2020年普通高考数学一轮复习 第30讲 数列求和及数列实际问题精品学案（通用）

1、2020年一般高考数学课复习了精品学方案第三十次数列的总和和数列的实际问题1 .教材要求：1 .搜索和掌握几个基本数列前n项和的方法2、在具体问题情况下，发现数列的通项和递归关系，可以用等差、等比数列相关知识来解决相应的实际问题。2 .命题的方向性数列的总和数列的综合和实际问题在高考中占重要地位，一般是解答问题，解答问题以数列为工具，综合运用函数、方程式、不等式等知识，利用逆推思想、函数和方程式、归纳和预想、等价转换、分类讨论等各种数学思想方法，让考生运用数学知识分析问题关于命题的倾向：1 .数列是特殊函数，不等式是深入认识函数和数列的有效工具，三者的综合问题是基础和能力的双重检验，三者相交地

2、设计问题，特别是代数推理问题是高考的重点2 .数列推理问题继续成为数列命题的一个亮点。 这是因为这样的问题强调了学生的逻辑思考能力，能区分学生思考的严密性、灵敏度、灵活性3 .数列和新章知识的结合特征可能会得到加强。 例如，与分析几何学的结合等4 .有关数列的应用问题也备受关注。预测2020年高考中将的考察，结果如下1 .可能是考察数列导出能力，解决生产、生活中的实际问题的解答问题2、知识交错问题也可以是数列和函数、不等式、解析几何、应用问题等相关综合问题，数列、数学归纳法等有机结合。3 .详细说明要点1 .数列求通项和(1)数列最初的n项和Sn和通项an的关系式： an=。(2)求通项的一般

3、方法建立新数列法。 构造等差数列和等比数列累积差重叠法。 最基本的形式是an=(an-an-1 ) (an-1 an-2 )(a2- a1) a 1；总结和推测想法。(3)数列的前n项和重要的公式： 1 2 n=n(n 1 )1222n2=n1(2n1)13 23.n3=(12.n )2=n2(n1) 2；等差数列中，Sm n=Sm Sn mnd；在等比数列中，Sm n=Sn qnSm=Sm qmSn；裂项合计把数列的通项分成两个式的代数和an=f(n 1)-f(n )，把其中间的多项相加抵消，这种先裂后消除的加法叫做裂项加法。 用裂项法合计，需要把握常见的裂项：=-，nn！=(n 1)！ -

4、n！ Cn-1r-1=Cnr-Cn-1r、=-等。错误项相消法由等差数列和等比数列对应项的积构成的数列的前n项，和错误项相消法经常被使用。 其中等差数列、等比数列、记、是、合计把数列的几个项目合起来先合计，然后求Sn。数列通项和求和的方法多种多样，必须根据情况选择合适的方法。通项分解法：2 .递归数列将数列的连续几项满足的等量关系an k=f(an k-1、an k-2、an )称为数列的递归关系。 由递归关系和k个初始值决定的一个数列叫做递归数列。 由an 1=2an 1和a1=1决定的数列是递归数列。递归数列通项的求法一般有以下几种(1)归纳、预想、数学归纳法的证明。(2)迭代法。(3)置

5、换法。 包括代数置换、对数代数、三角代数。(4)建立新的数列法。 最常见的是建立等差数列和等比数列来解决问题。4 .典型的分析问题类型1 :裂缝项目的合计已知数列是等差数列，公差不为0，第一项也不为0，合计。分析：首先考虑的话，=。评价：已知的数列是等差数列，公差不为0，第一项也不为0，以下合计也可利用裂项合计法。求。求。解析：评价：裂缝项目合计的关键是首先转换形式复杂的要素的简单点。问题类型2 :位置偏差减法将a设为常数，求数列a、2a2、3a3、nan.的前n项之和。解析： a=0时，Sn=0；如果a=1的话，Sn=1 2 3 n=；如果a1，a0时，Sn-aSn=a(1 a an-1-n

6、an )PS=。已知数列的第一项是a，公比也是a的等比数列，求数列的前件和。分析：-得：分数评价：将数列的等比数列、数列设为等差数列时，可与数列的前项求解偏离而进行减法运算。题型3 :逆顺加求。求。解析。 ，再见。 二所以。评价： Sn表示第一项到第n项的和，Sn表示第n项到第一项的和，通过将得到的二式相加得到Sn的加法方法。例6 .若将数列设为公差，且最初为等差数列，则合计：解析：因为，的双曲正切值。这种问题也可以根据已知数列的前件和、等差数列是否存在，而转换成所有自然数n成立的搜索问题。问题类型4 :其他方法例7 .数列1、3、5、79、11、131517、前n项和。解析：本问题本质上求奇

7、数列之和。 因为这个数列的前n项有奇数。例8 .求数列1、3、32、3n的各项的和。解析：其和为(1 3 3n) ( )=(3n 1-3-n )。问题型5 :数列综合问题例9 .已知函数=x3 x2，数列| xn | (xn 0)的第1项x1=1，以后的各项设定为，处于曲线y=的切线与通过(0，0 )和(xn，f(xn ) )两点的直线平行(图)。求证： n时： (I) (II )。解析： (I )因为曲线切线的斜率过去和两点的直线的倾斜度是所以(II )因为函数单调增加然后也就是说因此。又来了命令规则所以因此。故分数评价：数列和解析几何问题结合在一起，数列的通项与线段的长度、点的坐标相连。我

8、知道。 其中，为。(I )写(ii )证明：是可选的，是永恒的。分析： (I )根据已知的估计，有(II )证据法1:当时在x0的情况下，值为 0，1 的增加函数。由于函数是偶函数，所以在-1，0 中成为减法函数所以，任意的因此结论成立。证据法2 :当时在x0的情况下，值为 0，1 的增加函数。由于函数是偶函数，所以在-1，0 中成为减法函数所以任意的又因所以因此结论成立。证言法3 :当时在x0的情况下，值为 0，1 的增加函数。由于函数是偶函数，所以在-1，0 中是减法函数。所以任意的由请告诉我上式的两侧：因此结论成立。评价：数列结合函数、导数，数列是特殊函数的性质，其中用数列函数的性质来说

9、明问题。问题类型6 :数列的实用问题例11 .某企业进行技术改造，有两种方案。 甲方案：一次贷10万元，第一年能获得1万元的利润，然后，比去年增加30%的利润的乙方案：每年贷1万元，第一年能获得1万元的利润，之后每年增加5千元的两个方案的使用期都是10年如果银行的两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，比较一下两个计划中，哪个利润多拿走解析：甲案为等比数列，乙案为等差数列甲方利润：(万元)银行贷款利息：(万元)甲方方案纯利：(万元)乙方案利益：(万元)银行的利息和(万元)因此乙案纯利：(万元)从以上情况可以看出，甲方案更好。评价：这是一个比较简单的数列应用问题，因为本金和利润是熟悉的概念，所以只

10、建立通项公式，用所学公式解决。例12 .自然状态的鱼类是可再生资源，为了持续利用该资源，有必要宏观地考察其再生能力和渔获强度对鱼群总量的影响。 用xn表示某鱼群的第n年的初总量，nN*且x10.不考虑其他因素，第n年鱼群的繁殖量和渔获量与xn成比例，死亡量与xn2成比例，这些比例系数依次为正常数a、b、c。(I )求xn-1和xn的关系式(ii )推测只有x1、a、b、c满足什么条件，每年年初鱼群总量不变(不求证明)(ii )假设a=2，b=1，对于任意的x1- (0，2，2 )若xn0，nN*，则渔获强度b的最大允许值为多少，这证明了你的结论。分析： (I )从第n年初到第n 1年初，鱼群繁

11、殖量为axn，渔获量为bxn，死亡量(II )如果每年年初鱼群总量不变，xn等于x1，nN*。因此，情况如下(* )因为是x10所以PS。推测：只有PS，而且每年年初鱼群总量不变。(iii)b的值为xn0，nN*时xn 1=xn(3-b-xn )，nN*，通知00。因为xk 1=xk(2-xk)=-(xk-1)2 112因为xk1-(0，2 )，所以在n=k 1时结论也成立.从、可以看出，对于任意的nN*，有xn-(0，2，2 )。分数评价：数学归纳法在证明数列的通项和性质方面非常有用，同时这个问题结合实用问题解决了问题。课题型7 :课题的革新例13 .在数列中，它是正整数，且被称为“绝对差数

12、列”。(I )列举上位5项不为零的“绝对差数列”(要求只写上位10项)(ii )证明：任何“绝对差数列”总是包含无数个零项目。分析： ()a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1。(ii )证明：根据定义，数列an必须在有限项之后出现零项。 证明如下。假设an中没有零项，则an=|an-1-an-2|，对于任意n都是an1，因此在an-1 an-2的情况下，an=an-1 -an-2 an-1-1(n3 )在an-1 an-2的情况下，an=an-2 - an-1 an-2-1(n3 )即，an值是比an-1至少小1，或比an-2至少

13、小1中的任一个.如果设cn=n=1、2、3，00 (n=1，2，3)是矛盾的，所以an中一定有零项。如果最初出现的零项是第n项，an-1=A(A0 )，则从第n项开始的三个相邻的项不会周期性地取值o、a、a绝对等差数列an中有无数个零项。评价：设立“等差数列”概念，提高学生阅读、分析和解决剧本问题的能力。例如，若设数列an前n项的和为Sn，则已知a1=1、a2=6、a3=11，其中a和b是常数。(I )求a和b的值(ii )证明数列an为等差数列(iii )证明不等式对于任何正整数m，n都成立分析：本问题是数列的综合运用问题，第一问题是从a1、a2、a3将s1、s2、s3代入关系式，即求a、b

14、的第二问题用式，导出证明数列an为等差数列。答案： (1)根据已知，S1=a1=1，S2=a1 a2=7，S3=a1 a2 a3=18。从(5n-8)Sn 1-(5n 2)Sn=An B得知：的双曲馀弦值。解为A=-20，B=-8。(ii )方法1从(1)中得到的、(5n-8)Sn 1-(5n 2)Sn=-20n-8、(5n-3)Sn 2-(5n 7)Sn 1=-20n-28、-，得到，(5n-3)Sn 2-(10n-1)Sn 1 (5n 2)Sn=-20，所以(5n2 ) sn3-(10n9) sn2 (5n7) sn1=-20 .得到(5n2) sn3- (15 n6) sn2(15 n6

15、) sn1- (5n2) sn=0.PS1=PS1- PS因此，(5n 2)an 3-(10n 4)an 2 (5n 2)an 1=0.另外，为了(5n 2)。an 3-2an 2 an 1=0即an 3-an 2=an 2-an 1.另外a3-a2=a2-a1=5数列是等差数列。方法2已知S1=a1=1此外，(5n-8)Sn 1-(5n 2)Sn=-20n-8且5n-8数列是唯一确定的。若设bn=5n-4，则数列为等差数列，上位n项和Tn=于是，(5n-8)Tn 1-(5n 2)Tn=(5n-8 )从唯一性来说，bn=a，即数列是等差数列。根据(iii)(ii )可知，an=1 5(n-1)=5n-4 .需要证据只有证书5amn1 aman 2amn=5mn-4，aman=(5m-4 ) (5n-4 )=25mn-20 (Mn ) 16仅证书5(5mn-4)1 25mn-20(m n) 16 2因为。=20