四川省宜宾市第一中学高三数学 2.1 函数及其表示学案 新人教A版（通用）

1、2.1函数及其表示1函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数yf(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数yf(x)的值域(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数

2、分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数2函数定义域的求法类型x满足的条件，nN*f(x)0与f(x)0f(x)0logaf(x)(a0，a1)f(x)0logf(x)g(x)f(x)0，f(x)1，g(x)0tan f(x)f(x)k，kZf(g(x)(f(x)定义域为a，b)ag(x)b的解集四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)与g(x)

3、x是同一个函数()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)若函数f(x)的定义域为x|1x3，则函数f(2x1)的定义域为x|1x0，解得x1或x0时，由log3a1，解得a30，符合题意，当a0时，由()a1，解得a0，符合题意，综上所述，a0或a3.4给出下列四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是函数；函数y2x (xN)的图象是一条直线；函数的定义域和值域一定是无限集合其中真命题的序号有_答案解析对于函数是映射，但映射不一定是函数；对于f(x)是定义域为2，值域为0的函数；对于函数y2x (xN)的图象不是一条直线；对于函数的定义域和值域不一定是无限集合.

4、题型一函数的概念例1有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x

5、)和g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)(1)下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)(2)下列四个图象中，是函数图象的是()A BC D答案(1)A(2)B解析(1)A中，g(x)|x|，f(x)g(

6、x)B中，f(x)|x|(xR)，g(x)x (x0)，两函数的定义域不同C中，f(x)x1 (x1)，g(x)x1(xR)，两函数的定义域不同D中，f(x)(x10且x10)，f(x)的定义域为x|x1；g(x)(x210)，g(x)的定义域为x|x1或x1两函数的定义域不同故选A.(2)由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知不是函数图象，是函数图象题型二求函数的解析式例2(1)已知f(1)lg x，则f(x)_.(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.(3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f()1，则f(x)_.答案(1)lg(

7、x1)(2)2x7(3)解析(1)(换元法)令t1(t1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)(2)(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.(3)(消去法)在f(x)2f()1中，用代替x，得f()2f(x)1，将f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由

8、已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(1)已知f(1)x2，则f(x)_.(2)(2020安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.(3)已知f(x)满足2f(x)f()3x，则f(x)_.答案(1)x21(x1)(2)(3)2x(x0)解析(1)设1t(t1)，则t1.代入f(1)x2，得f(t)t21(t1)，f(x)x

9、21(x1)(2)当1x0时，0x11，由已知f(x)f(x1)x(x1)(3)把题目中的x换成，得2f()f(x)，联立方程2得3f(x)6x(x0)即f(x)2x(x0)题型三求函数的定义域例3(1)函数f(x)ln的定义域为()A(0，) B(1，)C(0,1) D(0,1)(1，)(2)(2020大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B(1，)C(1,0) D(，1)答案(1)B(2)B解析(1)由解得x1，故函数f(x)ln的定义域为(1，)(2)由12x10，解得1x，故函数f(2x1)的定义域为(1，)思维升华简单函数定义域

10、的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a，b，则函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域(1)已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是_(2)函数y的定义域为_答案(1)，(2)(1,1)解析(1)因为函数f(x)的定义域是0,2，所以函数g(x)f(x)f(x)中的自变量x需要满足解得：x，所以函数g(x)的定义域是，(2)由得1x0时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，

11、a120，a3.(2)由题设f(x)2x21，得当x1或x1时，fM(x)2x2；当1x0时，解|log2x|得x或x.所以方程f(x)的解集为.分段函数意义理解不清致误典例：已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_易错分析本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1a1，没有对a进行讨论直接代入求解(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误解析当a0时，1a1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合题意；当a1,1a2或0x0，所以f()log2x，则f(x)log2log2x.6下列对应关系是集合P上的函数的是_(填序号)PZ，QN*，对应

12、关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；P1,1，2,2，Q1,4，对应关系f：xyx2，xP，yQ；P三角形，Qx|x0，对应关系f：对集合P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应答案解析由于在中，集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素，并且中的集合P不是数集，从而知只有正确7已知函数f(x)log2，f(a)3，则a_.答案解析由题意可得log23，所以23，解得a.8已知f(x)则f(log27)_.答案解析f(log27)f(log272)f(log2).9已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc (a

13、0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，解得f(x)x2x.10某人开汽车沿一条直线以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象解x图象如右图所示B组专项能力提升(时间：15分钟)11已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C3，1 D3答案B解析当0x4时，f(x)8,1；当ax0时，f(x)()a，1)，所以，1)8,1，81，即3a0.12已知f(x)x2，则f(3)_.答案11解析f(x)x2(x)22，f(x)x22(x0)，f(3)32211.13已知f(x)2f(x)3x2，则f(x)_.答案3x解析由f(x)2f(x)3x2，可得f(x)2f(x)3x2，2得，3f(x)3x22(3x2)9x2，f(x)3x.14设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是_答案(3，1)(3，)解析f(1)3，f(x)3，当x0时，x24x60时，x63，解得x(3，)，故不等式的解集为(3，1)(3，)15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距