中考数学专题 动态几何之直角三角形存在性问题(含解析)

1、专题专题 4040 动态几何之直角三角形存在性问题动态几何之直角三角形存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的 观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形 的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有 点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折） 、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就 问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解 这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问

2、题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以 动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存 在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相 似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写直角三角形存在性问题模拟题。 在中考压轴题中，直角三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进 行分类。 1.1. 如图，RtABC 中，ACB=90，AC=BC=4cm，CD=1cm，若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发

3、，沿 着 ABA 的方向运动，至 A 点结束，设 E 点的运动时间为 t 秒，连接 DE，当BDE 是直角三角形时，t 的值为秒。 【答案】【答案】 511 2或2或2或7 2。 22 【考点】【考点】单动点问题，相等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【解析】【解析】RtABC 中，ACB=90，AC=BC=4cm，ABC=45，AB=4 2（cm） 。 BC=4cm，CD=1cm，BD=3cm。 若DEB=90，则 BE= 23 2 BD=（cm） 。 22 2.2. 如图，O 为坐标原点，点 B 在 x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，反比例函数y 第一象限内的图象经

4、过点A，与BC 交于点 F，OB=3 3，BF= 16 在 x 1 BC。过点 F 作 EFOB，交OA 于点，点P 为直 2 线 EF 上的一个动点，连接 PA，PO。若以 P、O、A 为顶点的三角形是直角三角形，请求出所有点P 的坐标。 【答案】【答案】解：点 A 是反比例函数y 16 在第一象限内的图象上的点， x 16 可设 Aa, a 0。 a 四边形 OACB 是平行四边形， BF= a 8 1 BC，F 3 3 , 。 2a2 点 F 是反比例函数y 16 在第一象限内的图象上的点， x 816a 2a 3 3 a 2 3。 a 3 3 a 2 2 8 4 3 A2 3,3，F

5、4 3,。 33 4 3 EFOB，点 P 为直线 EF 上的一个动点，可设Pp,。 3 8 4 35216 2 100 2223 p 4 3p 根据勾股定理，得OA =，OP =p2，AP =2 3 p。 3 3333 2 2 当POA=90时，有 AP = OA + OP ，即p24 3p 222 521001616 p2 p 3， 3339 4 16 3,3。P 4 3 9 4442 8 34 3,3, P 2 3,3，P 3 3,3，综上所述， 满足条件的点 P的坐标为P 1 3 3 3 3 39 4 16 P 4 3,3。 3 9 【考点】【考点】反比例函数综合题，单动点问题，曲线上

6、点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质，勾股定理， 直角三角形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。 【解析】【解析】先根据曲线上点的坐标与方程的关系和平行四边形的性质求出点 A，F 的坐标，再分别根据当 APO=90时，在 OA 的两侧各有一点 P，得出 P1，P2；当PAO=90时，求出 P3；当POA=90时，求出 P4 即可。 3.3.在 ABC 中， C Rt,AC 4cm,BC 5cm,点D在BC上，且以CD3cm, 现有两个动点 P、Q 分 别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向终点 C 移动；点 Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC

7、 向终点 C 移动。过点 P 作 PEBC 交 AD 于点 E，连结 EQ。设动点运动时间为x 秒。 A 2 （1）用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度； P、D）上移动时，设EDQ 的面积为 y(cm （2）当点Q 在 BD（不包括点B E ) ，求 y 与月份 x 的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围； （3）当 x 为何值时， EDQ 为直角三角形。 B Q D C (3)分两种情况讨论： 当 EQD Rt时， A 显然有EQ PC 4 x,又Q EQPAC,EDQ : ADC EQDQ , ACDC E P 4 x1.25x2 即,解得 x 2.5 43 B解得 x D2

8、.5Q C 当 QED Rt时， A Q CDA EDQ,QED C Rt,EDQ : CDA EQDQ5(4 x)1.25x2 ,即, CDDA125 解得 x 3.1 E BDQ P C 综上所述，当 x 为 2.5 秒或 3.1 秒时， EDQ 为直角三角形。 4. 如图， 已知在平面直角坐标系中， 四边形 ABCO 是梯形， 且 BCAO， 其中 A （6， 0） ， B （3， 3 ） ， AOC=60， 动点 P 从点 O 以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动，动点 Q 也同时从点 B 沿 BCO 的线路以每秒 1 个单位 的速度向点 O 运动，当点 P 到达 A 点时，点 Q

9、也随之停止，设点 P，Q 运动的时间为 t（秒） y （1）求点 C 的坐标及梯形 ABCO 的面积； CQB （2） 当点 Q 在 CO 边上运动时， 求OPQ 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式， 并写出自变量 t 的取值范围； （3）以 O，P，Q 为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由 3 A S x (t24t) 2 【答案】 （1） 4 3 （2t 3）（3）当 t=1 或 t=2 时，OPQ 为直角三角 备用图 （2） OP 形 【解析】 试题分析： （1）作 CMOA 于点 M,知 CM 3 ,由AOC=60易求 BM=1，求出 C 点

10、坐标；由 B 点坐标可求 BC 的长，从而梯形面积可求； （2） 用含有 t的代数式分别表示OPQ 的高和底， 求出OPQ 的的面积即可表示出 S 与运动时间 t 的函数关 系式； (2)如图 1，当动点 Q 运动到 OC 边时，OQ=4t， 作 QGOP，OQG=30， y 113 OG OQ (4t)QG (4t) CB 222 ， Q 又OP=2t， 13 S O2Gt M (4t) P 22 图（1） A x 3 2(t 4t) 2 （2t 3） ； （3）根据题意得出：0t 3， 当0t 2时，Q 在 BC 边上运动，延长 BC 交 y 轴于点 D， 222222OQ ( 3) (3t)PQ ( 3) 2t (3t) 此时 OP=2t， POQPOC=60， 若OPQ 为直角三角形，只能是OPQ=90或OQP=90， 若OPQ=90，如图 2，则PQD=90， y 四边形 PQDO 为矩形， CQB OP=QD D ，2t=3-t， 解得