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文档简介

1、A,1,电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量,1，电磁场中带电粒子的运动方程 2，拉格朗日形式 3，哈密顿形式 4，非相对论情形,A,2,1，电磁场中带电粒子的运动方程,在相对论力学中，力学基本方程可写为协变式： 其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维矢量。在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上的四维力 矢量 所以，在相对论协变的力学方程包括： 上式可改写为：,A,3,在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为：,所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。,综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为：,A,4,2，拉格朗日形式,在理论力学中，拉格朗日的基本形式 为： 其中 为广义动量， 为广

2、义速度，Qa为广义力。,对保守力系来讲：,A,5,因为势能V中一般并不包含广义速度 ，所以令L=T-V来代表体系的动能与 势能之差。,所以得到保守力系下的拉格朗日方程为：,在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保守力系下的拉格 朗日方程。,电磁场中的带电粒子的运动方程为：,（1）,其中粒子的机械动量p是：,（2）,现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程（2）化为拉格朗日形式。,A,6,（3）,（4）,把（3）和（4）代入（1）式中，得,（5）,由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量,因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：,（6）,A,7,所以（5）可写为：

3、,（7）,动量p和矢势A可以写为,所以拉格朗日量L为：,（8）,则运动方程（7）可以写为拉格朗日形式：,（9）,A,8,对L的几点说明：,把（8）式乘以 自由粒子的状态由速度确定，所以只能由协变量四维速度 决定。 当粒子在电磁场中运动时，除了 之外，还依赖于四维势 ，则它们可以 构成一个不变量 ，因此，当vc时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗 量L为（8）,得：,上式右边是洛伦兹不变量，因此上式左边也是洛伦兹不变量。,因此 只能是一个洛伦兹不变量，当 时，则自有粒子的拉格朗日 函数为：,A,9,3，哈密顿形式,对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量 定义为,（10）,则系统的哈密顿量为：,（11）,用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式：,（12）,和,（13）,对于电磁场中的带电粒子运动情形，由（8）式，正则动量P是：,即,（14）,A,10,由（11）式，带电粒子的哈密顿量为:,但是H应该用正则动量P而不是用速度v表出。所以哈密顿量表示为：,（15）,（16）,引入四维正则动量：,则哈密顿量H与Pu的第四分量联系：,（17）,（18）,不难验证哈密顿方程（12）和（13）相当于原运动方程（1）,A,11,4，非相对论情形,当vc时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形下相应的量。 拉格朗日量（8）式当vc时变为：,（19）,哈密顿量（16）式变为：,（

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