寻找最速降线

1、.,1,寻找最速降线,2,数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点. C. F. Gauss,数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. R. C. Buck,3, 介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法,连续,多元函数极值,积分等,内容提要, 回顾微积分有关知识, 复习微分方程求解的解析与数值方法, 最速降线求解的仿真方法,4,1696年John Bernoulli向他的兄长和其他,数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:,一质量为m的

2、质点，在重力作用下从定点A,沿曲线下滑到定点B，,试确定一条曲线，使得质,点由A到B下滑时间最短.,假定B比A低，不计摩擦力,和其他阻力等因素., 此问题导致数学新分支的产生.,背景故事,5,思考,这是一个求最值的问题, 与求函数的极值一样吗？, 与求线性规划问题中的极值一样吗？, 它的数学形式怎样？,历史,1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告,6,贝努利 约翰 Bernoulli,Johann, 欧洲著名科学家族, 涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、概率论以及变分法, 谁发现 LHospital 法则, 欧拉的指导者和老师,更贡献于物理、化学和天文学, 瑞士的骄傲,7,问题的数学

3、形式,设曲线为,满足 y(0)=0, y(b)=H,我们要求的是怎样的函数y(x),下滑的时间,使得T(y) 取得最小值,求 minT(y),8,近似方法,如图建立坐标系,设A为原,点, B为(b,H), 将带状区域,直线 y=yk=k H/n 把这区域,分成 n个带状小区域.,在带状域yk-1yyk ,可近似认为,而曲线段近似认为是直线段,其长度,00 d=c;else a=c; end c=(a+d)/2;i=i+1;end x(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h); T=sqrt(x(1)-a)2+h2)/sqrt(2*g*h) for k=2:n

4、 v=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v); T=T+sqrt(x(k)-x(k-1)2+h2)/v; end plot(x,-(0.1:h:H),*r),利用数学软件求近似最速降线和最短时间,13,利用数学软件求解得到的曲线,14,再作分析,质点要走最快的路线(曲线)，应该如何变化？, 依然用从质点速度变化的角度考虑,设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的,上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？,如图,若A1,A2到l 的垂足分,为a, b, OD =c, 质点经过l于C, 设,别为O,D, A1,A2 到l

5、的距离分别,OC =x, 那么质点由A1到A2需时间,15,唯一驻点满足,也即,这就是光学中的 Snell 折射定律,16,建立数学模型,分析：如图建立坐标系，,弧AB 分割成小段, 考虑在第k,层与k +1层质点在曲线上的下,滑，依能量守恒律，可近似,认为质点在每层内的速度不,变，于是依辅助结论知,注意上式对任何k成立，,用与x 轴平行的直线将,17,令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线,上任何一点,其中 为该点切线与铅垂线,的夹角,故导出,18,导出微分方程,又因,于是得到,19,一个引理,设集合E0=g(x)C1 g(a) =g(b)=0,如果在a,b上连续函数 f (x)满足,那么,

6、f (x) 0,对g (x) E0 ，总有,20,另一种方法变分法,设曲线为,满足 y(0)=0, y(b)=H,在曲线上P(x,y）处质点速度为,又设从A到P的弧长为s,则,从而质点沿曲线由A到B需时间,21,那么我们的问题成为,求某个,使得,引进集合,显然若,是最速曲线函数,则,故得,设集合,22,那么对,依复合函数求导法,注意第二项,23,上式乘以,这里,于是导出,24,注意从降线定义可知,故,1）可求解析解,解法,2）也可以用数值方法，例如欧拉法求解,得到方程为,25,由于在原点y = 0 ,可改写方程, 求解析解提示：,解析解,26,function cycloid1(b,H,n)

7、if nargin=2 %两个参数则默认n为100 n=100; end g=9.8; h=H/n; minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n); x=0;y=0; while abs(b-x)1e-4 x=0; c=(minc+maxc)/2; %二分法求c值 for j=1:n y=j*h; v=sqrt(2*g*y); x=x+c*v*h/sqrt(1-c2*v2); gx(j)=x; gy(j)=y; end,最速降线问题仿真方法Matlab程序,27,if xb %判断最后一个点与所给点的位置情况 minc=c; else maxc=c; end end T=0; for

8、 j=1:n v=sqrt(2*g*j*h); if j=1 s=sqrt(gx(1)2+h2); else s=sqrt(gx(j)-gx(j-1)2+h2); end T=T+s/v; end plot(gx,-gy); T end,28,取b=H=10，n=100,29,30,31,实验任务,1.分别用数值方法和解析方法求出的最速降线,的曲线和下降时间,将两种结果比较,2.在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从,A 到B的曲线,使得这曲线绕l 旋转所得的旋转面,的面积最小.设直线l与点A,B在xy 平面，l为x轴，,A为(0,（e+e-1)/2), B为(3，(e2+e-2)/2),(设b=/2, H=1),32,用曲线连接面上A(0,0,1), B(1,3,0)两点,求使得,AB 弧长最短的曲线(短程线),4.在第3题中，将曲面改为,求在曲面上连接A(1,0