控制系统的时域数学模型

1、第二章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图 2-4 控制系统建模实例,教学内容:,1、时域模型：本节分别通过从简单的电学电路和力学系统讲解如何建立数学模型。,2、时域模型微分方程求解，简单讲解复习微分方程求解方法,3、非线性系统的线性化，重点讲清楚线性化的条件，以及如何线性化（泰勒展开式）,4、复域模型：重点介绍传递函数的概念，通过例题复习如何用拉普拉斯变换求解系统。 5、对比时域系统的解，讲解传递函数的极点对系统性能的影响。 6、介绍典型环节的传递函数,7、系统的信号流图和梅逊(Meson)公式 8、结构图

2、及化简 9、闭环系统的传递函数和误差传递函数,概述：,数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。,静态数学模型 在静态条件下（即变量各阶导数为零，描述变量之间关系的代数方程。,动态数学模型 描述变量各阶导数之间关系的微分方程。,如何建立数学模型,建立数学模型用二种方法：. 分析法 . 实验法 . 分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动本身的物理、化学规律，列出相应的运动方程。 如：电工学中的克希霍夫定律；力学中的牛顿定律等。 .实验法：首先选择一种适当的典型信号，做为系统测试的输入信号，然后记录下其输出响应（输出值或输出曲线），最后利用数学方法从输入输出

3、数据中，推出系统的数学模型。这种方法又称为系统辨识。,微分方程,传递函数,结构图,信号流图,在经典控制理论有数学模型共有2类5种：, 解析模型：,频率特性（第五章）, 图解模型：,2-1 控制系统的时域数学模型,线性元件的微分方程 控制系统微分方程的建立 线性系统的基本特性 线性定常微分方程的求解 非线性微分方程的线性化 运动的模态,列写元件微分方程的一般步骤： (1) 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量； (2) 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程； (3) 消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。并整

4、理成微分方程的标准形式。,1. 线性元件的微分方程,所谓标准形式是指将与输入量有关的项写在方程的 右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端 变量的导数项均按降幂排列。,例2-1 求RLC电路的微分方程,解:(1)确定输入: ui(t) , 输出: u0(t),(2)由基尔霍夫定律可写出回路方程,(3)消去中间变量 并标准化,(2-1),例2-2 求电枢控制直流电动机的微分方程,解: (1) 确定输入输出量: 输入量: 给定输入-电枢电压ua 扰动输入-负载转矩Mc 输出量: 电动机转速m,(2) 列写原始方程,图2-2 电枢控制直流电动机原理图,电枢回路电压平衡方程：,(2-2),(2-

5、3),(3) 从式(2-2) (2-4)中消去中间变量 ia (t)、 Ea 、 Mm (t) , 并标准化,(2-4),忽略La，式(2-5)可以简化为：,(2-5),(2-6),例2-3 求弹簧 质量 阻尼器组成的机械位移系统的微分方程。,解: (1) 确定输入: F ； 输出: x,(2) 列原始方程 SF = ma,f,m物体质量，K弹簧的弹性系数， f阻尼器的粘滞摩擦系数，F外力， x质量块的位移。,式中，F1(t)阻尼器的阻尼力； F2(t) 弹簧的弹力,K弹性系数。,(2-8),(3) 标准化,(2-9),3. 线性系统的基本特性,用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线

6、性系统。 叠加原理有两重含义：可叠加性和均匀性（或齐次性）,例如下的线性微分方程为：,当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为c1(t)； 当f(t)=f2(t) 时，其解为c2(t) 。 如果f(t)=f1(t)+ f2(t)，则方程的解为： c(t)= c1(t) +c2(t) 。,当f(t)=Af1(t) 时，A为常数，则方程的解为c(t)= Ac1(t) 。,拉氏变换复习,(1).定义,若函数f(t)满足以下条件: f(t)=0, t0;, f(t)的不连续点是有限的，且积分,(2). 常用函数的拉氏变换(见教材639页) L(t)=1, L1(t)=1/s Lt=1/s2 , Lt2

7、/2=1/s3 Ltn=n!/sn+1 ， Le-at=1/(s+a) Lsint=/(s2+2) ，Lcost= s/(s2+2 ), 线性定理 若 Lf1(t)=F1(s) Lf2(t)=F2(s)， 则 La f1(t)+b f2(t)=a F1(s)+b F2(s),(3). 拉氏变换的基本定理, 微分定理 若 Lf(t)=F(s),若f(t)及其各阶导数的初始值都等于零，则：, 积分定理 若 Lf(t)=F(s) ，则, 实位移定理, 复位移定理, 终值定理, 初值定理,(4). 拉氏反变换,定义式,通常用部分分式法将复杂函数展成简单函数之和,. A(s)=0无重根,其中待定系数,、

8、 A(s)=0有重根， 设s1为m阶重根,重根待定系数,用拉氏变换法求解线性定常微分方程步骤:,4. 线性定常微分方程的求解,方程两边取拉氏变换, 并代入初始条件; 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式; 对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,例 2-6 ：在例2-1中，若已知L=1H，C=1F，R=1，且电容上初始电压uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui (t)=1V。 试求电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。,解：,分别对式(2-29)中各项求拉氏变换：,经整理得：,令Ui(s)=Lui(t), Uo(

9、s)=Luo(t)，且,(2-29),代入已知数据：,则：,(2-30),即：,ui(t)视为阶跃输入量，即ui(t)=1(t)，则Ui(s)= 1/s. 对Uo (s)求拉氏反变换，用部分分式法和查表法求解得，便得到式(2-29)网络微分方程的解uo (t)，即：,(2-31),前两项是网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零初始条件响应； 后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应。统称为单位阶跃响应。,uo(t) = L-1 U1(s) + U2(s) = u1(t) + u2(t） =零初始条件响应 + 零输入响应,如果输入电压是单位脉冲量(t)，

10、此时Ui(s)=1，网络的输出则称为单位脉冲响应，即为：,(2-32),(2-30),利用拉氏变换的初值定理和终值定理，可以直接从式(2-30)中了解网络中电压uo(t)初始值和终值。当 ui(t)=1(t)时，uo(t)的初始值为：,uo(t)的终值为：,5. 非线性微分方程的线性化,将非线性元件线性化有二种方法： (1). 在某一定条件下，忽略非线性因素的影响，将它们视为线性元件。 如：电阻、电容、电感都是在一定的条件下忽略周围环境(温度、湿度、压力等)对其的影响；电动机忽略摩擦、死区等非线性因素；线性放大器忽略死区、饱和的影响。 (2). 切线法或小偏差法。其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。,小偏差法(切线法)：即在工作点处用斜率直线代替非直线; 用代数方法：Taylor(泰勒)级数展开法，去掉2次以上项，近似。,线性化的方法:,（1） 单变量系统 对连续的非线性系统 y = f(x), 在工作点(x0, y0)连续可微，则在工作点附近展成Talor级数:,（2）双变量的非线性系统,注意: (1) 线性化方程中的系数K与工作点有关。 (2) 线性化模