步骤如下：寻找斜线上的点和与平面垂直的直线连接下垂和斜脚，得到斜线平面的投影，确

3、定求出的角把这个角放在三角形中计算。注：斜线与平面所成的角是其与平面内的哪个直线所成的角中最小的角，是线面角，是斜线与平面内的哪个直线所成的角(3)要确定点的投影位置，有以下方法斜线上任意点在平面上的投影一定是斜线在平面上的投影一个角在平面外的点和角的两边的距离相等时，该点在平面上的投影在该角平分线上的直线和角的平分线的角度相等时，该直线投影在平面上两个平面相互垂直，一个平面上的点投影到另一个平面上的一定是落在两个平面的交点上利用几个特殊三角锥的性质，确定顶点在底面上的投影位置a .侧棱相等或侧棱与底面所成角相等时，顶点落在底面上的投影为底面三角形的外心b .顶点到底面各边的距离相等，或者侧面

4、和底面所成的角相等时，顶点落在底面上的射影是底面三角形的心(或旁心)c .如果侧棱的两个垂直或各组对棱相互垂直，则顶点落在底面上的投影为底面三角形的垂直心(4)二面角的范围没有显示在教科书中，但一般来说，解题时必须注意图形的位置和主题。 建立二面角的平面角经常有三种方法棱上一点两点垂线法：用棱取一点，通过该点在两个平面内分别画出棱的垂线，这两条线所成的角为二面角的平面角面上一点三垂线法：从二面角的一面上一点为另一面画垂线，由垂线得到棱上的点(即垂线足)，夹在斜边和面上一点的线、斜边和垂线足之间的角为二面角的平面角空间一点垂直法：从空间一点形成了与棱垂直的平面，切掉二面角得到两条线，这两条线所成

5、的角为二面角的平面角。斜面面积与射影面积的关系式：(原斜面面积、射影面积、斜面和射影形成的二面角的平面角)该式相对于斜面为三角形，任意多边形成立。 是求二面角的好方法。 当难以作为二面角的平面角时，如果能够找到斜面面积的投影面积，就可以应用直接式来求出二面角的大小。2 .空间距离(1)从点p到直线的距离：从点p到直线的距离是从点p到直线的垂线段的长度，总是画直线从某个平面的垂线，设脚为a，画从a的垂线，设脚为b到PB，则从三垂线定理到线段PB为从点p到直线的距离。 用直角三角形PAB求出PB的长度即可。从点p到平面距离：从点p到平面的距离是从点p到平面的垂线段的长度，转移法是平面斜线上的从两点

6、a、b到斜边c的距离AB、AC之比，从点a、b到平面的距离之比也相同(2)异面直线间的距离：异面直线间的距离是间的公垂线段的长度。经常求出的法证明线段AB是异面直线的公垂线段后再求出AB的长度即可。从直线到平面的距离是异面直线间的距离。分别交叉，分别求出平行的平面(3)从直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间。直线上的任意点到平面的距离。(4)平面和平面的距离：只存在于两个平行平面之间，是从某个平面上的任意点到另一个平面的距离。以上所述的所有距离：虚线的距离、点面的距离、线的距离、线面的距离、面的距离都与图形上的两点之间的最短距离对应。 因此，可以使用求出函数的最小值法来求出各距离。3

7、.空间向量的应用甲组联赛乙级联赛ef.f(1)用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，a和b的法线向量，在点e-a、f-b，异面直线a和b的距离是甲组联赛乙级联赛c.c(2)用法向量求点到平面的距离如右图所示，可知AB是平面的斜线，是平面的法线向量，从a到平面的距离为(3)用法向量求直线到平面的距离首先，必须确认直线平行于平面，并将直线到平面的距离问题转换为直线上的点到平面的距离问题。(4)用法向量求出两平行平面间的距离首先，必须判断两个平面是否平行。 在这种情况下，可以在一个平面上取点，并将两个平面之间的距离问题转换为点到平面的距离问题。(5)求用法矢量二面角体如图所示，有

8、两个平面和，如果取这两个平面的法线矢量和，由于平面和所成的角与法线矢量所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。(6)求法线向量直线和平面所成的角求出直线a和平面所成的角，求出该平面的法线向量和直线a所成的角的馀弦，=或。4 .典型的分析问题型1 :异面直线所成的角(1)直三角住宅A1B1C1ABC、873bca=，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，BD1和AF1所成的角的馀弦值是()(A ) (B) (C) (D )。(2)已知二面角的大小为异面直线，且所成的角为()(A) (B) (C) (D )。解析： (1)连接d1f1时，d1f18756

9、； d1f1点e是BC中点，8756； d1f1be，8756； BD1ef1a或其互补角是bd1与AF1所成的角。 可以从馀弦定理求出。 因此选择a。(2)二面角的大小为异面直线，且所成的角为两条直线所成的角，为8756； 选择=、b。评价：平移将不同面的直线角度转换为平面中两个相交直线的角度。A1B1c1.c1d1.d1甲组联赛乙级联赛c.c德. dexyz轴例2 .已知立方体ABCD-A1B1C1D1的奥萨马长度为2，点e为棱AB的中点。求出： D1E和平面BC1D所成的角的大小(用馀弦值表示)分析：创建坐标系图，、，虽然可以容易地证明是平面BC1D的法线矢量喀喀喀喀喀地653HHHK和

10、平面BC1D所成的角的馀弦值为。评分：将不同面直线之间的角度转换为空间向量的角度。问题类型2 :直线和平面所成的角例3.PA、PB、PC是距p点的三条线，各线的角度为，直线PC和平面PAB所成的角的馀弦值为()A. B. C. D德. d解：构造立方体如图所示，设过点c为CO平面PAB，设垂直足为o，则o成为正ABP的中心CPO为PC和平面PAB所成的角。 如果PC=a，则因为PO=所以选择c。思考的要点：第(2)题也可以用公式直接求出。如图所示，在直三角柱ABCA1B1C1中，底面是直角等腰三角形，873acb=90，侧棱AA1=2，d，e分别是CC1和A1B的中点，点e向平面ABD的投影是

11、Abd的重心g。 求出A1B和平面ABD所成的角的大小(结果用馀弦值表示)。g光碟A1c1.c1B1c.c乙级联赛Kxyz轴甲组联赛e分析：如图所示，如果创建坐标系，并将坐标原点设为c，CA=2a，则A(2a，0，0 )，b (0，2a，0 )，d (0，0，1 )，A1(2a，0，2 )，E(a，a，1 )，g ()，卡卡卡222222222222， a=1，PS是平面ABD的法线矢量，并且。ef.fo.o A1B和平面ABD所成的角的馀弦值为。评价：首先处理平面的法线向量，求出直线的方向向量与法线向量所成的角度并转换为线面角。问题类型3 :二面角在四角锥P-ABCD中，ABCD是正方形，P

12、A平面ABCD，PA=AB=a，e是BC中点。(1)求出平面PDE和平面PAB所成的二面角的大小(用正切值表示)(2)求出平面PBA和平面PDC形成的二面角的大小。解析： (1)如果ab、DE相交于点f，则PF表示平面PDE和平面PAD的二面角的棱，UR平面ABCD、UR pa、ab、PAAB=ADA平面BPA位于a处过a设AOPF为o，连接OD时，AOD是平面PDE和平面PAD形成的二面角的平面角。 因为容易获得，平面PDE和平面PAD的二面角的正切值为(2)解法1 (面积法)图ADPA、AB、PAAB=AUR平面BPA位于a，BC平面BPA位于bSPBA是PCD在平面PBA上的投影，平面P

13、BA和平面PDC的二面角的大小为，cos=SPAB/SPCD=/2 =450。也就是说，平面BAP和平面PDC的二面角的大小为45。解法2 (补形化成为定义法)图：当把四角锥P-ABCD补形为立方体ABCD-PQMN时，PQPA、PD和APD为两面形成的二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，APD=45。 也就是说，平面BAP和平面PDC所成的二面角的大小为45。例6.(1)如图6所示，正三角柱底面边长为3，侧棱，d为CB延长线上的一点。 求二面角的大小。 (省略了这个问题、问题)(2)已知球的半径在1、3点都在球面上，2点和2点的球面距离，2点的球面距离，2面角的大小为()(A) (B

14、) (C) (D )。解析： (1)取BC的中点o、连AO。标题：平面平面，以o为原点，构筑如图6所示的空间正交坐标系那么2222222222卡卡卡卡卡说明平面ABD，8756； 是平面ABD的法线向量。把平面的法线向量2222222222222卡卡卡653即。 可以设置由得到。 求二面角的大小。评价： (1)使用向量的方法处理二面角问题时，传统上求二面角问题时的三步曲证求直接简化为一步曲计算。 这个表面似乎表现了学生的空间想象力，但本质上并非如此。 向量法对学生空间想象力的要求更高，也更重视学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神(2)该方法在处理二面角问题时，可能遇到二面角的具体大小的问题

15、，在本问题中采用时，计算出来求二面角，但根据问题的意思不同，只是。 二面角的大小既可以是锐角、直角，也可以是钝角。 计算前，请判断问题意义上求出的二面角的大小，根据计算选择“等角度”还是“补角”。(2)分析：球的半径R=，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都相等，AB=AC，两点的球面距离超过BOC=，BC=1，b，BD，ao，垂线足连接d，CD，ad，BDC为二面角的平面角问题型4 :异面直线间的距离mo.o甲组联赛乙级联赛c.c德. df.fe如图所示，立方体abcd-prism的长度为求出异形面的直线BD和c的距离.解法1 :连接AC交叉BD的中点o、连接取的中点m、连接BM、连接，越

16、过e将EF/OM交叉OB传递给f。斜线的射影是AC、BDAC。同样地，由于m是中点，所以与BD的共同垂线为876。EF/OM、OB=，解法2.(转换为线面距离)由于是BD/平面、平面，所以在BD的距离是从BD到平面的距离。是的，是的。解法3.(转换为面间距离)易证平面/平面，用等体积法容易得到的从a到平面的距离是。同样，由于到平面的距离为，所以可知两平面间的距离为.mn甲组联赛乙级联赛c.c德. de甲组联赛乙级联赛c.c德. do.o解法4.(垂直法)图、BD/平面、平面、平面平面=，到平面的距离是斜边的高度。解法五。 如图所示，取上述点m，将MEBC传递到e，超过e将ENBD传递到n，容易看到MN是与BD的垂线时，MN是最小的。BE=、CE=ME=、EN=、MN=。当时，时候。甲组联赛乙级联赛c.c德. do.os图2例8 .如图2所示，正四角锥的高度、底边长。 求和异面直线的距离吗？分析：创建如图所示的笛卡尔坐标系后，的双曲馀弦值。是吗？指示矢量，然后是吗？不同面的直线之间的距离如下所示的双曲馀弦值。问题类型5 :点面距离甲组联赛乙级联赛c.c德. dgee.eeeFEo.o