河南省洛阳市2020届高三数学第三次统一考试试题 文（含解析）（通用）

1、洛阳市2020学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（ ）A. 2B. -2C. D. 【答案】A【解析】解：因为，所以，故选A2.设全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义进行求解即可【详解】，则或，则，故选：【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进

2、行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A. 100，10B. 100，20C. 200，10D. 200，20【答案】D【解析】分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【详解】由题得样本容量为，抽取的高中生人数为人，则近视人数为人，故选：【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键4.中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,-2=-4,a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,e=.5.执行如图所示的框图，若输入的是4，则

3、输出的值是（ ）A. 6B. 24C. 30D. 120【答案】B【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可详解】若，是，是，是，否，故选：【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键6.，为平面向量，已知，则，夹角的余弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：=(4,3)，2+=(3,18)，=(-5,12)，即,夹角的余弦值等于，故选C考点：本题考查了向量及数量积的坐标运算点评：熟练掌握数量积的定义及坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题7.下列命题错误的是（ ）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. 若：，.则：，.C. 若复

4、合命题：“”为假命题，则，均为假命题D. “”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A, 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”是真命题，故选项A是正确的；对于选项B, 若：，.则：，.是真命题，故选项B是正确的；对于选项C, 若复合命题：“”为假命题，则，至少有一个为假命题，所以该选项是错误的，故选项C是错误的；对于选项D,因为，所以或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项D是正确的.故选：C【点睛】本题主要考查逆否命题和特称命题的否定，考查复合命题的真假和充分不必要条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.设实数，满足

5、，则目标函数（ ）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最小值-1，最大值3D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】先作出不等式的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式的可行域如图所示，由题的y=-x+z,直线的纵截距为z,当直线y=-x+z经过点A时，直线的纵截距z最小，联立得A(2,0),所以z最小=2+0=2，由于纵截距没有最大值，所以z没有最大值.故选：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.

6、【答案】B【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，由此计算体积即可【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：【点睛】本题考查了几何体的三视图,关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积10.已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，则（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】C【解析】【分析】先通过分析求出函数f(x)的周期，再利用函数的周期求值得解.【详解】因为函数是偶函数，所以所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称，所以所以，所以，所以函数的周期为8，所以.故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、

7、对称性和周期性应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知抛物线：，过焦点且斜率为2的直线交抛物线于、两点，则（ ）A. 5B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】设,联立直线和抛物线的方程得，再求的值.详解】设,由题得直线AB的方程为联立方程得，所以所以.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.锐角中，角，的对边分别为，且满足，函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA=

8、sin(B-A)，根据三角形为锐角三角形，求得，以及，的范围，再求出f(B)的表达式，利用三角函数的图像和性质求解【详解】，三角形为锐角三角形，=，所以,因为,所以.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定正弦定理理解三角形和三角函数的图像和性质，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.圆与直线相交于，两点，则弦_【答案】【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再解直角三角形求解.【详解】由题得圆心到直线的距离为，所以|AB|=.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长

9、公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.若是函数的极值点，则函数在点处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】根据是函数的极值点得k=e,再利用导数的几何意义求切线方程.【详解】由题得.所以.所以切点为（1，-e）,所以切线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义和极值的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在底面是边长为的正方形的四棱锥中，顶点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则_【答案】【解析】【分析】设，为，的中点，先求出四棱锥内切球的半径，再求出外接球的半径

10、，即得解.【详解】如图，为，的中点，由题意，为正四棱锥，底边长为2，即为与所成角，可得斜高为2，为正三角形，正四棱锥的内切球半径即为的内切圆半径，所以可得，设为外接球球心，在中，解得，故答案为：.【点睛】本题主要考查多面体与球的内切和外接问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.有下列四个命题：其中真命题的序号是_.等差数列的前项和为，若，则；函数的最小值4；函数在点处的切线方程是；函数的唯一零点在区间上.【答案】【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解.【详解】设,故该命题正确；设，所以函数g(t)在上单调递减，所以函数的最小值为g(1)=5,所以该命题是假命题.切线方

11、程为y-0=x-1,所以该命题是真命题；，所以函数在（1,2）上单调递增， ，所以函数的唯一零点在区间上.故该命题是真命题.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查利用导数研究函数的最值和零点，考查导数几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列是等差数列，数列的前项和满足且，.（1）求数列和的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用项和公式求数列的通项公式，再求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求的前项和.【详解】（1）由，当

12、时，当时，即，是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为，又因为数列是等差数列，且，所以，可得数列的通项公式为.（2）-得，整理得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求等比数列的通项，考查错位相减法求数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，、分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明，再证明平面；（2）取的中点，证明平面，再利用求四棱锥的体积.【详解】证明：（1）取的中点，连接，

13、因为且，又因为，分别为，的中点，且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取的中点，在中，即.平面平面，平面平面，又平面，平面.，即四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查空间几何元素的平行关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解张窝 水平和分析推理能力.19.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2）.已知图（1）中身高在的男生人数有16人.（1）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的列联

14、表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？总计男生身高女生身高总计（3）在上述100名学生中，从身高在之间的男生和身高在之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.参考公式：参考数据：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）40,60；（2）列联表见解析，有的把握认为身高与性别有关；（3）.【解析】【分析】（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2

15、人中恰好有一名女生的概率.【详解】（1）直方图中，因为身高在的男生的频率为0.4，设男生数为，则，得.由男生的人数为40，得女生的人数为.（2）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：总计男生身高301040女生身高65460总计3664100，所以能有的把握认为身高与性别有关；（3）在之间的男生有12人，在之间的女生人数有6人.按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人.设男生为，女生为，.从6人任选2名有：，共15种可能，2人中恰好有一名女生：，共8种可能，故所求概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意

16、在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆分别交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意列出关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，求出,再换元利用基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）由题意知，.联立解得：，.椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，联立：消去得，设点，即，.到的距离，所以.令，.当且仅当，即时，的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考

17、查直线和椭圆的位置关系和最值的求解，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上

18、单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，成立.当时，.当时，即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知极点与坐标原点重合，极轴与轴非负半轴重合，是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的平面直角坐标方程；（2）已知曲线向上平移1个单位后得到曲线，设曲线与直线：（为参数）相交于，两点，求值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】(1) 设，求出点的极坐标为.把点代入曲线即得曲线的极坐标方程，再化成直角坐标方程即可.(2)求出的参数方程，再利用直线参数方程t的几何意义求解.【详解】（1）设，点的极坐标为.把点代入曲线，得，即曲线的极坐标方程为：.，曲线的平面直角坐标系下的方程为.（2）曲线向上平移1个单位后曲线的方程为.的参数方程化为：.两方程联