2019年江苏常州中考数学试题(解析版)

1、来源2019 年常州中考数学 适用范围：3九年级 2019 年江苏省常州市中考数学试题 时间：120分钟满分：120分 题型：1-选择题一、选择题一、选择题（本大题共 8 小题，每小题2 分，共16 分在每小题所给的四个选项中，只有一 项是正确的） 题目1（2019 年常州）3 的相反数是（） A 11 BC3D3 33 答案C 解析本题考查了相反数的定义，和为0 的两个数互为相反数，由于330，从而3 的相反数是 3，因此 本题选 C 分值2 章节：1-1-2-3相反数 考点:相反数的定义 类别:常考题 难度：1-最简单 题目2（2019 年常州）若代数式 Ax1Bx3Cx1Dx3 答案D

2、解析本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x30 得 x3，因此本题选 D 分值2 章节:1-15-1分式 考点:分式的意义 x1 有意义，则实数 x 的取值范围是（） x3 类别:常考题 难度：1-最简单 题目3（2019 年常州）下图是某几何体的三视图，该几何体是（） A3 圆柱B正方体C圆锥D球 第 3 题图 答案A 解析本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是 柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A 分值2 章节：1-29-2三视图 考点：几何体的三视图 类别:常考题 难度：1-最简单

3、题目4（2019 年常州）如图，在线段PA、PB、PC、PD 中，长度最小的是（） 1 1 / 1717 A线段 PAB线段 PBC线段 PCD线段 PD P A 答案B 解析本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA、PB、PC、PD 中，长 度最小的是 PB，因此本题选 B 分值2 章节:1-5-1-2垂线 考点:垂线的性质 考点:点到直线的距离 BC 第 4 题图 D 类别:常考题 难度:1-最简单 题目5（2019 年常州）若ABCABC，相似比为 12，则ABC 与ABC的周长的比为（） A21B12C41D14 答案B 解析本题考查了相似三角形的性质，

4、根据相似三角形的周长比等于相似比，知 ABC 与ABC的周长的比 为 12，因此本题选 B 分值2 章节:1-27-1-2相似三角形的性质 考点:相似三角形的性质 类别:常考题 难度:2-简单 题目6（2019 年常州）下列各数中与2 3的积是有理数的是（ ） A2 3 B2C 3 D2 3 答案D 解析本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2 3)(23)1，因此本题选 D 分值2 章节:1-16-2二次根式的乘除 考点:分母有理化 考点:二次根式的乘法法则 类别:常考题 难度:3-中等难度 题目7（2019 年常州）判断命题“如果n1，那么 n210”是假命题，只需举出一个反例反

5、例中的n 可以 为（） A2B 11 C0D 22 答案A 解析本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成 立的例子即可为反例，本题中由“21，而(2)2131”，从而反例中的 n 可以为2，因此本题选 A 2 2 / 1717 分值2 章节:1-5-4 命题、定理、证明 考点:推理与证明 考点:反证法 类别:常考题 难度:3-中等难度 题目8（2019 年常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5 微米的颗粒）的关注日益密切 某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m3）随着时间 t（h）的变化如图所示，设y2表示 0

6、到 t 时 PM2.5 的值的极 差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则y2与 t 的函数关系大致是（） A 2 B 3 C2D 5 y1 140 85 42 0 1020 24t 第 8 题图 y2 98 98 y2 98 y2y2 98 024 t 024 t 024 t 0 24 t ABCD 答案B 解析本题考查了极差的意义及函数图像的应用， 将一天 24 小时分成三段： 0t10、10t20、20t24， 在 0t10，y2随 t 的增大而增大；在 10t20，y2随 t 的增大而不变（恒为854243），在 20t24， y2随 t 的增大而增大，因此本题

7、选B 分值2 章节:1-19-1-2 函数的图象 考点:函数的图象 考点:极差 考点:分段函数的应用 考点:代数选择压轴 类别:思想方法类别:高度原创类别:发现探究类别:常考题类别:易错题类别:新定义 难度:5-高难度 题型:2-填空题二、填空题二、填空题（本大题共 10 小题，每小题2 分，共20 分不需写出解答过程，请把答案直接写 在答题卡相应位置上） 题目9（2019 年常州）计算：a3a_ 答案a2 解析本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a3aa3 1a2，因此本题答案 为 a2 分值2 章节:1-15-2-3整数指数幂 3 3 / 1717 考点:同底数幂

8、的除法 类别:常考题 难度:1-最简单 题目10（2019 年常州）4 的算术平方根是_ 答案2 解析本题考查了算术平方根的定义，因为224，所以 4 的算术平方根为 2，因此本题答案为 2 分值2 章节:1-6-1平方根 考点:算术平方根 类别:常考题类别:易错题 难度:1-最简单 题目11（2019 年常州）分解因式：ax24a_ 答案a(x2)(x2) 解析本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解， ax24a a(x24)a(x2)(x2)，因此本题答案为 a(x2)(x2) 分值2 章节:1-14-3因式分解 考点:因式分解提公因式法 考点:

9、因式分解平方差 类别:常考题 类别:易错题 难度:2-简单 题目12（2019 年常州）如果35，那么 的余角等于_ 答案55 解析本题考查了余角的定义，根据和为90的两个角称为互为余角，355590， 的余角等 于 55，因此本题答案为55 分值2 章节:1-4-3-3余角和补角 考点:互余 类别:常考题 难度:2-简单 题目13（2019 年常州）如果 ab20，那么代数式 12a2b 的值是_ 答案5 解析本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值 ab20，a b212a2b12(ab)1225，因此本题答案为 5 分值2 章节:1-2-2整式的加减 考点

10、:代数式求值 类别:思想方法 类别:常考题 难度:3-中等难度 题目14（2019 年常州）平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是_ 答案5 解析本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识， 根据两点间的距离公式或勾股定理， 可求得点P( 3，4)到原点的距离是32425，因此本题答案为 5 分值2 4 4 / 1717 章节:1-7-2平面直角坐标系 考点:平面直角坐标系 考点:点的坐标 考点:点的坐标的应用 类别:常考题类别:易错题 难度:2-简单 x 1 题目15（2019 年常州）若是关于 x、y 的二元一次方程 axy3 的解，则 a_ y 2 答案1 解析本题考查了二元

11、一次方程的解的定义，将 x 1 代入方程 axy3，得 a23，a1，因此本题答案 y 2 为 1 分值2 章节:1-8-1二元一次方程组 考点:二元一次方程的解 类别:常考题 难度:2-简单 题目16（2019 年常州）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，AOC120，则CDB _ C A O D 第 16 题图 B 答案30 解析本题考查了圆周角定理，AB 是O 的直径，AOC120，BOC60CDB30因 此本题答案为 30 分值2 章节:1-24-1-4圆周角 考点:圆周角定理 考点:直径所对的圆周角 类别:常考题 难度:3-中等难度 题目17（2019 年常州）如图，半

12、径为 3的O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 AB、BC 都相切连 接 OC，则 tanOCB_ 5 5 / 1717 A O B 第 17 题图 C 答案 3 5 解析本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识设O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB、OD由等边三角形的性质得ABC60，再由切线长定理易求OBC30，而 OD 3，从而由 3OD ，得 BD3，于是 CDBCBD835在 RtOCD 中，由正切函数定义， tan30BD 33OD 得 tanOCB因此本题答案为 55CD tanOBD A O BC D 第 17 题答图 分值2 章节:1-24-2

13、-2直线和圆的位置关系 章节:1-28-3锐角三角函数 考点:切线长定理 考点:正切 考点:解直角三角形 类别:高度原创 类别:常考题 类别:易错题 难度:3-中等难度 题目18（2019 年常州）如图，在矩形 ABCD 中，AD3AB3 10 点 P 是 AD 的中点，点 E 在 BC 上， CE2BE，点 M、N 在线段 BD 上若PMN 是等腰三角形且底角与DEC 相等，则 MN_ AP D B 答案6 解析本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几 何知识点首先由勾股定理，求得BD10，然后由“AD3AB3 10 点 P 是 AD 的中点

14、，点 E 在 BC 上， 6 6 / 1717 E 第 18 题图 C CE2BE” ， 求得 PD 3 10DC1 ， CE2 10 ， 这样由 tanDEC第四步过点 P 作 PHBD 于点 H， ； 2EC2 在 BD 上依次取点 M、N，使 MHNH2PH，于是因此PMN 是所求符合条件的图形；第五步由DPH 3 10 PH 2 PHPD3 DBA，得，即，得 PH，于是 MN4PH6，本题答案为 6 10BABD210 AP H M BE 第 18 题答图 C N D 分值2 章节:1-17-1勾股定理 章节:1-13-2-1等腰三角形 章节:1-18-2-1矩形 章节:1-27-1

15、-1相似三角形的判定 章节:1-27-1-2相似三角形的性质 章节:1-28-3锐角三角函数 考点:勾股定理 考点:等边三角形的性质 考点:等边三角形的判定 考点:矩形的性质 考点:相似三角形的性质 考点:由平行判定相似 考点:正切 考点:几何填空压轴 类别:思想方法 类别:高度原创 类别:发现探究 类别:常考题 类别:易错题 难度:5-高难度 题型:4-解答题三、解答题三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答 应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 题目19（2019 年常州）（8 分）计算：（1） 0( )1( 3)2；（2）(x1)(x1)

16、x(x1) 解析本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的 乘法法则及加减法法则进行计算即可 答案解：（1）原式1230； （2）原式x21x2xx1 分值8 章节:1-6-3实数 章节:1-2-2整式的加减 难度:2-简单 类别:常考题 考点:单项式乘以多项式 考点:平方差公式 7 7 / 1717 1 2 题目20（2019 年常州）（6 分）解不等式组 x1 0 并把解集在数轴上表示出来 3x8 x 解析本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助 数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，

17、另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来 答案解：不等式的解集为x1； 不等式的解集为：3xx8， 4x8， x2 原不等式组的解集为1x2，在数轴上表示如下： -4 -3 -2 -1 012 第 20 题答图 34 分值6 章节:1-9-3一元一次不等式组 难度:2-简单 类别:常考题 考点:解一元一次不等式组 考点:在数轴上表示不等式的解集 题目21（2019 年常州）（8 分）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C 处， BC 与 AD 相交于点 E （1）连接 AC ，则 AC 与 BD 的位置关系是_； （2）EB 与 ED 相等吗?证明你的结论 解析本题考

18、查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接 AC ，从图形 上容易看出并证明四边形ABDC是等腰梯形，故 AC BD由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角 对等边可证明 EBED 第 21 题图 第 21 题答图 答案解：（1） AC BD； （2）EBED理由如下： 由折叠可知CBDEBD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC CBDEDB EBDEDB 8 8 / 1717 EBED 分值8 章节:1-13-1-1轴对称 章节:1-18-1-1平行四边形的性质 章节:1-13-2-1等腰三角形 难度:2-简单 类别:常考题 考点:折叠问题 考点:

19、等角对等边 考点:平行四边形角的性质 题目22（2019 年常州）（8 分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校 部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图 （1）本次调查的样本容量是_，这组数据的众数为_元； （2）求这组数据的平均数； （3）该校共有 600 名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数 人数 11 8 6 5 05 解析本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想将条形图 的四组数据相加即可样本容量； 由图可知这组数据的众数为10 元； 利用加权平均数计算公式即可求出这组数据 的平均数；最后用样本平均数

20、去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数 答案解：（1）30，10； （2）x 1015 第 22 题图 20 捐款数/元 561011158205360 12（元）； 3030 （3）126007200（元）， 估计该校学生的捐款总数为7200 元 分值8 章节:1-10-1统计调查 章节:1-20-1-1平均数 章节:1-20-1-2中位数和众数 难度:2-简单 类别:思想方法 类别:常考题 类别:易错题 考点:总体、个体、样本、样本容量 考点:用样本估计总体 考点:条形统计图 考点:加权平均数（频数为权重） 题目23（2019 年常州）（8 分）将图中的 A 型（正方形）、B 型（菱形）、

21、C 型（等腰直角三角形）纸片 分别放在 3 个盒子中， 盒子的形状、 大小、 质地都相同， 再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中 9 9 / 1717 根据以上信息，解决下列问题： （1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_； （2）搅匀后先从中摸出1 个盒子（不放回），再从余下的2 个盒子中摸出 1 个盒子，把摸出的2 个盒 中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率（不重叠无缝隙拼接） 1 1 A BC 1 解析本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状 图法可以解决 答案解：

22、（1） 第 23 题图 2 ； 3 开始 第一次： 第二次： B A CA B CA C B （2）现画树状图如下： 结果：(A,B)(A,C)(A,C)(B,A)(B,C) (C,A) (C,A)(C,B) 由图可知共有 6 种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2 种，故 P(拼 成的图形是轴对称图形) 第 23 题答图 21 63 分值8 章节:1-25-1-2概率 章节:1-25-2用列举法求概率 难度:2-简单 类别:常考题 考点:概率的意义 考点:一步事件的概率 考点:两步事件不放回 题目24（2019 年常州）（8 分）甲、乙两人每小时共做30 个零件，甲做180

23、 个零件所用的时间与乙做120 个零件所用的时间相等甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 解析本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲 做 180 个零件所用的时间与乙做120 个零件所用的时间相等 答案解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30x)个零件，根据题意，得 180120 ，解得 x18 x30 x 经检验，x18 是原方程的解，则 30x12 答：甲、乙两人每小时分别做18 个和 12 个零件 分值8 章节:1-15-3分式方程 难度:3-中等难度 类别:常考题 类别:易错题 1010 / 1717 考点:分式方程的应用（工程问题

24、） 题目25（2019 年常州）（8 分）如图，在ABCD 中，OA2 2，AOC45，点C 在 y 轴上，点D 是 BC 的中点，反比例函数y （1）求 k 的值； （2）求点 D 的坐标 y B D C A k （x0）的图像经过点 A、D x Ox 第 25 题图 解析本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点（1）如答图，延长 BA 交 x 轴于点 F，取 OA 的中点 E，连接 DE由 OA2 2，AOC45，利用等腰直角三角形的边角关系易 求 OFAF2，从而 A(2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k4（2）由中点公式，易求点E 的坐标，从 而 D 点的

25、横坐标与 E 点相同，在 y 4 ，将点 E 的横坐标代入可求 y 的值，从而求出点 D 的坐标 x 答案解：（1）如答图，延长 BA 交 x 轴于点 F，取 OA 的中点 E，连接 DE，则 AFx 轴于点 F 在 RtAOF 中，OA2 2，AOC45，可得 OFAF2，从而 A(2，2) 反比例函数 y k （x0）的图像经过点 A、D， x k224 （2）O(0，0)，A(2，2)， 线段 OA 的中点 E 的坐标为 (1，1) 在 y k 中，当 x1，y4， x y B D C A E O F 第 25 题答图 x 点 D 的坐标为(1，4) 分值8 章节:1-26-1反比例函数

26、的图像和性质 1111 / 1717 章节:1-18-1-1平行四边形的性质 章节:1-13-2-1等腰三角形 难度:3-中等难度 类别:思想方法 类别:常考题 类别:易错题 考点:反比例函数的解析式 考点:反比例函数的图象 考点:等腰直角三角形 考点:平行四边形边的性质 题目26（2019 年常州）（10 分） 【阅读】 数学中，常对同一个量 （图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建 立相等关系，我们把这一思想称为“算两次” “算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思 想 【理解】 （1）如图 1，两个边长分别为a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c

27、的直角三角形拼成一个 梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图 2，n 行 n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n2 _ a c c a b 图 262 b 图 261 【运用】 （3）n 边形有 n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(mn)点为顶点，把 n 边形剪成若干个三角形， 设最多可以剪得 y 个这样的三角形当 n3，m3 时，如图 3，最多可以剪得 7 个这样的三角 形，所以 y7 当 n4，m2 时，如图 4，y_；当 n5，m_时，y9； 对于一般的情形，在n 边形内画 m 个点，通过归纳思想，可得y_（用含 m、

28、n 的 代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立 解析本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点 （1）利用梯形面积的两种不同 的计算方式，得到关于直角三角形三边a、b、c 的数量关系：a2b2c2，从而得到结论：直角三角形的两条直 角边的平方和等于斜边的平方（2）根据图 2 中 n 行 n 列个点的计算方式，得到n21352n1（n 为正整数）（3）先观察图 3 和图 4，不难解决第问；利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共 图 263图 264 1212 / 1717 线的 m 个点，最多能剪出 y 个三角形，这些 y 个三角形的内角和的总和为(1

29、80y)，也等于 n 边形的内角和与 m 个周角的和，即可得到y 与 m、n 的数量关系式 答案解：（1）S 梯形 a22abb22abc2 a2b2c2 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 （2）1352n1（n 为正整数） （3）6，3； n2m2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出 y 个三角形， 这些 y 个三角形的内角和的总和为(180y)，也等于 n 边形的内角和与 m 个周角的和，即 180(n2)m 360，故 180y180(n2)360 m，故 yn2m2 11 (ab)(ab)(a22abb2)， 22 11 又S 梯形2 abc

30、2， 22 111 (a22abb2)2abc2 222 第 26 题答图 分值10 章节:1-11-3多边形及其内角和 章节:1-17-1勾股定理 难度:5-高难度 类别:思想方法 类别:数学文化 类别:高度原创 类别:发现探究 类别:易错题 类别:新定义 考点:多边形的内角和 考点:勾股定理的证明 考点:新定义 题目27（2019 年常州）（10 分）如图，二次函数yx2bx3 的图像与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于 点 C，点 A 坐标为(1，0)，点 D 为 OC 的中点，点 P 在抛物线上 （1）b_； （2）若点 P 在第一象限，过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，PH

31、与 BC、BD 分别交于点 M、N是否存 在这样的点 P，使得 PMMNNH，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 P 的横坐标小于 3，过点 P 作 PQBD，垂足为 Q，直线 PQ 与 x 轴交于点 R，且 SPQB2S QRB，求点 P 的坐标 1313 / 1717 yy C D C D AOB x AOB x 解析本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解 法、相似三角形的性质与判定等（1）直接将点 A 坐标代入抛物线解析式，得到关于b 的一元一次方程，解 之即可； （2） 先求直线 BC、 BD 的解析式，

32、然后令 P(m， m22m3)， 则 M(m， m3)、 N(m， 第 27 题图第 27 题备用图 13 m)， 22 再利用 PMMNNH，得到m 的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P 坐标；（3）如答图2，过点P 作 PKAB 于点 K，过点 Q 作 QJAB 于点 J，则 PKQJ通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P 的纵坐标为点 Q 纵坐标 3 倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P 的坐标 答案解：（1）二次函数 yx2bx3 的图像过点 A(1，0)， 0(1)2b3 b2 （2）如答图 1，连接 BD、BC，过点 P 作 PHx 轴于点 H，交 BC、

33、BD 分别于点 M、N y P C D M N H B y C D Q P AO x AO R J K B x 抛物线 yx 2x3 交 x 轴于点 A(1，0)、B(3，0)，交 y 轴于点 C(0，3)，且点 D 为 OC 的中点， 2 第 27 题答图 1第 27 题答图 2 D(0， 3 ) 2 13 x 22 13 假设存在符合条件点 P(m，m22m3)，则 M(m，m3)、N(m，m) 22 易求直线 BC 的解析式为 yx3，直线 BD 的解析式为 y PMMNNH， 13 m(m22m3)(m3) 22 1414 / 1717 整理，得 2m27m30，解得 m1 P( 1

34、，m23（不合题意，舍去） 2 115 ，)即为所求的符合条件的点 24 （3）如答图 2，过点 P 作 PKAB 于点 K，过点 Q 作 QJAB 于点 J，则 PKQJ 过点 P 作 PQBD，垂足为 Q，直线 PQ 与 x 轴交于点 R，且 SPQB2SQRB， PQ2QR，从而 PR3QR PKQJ， RQJRPK QJRQ1 PKRP3 PK3QJ 设 P(n，n22n3)，由BD 的解析式为 y 解析式为 y2xt，则n22n32nt，解得 t3n2，于是，PQ：y2x3n2 13 x ，且直线 PQBD，可令直线PQ 的 22 当 n2 时，n22n33，故 P(2，3)即为所求的点 分值10 章节:1-19-2-2一次函数 章节:1-22-2二次函数与一元二次方程 章节:1-27-1-1相似三角形的判定 章节:1-27-1-2相似三角形的性质 难度:5-高难度 类别:思想方法 类别:高度原创 类别:发现探究 类别:常考题 类别:易错题 考点:解一元二次方程因式分解法 考点:待定系数法求一次函数的解析式 考点:其他二次函数综合题 考点:相似三角形的应用 考点:代数综合 考点:几何综合 题目28（2019 年常州）（10 分）已知平面图形