椭圆中的常见最值问题

1、椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为，则取得的最大值时，P点的坐标是 。P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程（）p为椭圆上一点，是椭圆的二焦点，求的取值范围。分析：，当时，=，当时，即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。例3、已知，、是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值是 ，此时P点坐标为 。的最小值是 ，此时P点坐

2、标为 。3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。例4、已知，是椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最小值是 ，此时P点坐标为 。的最大值是 ，此时P点坐标为 。分析：，当P是的延长线与椭圆的交点时取等号。，当P是的反向延长线与椭圆的交点时取等号。4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。例5、已知定点，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，求的最小值，并求此时M

3、点的坐标。例6、已知点椭圆及点，为椭圆上一个动点，则的最小值是 。5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。例7、过椭圆（）的中心的直线交椭圆于两点，右焦点，则的最大面积是 。例8、已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求面积的最大值。6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。例9、P为椭圆（）一点，左、右焦点为，则的最大面积是 。7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。例10、已知A是椭圆的长轴一个端点，PQ是过原

4、点的一条弦，求面积的最大值。8、椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式及椭圆方程联立化为求函数最值问题。例11、设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，M是OF的中点，P为椭圆上任意一点，求的最大值和最小值。例12、椭圆中心在原点，长轴在轴上，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求椭圆方程。9、椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点。为的增函数，为的减函数，时，分别取得最大值和最小值。例13、椭圆上的点到右焦点的最大值 ，最小值 。10、椭圆上的点到定直线的距离最近及最远点分别是与定直线平行的椭圆的两条切线的切点。例14、已知椭圆，在椭圆上求一点P，是

5、P到直线的距离最小，并求最小值。11、椭圆上的点到与它的两个焦点连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。范围大于等于，小于它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。分析：等号成立的条件：，即P点为短轴的端点。例15、已知椭圆C：，两个焦点为，如果C上有一点Q，使，求椭圆的离心率的取值范围。例16、如图所示，从椭圆上一点M向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴的端点A短轴的端点B的连线AB平行于OM。（1）求椭圆的离心率（2）设Q为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，求的范围。（3）当时，延长与椭圆交于另一点，若的面积为，求此椭圆方程。12、椭圆上的点与它长轴的两个端点的连线的最

6、大夹角是它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。范围为大于，小于它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。例17、已知椭圆C：，长轴的两个端点为A、B，如果C上有一点Q，使，求椭圆的离心率的取值范围。13、点P在椭圆上，（为常数）的最大值或最小值分别是直线与椭圆相切时的值。例18、已知点在上的点，则的取值范围是 。14、点P在椭圆上，（为常数）的最大值或最小值分别是直线与椭圆相切时的斜率。例19、点在椭圆上，则的最大值 ，最小值 。例20、点在椭圆上，则的最大值 ，最小值 。15、的最大值或最小值是直线与椭圆相切时切线的斜率。例21、求的最大值、最小值16、椭圆的平行弦、过定点弦等弦

7、长最值问题及有关弦长的最值问题：例22、求直线被椭圆所截得弦长的最大值。例23、四点均在椭圆上，椭圆方程为：，为椭圆在轴正半轴的焦点，已知共线，共线，且，求四边形面积的最小值。17、利用方程元的范围求有关最值问题：例24、已知椭圆方程为，求过点P（0，2）的直线交椭圆于不同两点A、B，求的取值范围。18、其它有关最值例24、为椭圆：上一动点，若为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，当四边形面积最大时，求点的坐标。例25、已知椭圆和直线，在上取一点，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，当在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。例26、设椭圆的两个顶点为，右焦点为，且到直线的距离等于它到原点的距离，求离心率的取值范围。例27、已知椭圆C：，为其左右焦点，P为椭圆C上一点，轴，且的正切值为（1）求椭圆C的离心率。（2）过焦点的直线与椭圆C交于点，若