小波分析课件(适用于初学者)

1、小波分析的基础，一、识别小波、1、初步知识数学的观点，小波是构造函数空间正交基的基本单位，是能量有限空间L2(R)中满足允许条件的函数，需要了解L2(R)空间的基本知识，尤其是内部产品空间的空间分解、函数转换等。从信号处理的角度来看，小波(变换)是一种强大的时频分析(处理)工具，克服并发展了傅立叶变换的缺点，因此，从信号处理的角度来认识小波需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器等方面的基本知识。(1.1)，一个信号是函数f(t)，从数学的角度来看，是时间t的参数。信号是因为能量有限。也就是说，满足条件(1.1)的所有函数的集合，L2(R)图像是二维信号，能量有限。实际上，所有数字图像都是在实际场景

2、中采样和量化后获得的。从数学角度来说，图像是L2(R2)中定义的函数。如图1所示，LENA图像f(x，y)假定图像大小为512x512，量化级别为256。也就是说，2，L2(R)空间的正交分解和变换1对f(t) L2(R)，L2(R)的标准正交基本gi(t)，t 645;r，I=.在中，(1.2)，(1.3)，给定信号f (t)，关键是选择相应的主gi(t)，以使f(t)在此组下表示所需的特性。但是，如果一个标准不符合要求，则可以通过转换转换到另一个默认表示法来获得所需的函数表示法。常用转换2为：(1) K-L变换(2)沃尔什变换(3)傅立叶变换(4)小波变换是信号f(t)的傅立叶变换示意图，

3、如图所示。信号f(t)通过傅立叶变换从时间区域转换到频域，并根据基板进行大转换。在信号处理中，有两种非常重要的变换：傅立叶变换和小波变换。目前，小波可以简单地理解为满足以下两个条件的特殊信号：小波必须振荡。小波的振幅在很短的区间内可以非零，即局部化。1，Daubechies小波，某些著名的小波3:2，Coiflets小波，3，Symlets小波，4，Morlet小波5，Mexican Hat小波，6，(1.4)，周期函数f(t)与以下傅立叶序列一一对应：也就是说，在傅立叶级数的前n项和给定能量下，对原始函数f(t)的最佳逼近进行了数学证明。(1.7)，L2(R)的非周期函数f(t)，是，(1.

4、8)，(1.9)傅立叶变换可以轻松地将时域信号f(t)转换为频域，从而使信号的频率特性一目了然，傅立叶变换也将一个信号的主低频能量集中在频率信号的第一部分傅立叶分析在过去的200年里在科学和工程领域发挥了很大的作用，但是傅立叶分析也不足，主要是傅立叶分析不表征时域信号的局部特性。傅里叶分析对异常信号的处理不好。下面通过两个示例说明这两点。例1，歌声信号歌声是一种声音冲击的波函数，傅立叶变换就是将这个波函数转换成一种乐谱。但是傅立叶变换不能反映信号在什么时候有高音，什么时候有低音，所以所有的音符都像图中那样组合在一起了。小波变换有效地克服了傅立叶变换的缺点，在信号转换到小波域时，小波不仅可以检测

5、高音和低音，而且可以将高音和低音发生的位置对应到原始信号，如图所示。示例2，信号近似：图(a)和(b)为原始信号，其他为近似信号。称为“小波”的数学工具在很好地描述时域中信号的局部性的同时，需要在频域中反映信号的局部性。从函数分解的角度，我想找另一个基本函数(t)，而不是Sint。(t)必须满足以下三个特性：所有复杂信号f(t)可以表示为由一个父函数(t)扩展和平移而产生的基板的线性组合。信号使用新的默认展开系数来反映时域中信号的本地化特性。与基于三角的Sint相比，新的基本函数(t)及其伸缩变换更好地匹配异常信号。历史上，Haar首次发现了这些基本函数。这是一个很有名但很简单的Haar wa

6、velet。(1.11)，数学证明：小波级数，信号的小波近似，2，小波变换的定义和特性，定义1 1函数(t) L2(R)称为基本小波。如果满足允许的条件：(2.1)，(t)等于扩展，转换等于L2 (r)的标准正交基础，即傅立叶变换，因此也称为小波。连续小波变换是函数和小波基的内积：a，b离散化，可以得到离散小波变换：(2.3)，(2.4)，(2.5)，摘要：小波是小区域的波，是长度有限且平均为零的特殊波。有两个特征。一个是“小”。也就是说，时间区域中存在紧集或近似紧集。第二种是正负交替“波动率”，即支流成分为零。傅里叶分析是将信号分解成多个频率的正弦波集合的叠加。同样，小波分析将信号分解为由单

7、个父小波函数变换和缩放的一系列小波函数嵌套。小波分析优于傅立叶分析的一点是，在时域和频域均具有良好的本地化特性。高频中称为“数学显微镜”，因为时间区域或频域采样步长可以逐渐细化，从而集中在对象的所有细节上。小波分析广泛应用于信号处理、图像处理、语音识别等领域。可以理解小波变换的含义。例如，我们使用镜头观察目标信号f (t)，(t)表示镜头使用。b相当于相对于目标平行移动镜头，a相当于朝着目标推或远离镜头。因此，小波变换具有以下特征：多尺度/多分辨率，能够处理粗糙和精细的信号；可以看作是使用基本频率特性为()的带通滤波器在不同大小的a上过滤信号。通过适当地选择小波，使(t)在时域有限地支持()，

8、并在频域中进行比较，WT可以在时间和频域中表征信号的局部特征。小波变换的思想来自伸缩和变换方法。伸缩带波形的伸缩是在时间轴上压缩和扩展信号，如图所示。时间变换时间变换意味着波形在时间轴中并行移动，如图所示。小波操作的基本步骤：(1)选择小波函数，并将该小波与要分析的信号的起点对齐。(2)计算此时要分析的信号和小波函数的近似度。也就是说，计算小波变换系数c，c越大，此时的信号就越像选定的小波函数波形。(3)将小波函数沿时间线向右移动一个单位的时间，然后重复步骤(1)、(2)直至复盖整个信号长度，以找到此时的小波变换系数c，如图所示。(4)将选定的小波函数尺度扩展为一个单位，然后重复步骤(1)、(

9、2)、(3)，如图所示。(5)对所有尺寸延伸重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。，标度和频率关系，标度和频率关系如下：小规模a压缩小波快速变换的细节高频部分大规模a拉伸小波慢变换的粗糙低频部分，3，多分辨率分析，在小波中，通过以下方式，可以构造L2(R)空间的标准正交基础：母片是怎么组成的？1989年，Mallat和Meyer提出了多分辨率分析的想法，形成了mowave。基本想法是，具有特定特性的分层构成嵌套的闭合子空间序列VJ JZ。此闭合子空间序列充满整个L2(R)空间。在V0子空间中查找函数g(t)，其变换g (t-k) k z基于Riesz，该Riesz构成V0子空间。正交化函数g

10、(t)，将其称为正交尺度函数(t)。小波函数(t)由(t)计算。1，多解决方案分析(MRA)概念5，(3.1)，基于Riesz的定义命令h是希尔伯特空间，h中的序列gj JZ基于Riesz，a和b分别是Riesz，定义1空间L2(R)的多分辨率分析是L2(R)中满足以下条件的子空间序列，可以使用下图直观地说明多分辨率空间的关系：g (t-k)如果kz基于V0的Riesz，则可以正交化V0空间中的函数(t) V0，以使(t-k) kz构造V0空间中的标准正交基。拉伸性和不变性构成了Vj空间的标准正交基础j，k (t) j，kz。(3.4)，(3.5)注意：(t)不是L2(R)空间的小波函数，而是

11、与其密切相关的尺度函数，j，k (t) j，kz称为尺度基础，多分辨率空间序列VJ根据MRA的单调，Vj是Vj 1的严格子空间，Wj设置为Vj对Vj1的正交补片(子空间)，即(3.6)，对于一个图像，量化系列决定图像的分辨率，量化系列越高，图像越清晰。也就是说，图像的分辨率很高。任何图像都可以用不同的量化空间表示。细节丰富的部分可以用高分辨率表示，细节单一的部分可以用低分辨率表示。用不同的多分辨率空间Vj查看由不同的量化系列组成的空间。这种量化空间显然可以理解为相互嵌套的空间，(3.7)，从图像处理的角度来看，多分辨率空间的分解可以理解为图像分解。假设有256级量化图像，可以将其视为量化空间V

12、j的图像。可以理解，Vj空间中的一些图像保留在Vj-1空间中，一些图像保留在Wj-1空间中。与尺寸函数的生成类似，如果(t) W0存在，构成了空间W0的标准正交基础，则构成了空间L2(R)的标准正交基础。称为小波基(t)。(3.8)、SKIP、RETURN和MRA提供了构成小波的一般框架，尽管它们非常抽象。实际上，通过小波空间直接构造小波是很困难的，但是通过MRA可以推导出非常重要的关系。也就是说，两阶段方程通过求解，可以同时找出尺度函数和小波函数。第二阶段方程通过前面的分析，我们知道：(3.9)，(3.10)，方程(3.9)和(3.10)被称为第二阶段方程。(t)的正交性：可以通过两尺度方程

13、两侧的傅立叶变换在频域中获得两阶段方程：从信号处理的角度来看，h是与(t)对应的低通滤波器，g是与(t)对应的高通滤波器，h，g是在时域中不连续序列格式 hk 两者本质上是相同的。如果是KN，则hk=0，这种滤镜称为limited pulse response filter，fir滤镜具有良好的本地化特性。此时，(t)仅从有限部分0，N中获取值，因此(t)是紧的，其分支集supp=0，N，(3.9)为：(3.17)，此时(t)因此，只要滤波器的长度有限，相应的小波(t)就称为紧支撑小波。，3.13格式：(3.18)，(3.19)，结论：如果找到满足2标注方程式(3.9)的序列hk kz，则通过

14、公式(3.15)计算2周期函数h，通过解释两阶段方程(3.9)，得到符合MRA的尺度函数(t)，最终构造小波函数(t)，但需要解决两个问题。问题1:第二阶段方程式(3.9)有解决方法吗？解决方案的唯一性如何？问题2:两阶段方程式(3.9)的解决方案是否符合MRA？对于问题1，I. Daubechies和lagranaries 7在1991年提出了证明。解决问题2是一件很困难的事。这包括尺度函数(t)和过滤器系数hk kz之间的关系问题。如果L2(R)空间的尺度函数(t)，则构造2尺度方程(3.9)以满足(3.9)的一组滤波器 hk kz相反，如果有一组满足二维方程的过滤器hk kz，则此解析函

15、数不必是满足MRA的比例函数。因此，如果二维方程解的变换是基于L2(R)Riesz(t)的正交，那么该过滤器h的特性是什么？如果清理13与(t)正交，则过滤器hk必须满足条件：但如果hk仅满足(3.20)和(3.21)，则二维表达式组成的函数(t)为正交标注函数(3.20)和(3.21)是配置正交小波的先决条件。光有必要条件是不够的。hk kz除了条件(3.20)和(3.21)外，还必须满足其他条件。S. Mallat4、W. Lawton6等都在这方面做出了重大贡献，并得出了一些有意义的结论。W. Lawton的充分条件如下：定理x2将h()设置为fir过滤器，矩阵a的特征值为1，并且(t-

16、k) kz是标准正交。算法：精简支持小波基步骤1构造符合双尺度方程(3.9)和(3.10)的过滤器查找hk，GK k0，1，步骤n 2使用公式(3.15)计算2周期函数h()，确保3阶段h()满足条件，并通过傅立叶变换逆变换验证(t)步骤5中矩阵a的特征值1没有退化。6 (t-k) kz是正交尺寸函数，其紧致小波按公式(3.10)计算。4步计算，3，小波和共轭镜滤波器4我们将尺度函数和小波函数(t)，(t) tr表征时域中信号的特性的相应滤波器 h()g() r表征频域中信号的特性。事实上，(t)，(t) tr的许多特性可以由相应的h () g () r在频域中反映，甚至离散小波变换也可以使用过滤器实现，因此小波与过滤器有密切的关系。生成3