立体几何作辅助线的一般思路和常用方法

1、立体几何作辅助线的一般思路和常用方法,做立体几何题，性质定理是打开解题思路的关键，也是引入辅助线的基础，它可告诉我们应该如何作辅助线，其中最常用的是线面平行和面面垂直性质定理。 1、若题中给出直线a面这一条件，做题时首先考虑的是：要运用线面平行的性质定理，对照该定理中的条件就会想到应过a作一平面和相交于b，则得ab，然后再根据其它条件完成证明。,例1巳知直线a面。且a面，求证(86年广东高考题) 分析:要证两面垂直,根据判定定 理,须在一面内作一条直线和另一 面垂直,因a面,考虑将直线a 移到即可,看已知条件a面, 应该想到用线面平行的性质定 理,这时对照定理应过直线a作一平面和面交于直线b,

2、可得出a/b,完成证明. 练习： 已知直线a面，a面且b，求证：ab(93年3+2高考题),a,b,2、若题中给出条件，作题时，先想到的是面面垂直的性质定理，要运用该定理就必须在其中一面内作两面交线的垂线a，则得出a垂直于另一平面。 例2已知平面，且a.求证：a(93年3+2高考题)分析：要证a，须证直线a垂直内的两条相交直线，所以考虑在内作两条相交直线，由条件，应想到用两面垂直的性质定理，在内 先取点O，在面内分别做OA 、OB 交线b、c，可得出OA、OB, 易知aOA、aOB，从而有a。,a,c,b,A,B,O,例3 已知直线a，面且a不包含于,求证：a (92年三南考题) 分析：要证a

3、 ，须在内作 一直线与a平行，因已知中有 面，这时该想到两面 垂直的性质定理， 在内作两 面交线的垂线b，则有b , 又a，再根据线面垂直的性质定理得a/b，然后完成证明。,a,b,2.用两面垂直的性质定理作一面的垂线:在证题或解题中为找一线在一面内的射影(或找线面角.点到面的距离.用三垂线逆定理作平面角)都需过一点作一面的垂线,为定垂足的位置.需先找两面垂直(即先过这点找一面与该面垂直)然后用两面垂直的性质定理将垂足作在两面的交线上. 例4已知A1B1C1一ABC是正三棱柱.D是AC中点.(1)证明AB1面DBC1.(2)假设AB BC1,求以BC1为棱.DBC1与CBC1为面的二面角的大小

4、.(94年3+2考题),分析：1、要证AB1/面BDC1,须在面BDC1内作一直线平行于AB1，从结论出发，先承认线面平行，根据性质定理只须过AB1作一平面，这面就是面AB1C，此面与面BDC1交于OD，可知有AB1/OD，但证明时，应先连B1C，然后取B1C中点O,即可 2、作平面角时，抓住棱是BC1， 由1知ODBC1，用三垂线逆定 理作平面角时，关键是作面的垂 线，应想到得先过D找两面垂直， 想到后就很容易从已知中知 底面与侧面垂直，然后用两面垂 直的性质定理， 在底面ABC内作DG交线BC于G, 则DG面BCC1,连结OG可知OGBC1 ,从而作出了平面角。,B1,B,A,C,A1,C

5、1,D,O,G,例5园柱的轴截面ABCD是正方形，点B在底面园周上，AFDE，F是垂足 I 求证：AFDB 2 若园柱与三棱锥DABE的体积比等于3，求直线DE与平面ABCD所成的角。 (文：若ABa，VDABE3，求点B到面ABCD的距离。 95年考题) 练习：长方形纸片ABCD中ABa，ADb，将纸片沿过A直线AAl折成直二面角，问怎样折法才能使BD最小。,A,B,E,D,C,F,分析：1、证明两线垂直的基本思路主要有两条，一是先证一线垂直于另一线所在的平面，然后得线线垂直；二是用三垂线定理。此题可考虑证AF垂直BD所在平面，因易证BE面DAE,所以AF BE又AF DE ，AF面BDE,故有AF BD 2、要求线面角，得先找DE在面ABCD内的射影，考虑过E作面ABCD