高中数学笔记-2-函数（通用）

1、高中数学总结 -函数1函数的概念：注意：函数图像与x轴上的垂线至多一个公共点,但与y轴上的垂线的分共点可能没有,也可任意个;函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像2,常见函数图像：y=f（x）=x+4x；。y=ax+bcx+d （a，c0）；x+y=2；x+1+y-1=2 指数函数与对数函数的图象与性质注意: 指数函数与对数函数, 当a1时,都是其定义域上的单调增函数, 当0a0,且, 若f(x)的值域为R,则a0, 且.幂函数: 注意：幂指数大于0时,幂函数在(0,+)上单调递增;幂指数小于0时,幂函数在(0,+)上单调递减,所有幂函数的图象都过点(1,1).3图

2、形变换：高中阶段主要学习了种函数：常数函数，n次函数，幂函数（xa ），指数函数，对数函数，三角函数，分段函数（如含绝对值的函数）加减变换：遵循“左加右减，上加下减”的原则（其中上加下减是在X一方变换的，如果也针对y则为“下加上减”即y=f（x）按向量（a，b）平移为y-b=f（x-a）。）伸缩变换：y=f(x)y=f（ax）即沿x轴方向向y轴变为原来的1a。绝对值的变换：y=f（x），y=f（x），y=f（x），y=f（x）的相互转换。4，函数的常见性质若函数y=f（x）满足f(a+bx)=f(c-bx),，则f（mx）的图像关于x=a+bx+c-bx2m =a+c2m 对称对一函数y=f（

3、x），有y=f（a+bx）与y=f（c-bx）的图像关于a+bx=c-bx，即x=c-a2b，对称若y=f（x+a）的图像关于y轴对称，则有f（x+a）=f（-x+a），及f（x）关于x=a对称函数f（x）=ax+bcx+d （a，c0）值域为xxac ，图像关于点（-dc，ac）中心对称。（其实该函数是由反比例函数经过平移或伸缩变换而得，而反比例函数就刚好关于原点中心对称。）若f（x）=ax+bcx+d （a，c0）则f-1（x）=dx-b-cx+a ，（a，d对调）周期函数不一定有最小正周期。如狄利克雷函数D(X)=fx=1, &x为有理数0, &x为无理数 这是一个周期函数，任何正有理数

4、都是它的周期，但是它不存在最小正周期。原函数与反函数的奇偶性和单调性相同，原函数与导函数的奇偶性相反。设a为非0常数，若f（x）在定义域内恒有下列条件之一 ：I，f（x+a）=-f(x)，II，f（x+a）f(x)=1,III，f（x+a）= f（x）+1f（x）-1 IV，f（x+a）=f（xa）。则f（x）为周期函数，2a为其周期。若f（x）同时关于x=a和x=b对称，则2b-2a为一周期 若f（x）关于x=a对称，且关于点（b，0）对称（a与b不相等）则4b-4a为其一周期 若f（x）同时关于点（a，0）和点（b，0）对称，则2b-2a为其一周期。5函数与不等式的求解（详见函数与不等式，

5、导数章节）6抽象函数问题抽象函数性质特殊函数模型f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）f（x）=kxf（x1+x2）=f（x1）.f（x2）或f（x1-x2）=f（x1）f（x2）f（x）=axf（x1x2）=f（x1）+f（x2）或f（x1x2）=f（x1）-f（x2）f（x）=logaxf（x1）+f（x2）=2f（x1+x2）2 f（x1-x2）2f（x）=cosx易错点；1， 忽略了函数的定义域，造成范围求解是出错。2， 告知截距相等时，要考虑y=kx的情况，此时截距均为03， 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，记得标注该函数的定义域了。例1、在同一坐标系中，函数与（0且1）的

6、图象可能是 （A） （B） （C） （D）例2、设，则的面积是 （ ） A. 1 B. C. 4 D. 4例3、若定义在区间上的函数对上的任意个值，总满足，则称为上的凸函数.已知函数在区间上是“凸函数”，则在中，的最大值是_.答案;1，C. 2,B 3, 。例4已知，求的最大值与最小值。， ， 。例5，设方程 的两个根为，则 （ ）A B C D 由两图象交点的意义，交点的横坐标分别为 不妨设 ，利用方程根适合方程，注意绝对值的意义化为 如何确定范围？目标函数变形， ，选D.例6， 对于三次函数。定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若

7、定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。己知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）【标准答案】（1）依题意，得： ， 。2分 由 ，即。，又 ， 的“拐点”坐标是。4分 （2）由(1)知“拐点”坐标是。 而= =，由定义(2)知：关于点对称。8分一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。10分（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）都可以给分（3）或写出一个具体的函数,如或。12分说明：本题在函