高考数学二轮复习 专题辅导与训练 3.3 解三角形的综合问题教学课件

1、第三讲 解三角形的综合问题,【主干知识】 1.必记公式 (1)正弦定理,2RsinA,2RsinB,2RsinC,(2)余弦定理,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,（3）面积公式 SABC bcsin A_=_.,2.易错提醒 (1)忽视解的多种情况 如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况. （2）忽略角的范围 应用正、余弦定理求解边、角等量的最值（范围）时，要注意角的范围. （3）忽视解的实际意义 求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合.,【考题回顾】 1.(2014

2、台州模拟）在ABC中，角A，B，C对应的边分别 为a,b,c，若A=120,a=2,b= ,则B=( ) 【解析】选D.由于A=120为钝角，所以只有一解.由正弦定 理得：,2.（2014绍兴模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，向量m=(a,b),n=(cos A,-cos B)，若mn，则ABC的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形,【解析】选D.因为mn， 所以acos A-bcos B=0, 由正弦定理得sin Acos A-sin Bcos B=0, 所以sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=

3、， 所以A=B或A+B= 所以三角形ABC为等腰三角形或直角三角形.,3.（2014杭州模拟）在ABC中，内角A，B，C的对边分别 是a,b,c，若b2-c2= ac,sin A=2 sin C,则B=（ ） A.30 B.60 C.120 D.150 【解析】选A.将sin A=2 sin C,利用正弦定理化简得a= 2 c,代入b2-c2= ac,得b2-c2=6c2，即b2=7c2，整理得b= 所以cos B=,4.（2014湖北高考）在ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a，b，c.已知A= ，a=1，b= ，则B=_. 【解析】依题意，由正弦定理知 由于0B，所以B= 答案：,5.

4、（2014北京高考）在ABC中，a=1，b=2，cos C= ， 则c=_；sin A=_.,【解析】由余弦定理得cos C= 又a=1,b=2,cos C= ,代入得c=2, 而sin C= 由正弦定理得 答案：,6.（2014衢州模拟）在某海滨城市 附近海面有一台风，据监测，当前台 风中心位于城市O（如图）的东偏南 (cos = )方向300 km的海面 P处，并以20 km/h的速度向西偏北 45方向移动，台风侵袭的范围为 圆形区域，当前半径为60 km，并以 10 km/h的速度不断增大，则_小时后，该城市开始受到台风的侵袭，受到台风侵袭的时间有_小时.,【解析】设在时刻t(h)台风中

5、心为Q，此时台风侵袭的圆形区 域半径为10t+60(km)，若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则： OQ10t+60.由条件知：cosOPQ=cos(-45)=cos cos 45 +sin sin 45= 由余弦定理知：OQ2=(20t)2+3002-220t300 =202t2-9 600t+3002,故202t2 -9 600t+3002(10t+60)2,t2-36t+2880,12t24, 所以12小时后该城市开始受到台风的袭击，受到台风侵袭的时间 有12小时. 答案：12 12,热点考向一 正、余弦定理在解三角形及定形中的应用 【考情快报】,【典题1】(1)(2013陕西高考)设AB

6、C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,(2)（2014衢州模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a,b,c，满足b2+c2-a2=bc, 则b+c的取值范 围是_. (3)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c， 且 求角A的大小; 若a= ,cos B= ,求ABC的面积.,【信息联想】(1)看到bcosC+ccosB=asinA,想到_ _. (2)看到b2+c2-a2=bc,想到_. (3)看到ABC的面积,想到_.,用正弦定理,将边角关

7、系转化为三角函数关系,余弦定理,三角形的面积公式,【规范解答】(1)选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A, 所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.,（2）由b2+c2-a2=bc结合余弦定理， 0得B为钝角，故A+C ,0C ,由正弦定理 可知：b+c=2R(sin B+sin C)=sin B+sin C= 答案：,(3)由4sin2 -cos 2A= 得4sin2 -(2cos2A-1)= 即cos A= ,因为0A,所以A=60.,由cos B= ,得s

8、in B= , 由正弦定理 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 所以ABC的面积S=,【互动探究】题(1)中条件变为“(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B)”,则ABC的形状如何? 【解析】方法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B), 得a2sin(A-B)-sin(A+B) =b2-sin(A+B)-sin(A-B), 所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, 即sin2AsinAsinB=sin2BsinAs

9、inB.,因为0A,0B,所以sin2A=sin2B, 所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B= . 所以ABC是等腰三角形或直角三角形. 方法二:同方法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正、余弦定理得 所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0. 所以a=b或c2=a2+b2, 所以ABC是等腰三角形或直角三角形.,【规律方法】 1.解三角形常见类型及解法 在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表:,2.确定三角形的形状主要的途径及方法,【变式训练】1.(2014江西高考)

10、在ABC中，内角A,B,C所对 的边分别是a,b,c，若c2=(a-b)2+6,C= 则ABC的面积为 ( ),【解析】选C.由已知得c2=a2+b2-2ab+6， 而余弦定理中c2=a2+b2-2abcos C， 故-2abcos C=-2ab+6， 即-ab=-2ab+6，得ab=6， 所以ABC的面积为,2.已知ABC的周长为 +1，且sin A+sin B= sin C. (1)求边AB的长. (2)若ABC的面积为 sin C,求角C.,【解析】（1）由题意及正弦定理得： AB+BC+AC= +1,BC+AC= AB， 两式相减得AB=1. (2)由SABC= BCACsin C=

11、sin C， 得BCAC= , 由余弦定理得，cos C=,【加固训练】（2013西城模拟）在ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 （1）求 的值. （2）若cos B= ，b=2,求ABC的面积.,【解析】（1）由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 所以 即sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,即有 sin(A+B)=2sin(B+C),即sin C=2sin A,所以,（2）由（1）知: =2,即c=2a. 又因为b=2,所以由余弦定理得： b2=c2+a2-2accos B, 即

12、22=4a2+a2-2a2a ,解得a=1(负值舍去),所以c=2. 又因为cos B= ，所以sin B= 故ABC的面积为,热点考向二 正、余弦定理的实际应用 【考情快报】,【典题2】(2014浙江高考)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15m,AC=25m,BCM=30,则tan的最大值是 ( ),【信息联想】看到题中所给图象及tan的最大值,想到构造三角形,利用勾股定理求出边长,进而转换为函数

13、问题求解.,【规范解答】选C.由勾股定理可得， BC=20 m，过P作PPBC，交BC于P， 连接AP，如图，则tan = 设BP=x，则CP=20x， 由BCM=30得， PP=CPtan 30= (20x). 在RtABP中，AP=,【规律方法】应用正、余弦定理解决实际问题的步骤及流程 (1)解题步骤 读题.分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等; 图解.根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; 建模.将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; 验证.检验解出的结果是否具有实

14、际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.,(2)思维流程,【变式训练】1.如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进xm到达B处发现生命迹象,然后向右转105,行进10m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135回到出发点,那么x= m.,【解析】由题图可知，ABx，ABC18010575，BCA18013545. 因为BC10，BAC180754560， 答案：,2.（2014烟台模拟）如图，某广场中间有一块扇形状绿地 OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，AOB=60，广场管理部 门欲在绿地上修建观光小路：在 上选一点C，过C修建与OB 平行的小路CD，与OA平行的小路CE，

15、问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由.,【解析】由题意知,四边形ODCE是平行四边形. 因为AOB=60, 所以ODC=120. 连接OC,设OC=r,OD=x,OE=y, 则CE=x,CD=y. 在ODC中,由余弦定理, 得OC2=OD2+DC2 -2ODDCcos120, 即r2=x2+y2+xy.,所以(x+y)2=r2+xyr2+ 解得x+y ,当且仅当x=y= r时取等号, 所以x+y的最大值为 ,此时C为 的中点, 即点C应选在 的中点处，才能使得修建的道路总长最大.,【加固训练】 1.(2014北京模拟)如图, A,C两岛之间有一片暗礁, 一艘小船于

16、某日上午8时 从A岛出发,以10海里/小时的速度,沿北偏东75方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度,沿北偏东15方向直线航行,下午4时到达C岛. (1)求A,C两岛之间的直线距离. (2)求BAC的正弦值.,【解析】(1)在ABC中,由已知,AB=105=50(海里), BC=103=30(海里), ABC=180-75+15=120. 据余弦定理,得AC2=502+302-25030cos120=4900, 所以AC=70(海里). 故A,C两岛之间的直线距离是70海里.,2.(2013江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至 C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另

17、一种是先从A沿索 道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙 从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车 匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量, cosA= ,cosC= .,(1)求索道AB的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?,【解析】（1）在ABC中，因为cos A= ,cos C= , 所以sin A= ,sin C= . 从而sin

18、 B=sin-(A+C) =sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C =1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.,(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行 走了(100+50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37t2-70t+50), 因0t ,即0t8, 故当t= (min)时，甲、乙两游客距离最短.,(3)由正弦定理 乙从B出发时，甲已走了50(2+8+1)=550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得

19、-3 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步 行的速度应控制在 （单位：m/min)范围内.,热点考向三 正、余弦定理与三角函数、 平面向量的交汇问题 【考情快报】,高频考向 多维探究,命题角度一 与三角函数的综合 【典题3】（2014温州模拟）设R,f(x)=cos x(sin x -cos x)+cos2( -x)满足f(- )=f(0). (1)求函数f(x)的对称轴和单调递减区间. (2)设ABC三内角A，B，C所对边分别为a,b,c且 求f(x)在(0,A上的值域.,【现场答案】,【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处，分析原因并给出正确答案. 提示：以上解析中在（1

20、）处的两个结果中均忽视了kZ的条 件；在（2）处由x(0, )求f(x)范围时对2x- 的范围认定不准确导致f(x)的范围求错.,【规范解答】（1）f(x)=sin xcos x-cos2x+sin2x= sin 2x-cos 2x,因为f(- )=f(0),所以=2 , 所以f(x)=2sin(2x- )，对称轴为：x= (kZ), 所以f(x)=2sin(2x- )的单调递减区间为,(2)因为 由正弦定理得 可变形为：sin(A+B)=-2cos Asin C, 所以cos A=- ,又0A,所以A= ,所以x(0, ， 2x- (- , ,所以所求值域为-1,2.,命题角度二 与平面向量

21、的综合 【典题4】（1）（2014成都模拟）ABC的三内角A，B，C 所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(sin B,a+c),q=(sin C- sin A,b-a).若R，使p=q，则角C的大小为（ ） (2)（2014宜春模拟）已知在ABC中，角A，B，C的对边 长分别为a,b,c，已知向量m=(sin A+sin C,sin B-sin A), n=(sin A-sin C,sin B),且mn. 求角C的大小; 若a2=b2+ c2，试求sin(A-B)的值.,【信息联想】(1)看到p=q,想到_ _,进而想到_. (2)看到mn,想到_,进而想到_.,pq,即(b-a)sinB

22、-(a+c),(sinC-sinA)=0,正、余弦定理,mn=0,正、余弦定理,【规范解答】(1)选C.因为R,使p=q,所以pq, 所以有(b-a)sinB-(a+c)(sinC-sinA)=0, 由正弦定理得:b2-ab-c2+a2=0, cosC= .又C(0,),所以C= .,(2)由题意得:mn=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0, 即sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,由正弦定理得c2=a2+b2-ab, 再由余弦定理得cosC= , 因为0c，解得a=3,c=2. （2）由a=3,b=3,c=2得cos C=,2.（2014绍兴模拟

23、）已知向量m=(2sin x,1),n=( cos x, 2cos2x)，函数f(x)=mn-t. (1)若方程f(x)=0在x0, 上有解，求t的取值范围. (2)在ABC中，a,b,c分别是A，B，C所对的边，当(1)中的 t取最大值且f(A)=-1,b+c=2时，求a的最小值.,【解析】(1)f(x)=2sin(2x+ )+1-t, f(x)=0，即2sin(2x+ )+1=t, 当x0, 时，2x+ sin(2x+ )- ,1 2sin(2x+ )+10,3,所以0t3. (2)由（1）知t=3,所以f(x)=2sin(2x+ )-2, f(A)=-1A= , a2=b2+c2-2bc

24、cos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=4-3bc 4- =4-3=1a1amin=1.,【加固训练】(2014郑州模拟）已知向量m=(sin x,-1)， 向量n=( cos x,- )，函数f(x)=(m+n)m. (1)求f(x)的最小正周期T. (2)已知a,b,c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角， a=2 ,c=4,且f(A)恰是f(x)在0, 上的最大值，求A和b.,【解析】(1)f(x)=(m+n)m=sin2x+1+ sin xcos x+ (2)由(1)知：f(x)=sin(2x- )+2,x0, 时，- 2x - ,所以当2x- = 时,f(x)取得最

25、大值3，此时x= 所以由f(A)=3得A= 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A， 所以12=b2+16-24b ,所以b=2.,建模思想 解决与三角形相关的实际问题 【思想诠释】 解决与三角形相关的实际问题中应用建模思想的常见类型 1.与测量有关的山高、堤坝、土地面积:求解时,运用所学的解三角形知识,构建可解的三角形模型,利用正、余弦定理求解.,2.与航海有关的运行问题:求解时作出符合题意的示意图,构建可解三角形模型,利用正、余弦定理求解. 3.图形设计问题:求解时,根据设计要求,构建可解三角形模型,利用正、余弦定理及解三角形的其他知识求解. 4.与三角形有关的最优化问题:求解时选择适当的量为变量,先构建可解三角形模型,利用解