广东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理（通用）

1、广东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题：(每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的)1. 若,则( )A. 1B. 1C. iD. i2. 如图所示,向量A,B,C在一条直线上,且，则( )A. B. C. D. 3. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地.”请问此人第天走的路程为( )A. 里 B. 里 C. 里 D. 里4. 某几何体的三视图

2、如右图所示,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 5. 已知命题,使得,命题对若为真命题,则的取值范围是( )A. B. C. D. 6. 已知直线 平行,则实数的值为( )A. B. C. 或D. 7. 已知数列的前项和为,且对于任意,满足,则( )A. B. C. D. 8. 已知函数,为的导函数,则函数的部分图象大致为( )A. B.C. D. 9. 如图,正四棱锥的侧面为正三角形,为中点,则异面直线和所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 10. 函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数是偶函数,且存在,使得不等式成立,则的最小值是( )A. B. C. D. 1

3、1. 已知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为,第二行为,第三行为第四行为如图所示,在宝塔形数表中位于第行,第列的数记为,比如若,则( )A. B. C. D. 12. 已知菱形的边长为,，沿对角线将菱形折起,使得二面角的余弦值为,则该四面体外接球的体积为( )A. B. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，共20分）13. 设变量满足约束条件：,则的最大值是 14. 函数最小正周期是,则函数的单调递增区间是 15. 已知函数 , 由 是奇函数, 可得函数的图象关于点对称, 类比这一结论得函数的图象关于点_对称16. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 三、解答题

4、：（本大题共7题，22、23题选其中一道作答，共70分）17. (12分）在中,角的对边分别为.()求角的大小；()若,求的取值范围18. (12分）已知为等差数列, 前项和为,是首项为的等比数列且公比大于,()求和的通项公式；()求数列的前项和19. (12分）如图, 在四棱锥中, 平面平面, ， ，, 是的中点(1)证明：； (2)设,点在线段上且异面直线与所成角的余弦值为,求二面角的余弦值20. (12分）已知椭圆的离心率为, 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为()求椭圆的方程；()如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为, 当动点在定直线上运动时, 直线、分别交椭圆于、两点, 求四

5、边形面积的最大值21. (12分）已知函数(1) 当时,求函数在处的切线方程；(2) 令, 求函数的极值；(3) 若, 正实数满足, 证明：(22题、23题选择一道作答)22、(10分）在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数)(1)若,求与的交点坐标；(2)若上的点到距离的最大值为,求23、 (10分）已知函数(1)解不等式(2)设函数最小值为,若实数、满足, 求最小值汕头市金山中学2020级高三上学期期末理科数学参考答案1-12 CDDDA AAAAB DB13. 8 14. k6,k+3,kZ 15. (72,6) 16. 17. 解：(I)由acbc=sin

6、BsinA+sinC,利用正弦定理可得：acbc=ba+c,化为：b2+c2a2=bc由余弦定理可得：cosA=b2+c2a22bc=12,A(0,)A=3()在ABC中有正弦定理得asin3=bsinB=csinC,又a=2,所以b=433sinB,c=433sinC=433sin(23B),故b+c=433sinB+433sin(23B)=433(32sinB+32cosB)=4sin(B+6),因为0B23,故6B+656,所以120,解得q=2,所以bn=2n由b3=a42a1,可得3da1=8,由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n2

7、所以an的通项公式为an=3n2,bn的通项公式为bn=2n；()设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n2,有Tn=42+1022+1623+(6n2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n8)2n+(6n2)2n+1,上述两式相减,得Tn=42+622+623+62n(6n2)2n+1=12(12n)124(6n2)2n+1=(3n4)2n+216,得Tn=(3n4)2n+2+16所以数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n+2+1619. 证明：(1), BAAD,平面ABCD平面PAD,交线为AD,BA平面PAD,BAPD,在PAD中,APsinADP=ADsinAP

8、D,sinAPD=1,APPD,BAAP=A,PD平面PAB,PB平面PAB,PDPB解：(2)如图,以P为坐标原点,过点P垂直于平面PAD的射线为z轴,射线PD为x轴,射线PA为y轴,建立空间直角坐标系,AD=2,AB=BC+AP=1,PD=3,P(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,1),C(32,12,1),E(32,0,0),设PM=PC,则PM=(32,12,1),M(32,12,),BM=(32,121,1),又CE=(0,12,1),点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为105,|cos|=|56|25223+2=105,整理,得9236+20=0,解得=2

9、3或=103(舍),M(33,13,23),设平面MAB的法向量m=(x,y,z),则mBM=33x23y13z=0nBA=z=0,取x=2,得m=(2,3,0),由(1)知PD平面PAB,平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0),cos=|mn|m|n|=277二面角MABP的余弦值为27720. 解：()根据题意,椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,则有a=2c,以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为43,则有2ab=43,又a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,故椭圆C的方程为x24+y23=1；()由对称性,可令点M(4,t),其中t0将直线AM的方

10、程y=t6(x+2)代入椭圆方程x24+y23=1,得(27+t2)x2+4t2x+4t2108=0,由xAxP=4t210827+t2,xA=2得xP=2t25427+t2,则yP=18t27+t2再将直线BM的方程y=t2(x2)代入椭圆方程x24+y23=1得(3+t2)x24t2x+4t212=0,由xBxQ=4t2123+t2,xB=2得xQ=2t263+t2,则yQ=6t3+t2故四边形APBQ的面积为S=12|AB|yPyQ|=2|yPyQ|=2(18t27+t2+6t3+t2)=48t(9+t2)(27+t2)(3+t2)=48t(9+t2)(9+t2)2+12t2=489+t

11、2t+12t9+t2由于=9+t2t6,且+12在6,+)上单调递增,故+128,从而,有S=48+126当且仅当=6,即t=3,也就是点M的坐标为(4,3)时,四边形APBQ的面积取最大值621. 解：(1)当a=0时,f(x)=lnx+x,则f(1)=1,所以切点为(1,1),又f(x)=1x+1,则切线斜率k=f(1)=2,故切线方程为：y1=2(x1),即2xy1=0；(2)g(x)=f(x)(ax1)=lnx12ax2+(1a)x+1,所以g(x)=1xax+(1a)=ax2+(1a)x+1x,当a0时,因为x0,所以g(x)0所以g(x)在(0,+)上是递增函数,无极值；当a0时,

12、g(x)=a(x1a)(x+1)x,令g(x)=0,得x=1a或1,由于x0,所以x=1a所以当x(0,1a)时,g(x)0；当x(1a,+)时,g(x)0时,函数g(x)的递增区间是(0,1a),递减区间是(1a,+),x=1a时,g(x)有极大值g(1a)=12alna,综上,当a0时,函数g(x)无极值；当a0时,函数g(x)有极大值12alna,无极小值；(3)由x10,x20,即x1+x20,所以x1+x22+x1+x2=x1x2lnx1x2,令,且令t=x1x2,则t=tlnt由x10,x20得,(t)=t1t,t0,可知,(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递

13、增所以(t)(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)1,解得x1+x2512或x1+x2512,又因为x10,x20,因此x1+x2512成立22. 解：(1)曲线C的参数方程为x=3cosy=sin(为参数),化为标准方程是：x29+y2=1；a=1时,直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y3=0；联立方程x29+y2=1x+4y3=0,解得x=3y=0或x=2125y=2425,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(2125,2425).(2)l的参数方程x=a+4ty=1t(t为参数)化为一般方程是：x+4ya4=0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cos,sin),0,2),所以点P到直线l的距离d为：d=|3cos+4sina4|17=|5sin(+)a4|17,满足tan=34,且的d的最大值为17当a40时,即a4时,|5sin(+)a4|5a4|=|5+a+4|=17解得a=8和26,a=8符合题意当a40时,即a4时|5sin(+)a4|5a4|=|5a4|=17,解得a=16和18,a=16符合题意23. 解：(1)当x0时,则f(x)=3x+24,解得：23x2时,则f(x)=3x24,此时无解,综上,不等式的解集是x|23x2；