医用数理统计方法 课件 第一章

1、医药数理统计方法,南京医科大学数学教研室 韩新焕,第一节 随机事件及其运算,一、随机试验（random trial） 自然界现象分为确定性现象和随机现象 在试验之前就能断定它有一个确定的结果，这类试验称为确定性试验，这种类型的试验所对应的现象，称为确定性现象.否则称为随机现象 例子,统计规律,就一次试验而言，试验结果没有规律，但“大数次”地重复这个试验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称之为“统计规律” 如掷硬币(下表) 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科,频率的稳定性,掷硬币试验 试验者 试验次数 正面出现次数 频率 德摩根 2048 1039 0.5073 蒲丰 4040

2、 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005,随机试验(简称试验),满足下列条件： 1.试验可在相同的条件下重复进行； 2.每次试验的可能结果不止一个，但可事先明确知道试验的所有可能结果； 3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,二、样本空间,在随机试验中，它的每一个可能的直接结果，称为样本点(sample point) ，或称基本事件，一般用字母表示。 随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间(sample space)，通常用表示。 样本空间又可分为有限样本空间与无限样本空间。例：掷硬币、灯泡寿命,三、随机事件

3、(random event),样本点的某个集合叫做随机事件(事件)，通常用大写英文字母A，B，C 等表示 例:掷骰子. 样本空间=1,2,3,4,5,6 事件 A=偶数点=2,4,6 B=奇数点=1,3,5 C=点数n)个邮筒中， 求: (1) 指定的n个邮筒中各有一封信的概率 (2) 任意的n个邮筒中各有一封信的概率 哪一个概率大？,第三节 概率的基本运算法则,概率的计算有时较困难, 概率的基本运算法则可 化繁为简 化难为易.,一、概率的（狭义）加法公式 定理1.1 设A、B是两个互不相容的事件， 则 P(A+B)=P(A)+P(B) 推论1 有限个两两互斥的事件Ai，则 P(A1+A2+A

4、n ) =P(A1 )+P(A2 )+P(An ) 推论2 互不相容完备事件组的各事件 概率之和为1,推论3 互相对立的两个事件的概率之和为1， 即 或,A,例 设50支针剂中有3支不合格品，今从中任意取4支，求其中不合格品数不少于2支的概率。 解 设A表示“取出的4支针剂中的不合格品数不少于2支”，Ai表示“取出的4支针剂中的不合格品数为i支”(i=0,1,2,3)；显然A=A2+A3，且A2A3=,例 袋中有4只黑球和1只白球，每次从袋中任意取出一球，并换入一只黑球。连续进行，问第三次取出的是黑球的概率是多少？ 解 设A表示“第3次取出的是黑球”，计算复杂 对立事件为“第3次取出的是白球”

5、。计算简单。 袋中只有一只白球，而每次换入的都是黑球，因此，如果某一次取出白球，那么以后各次就只能取到黑球。所以，事件 相当于第1次、第2次都取到黑球，而第3次取到的是白球。样本空间包含的样本点个数为53， 包含的样本点个数为421，所以,定理1.2 狭义减法公式 若有事件A与B，其中 则 P(A-B)=P(A)-P(B) 证：由于 所以然 A=（A-B）B 且 （A-B）B= 从而 P(A)=P(A-B)+P(B) 思考：如何用文图记忆公式,定理（补充） 广义减法公式 设事件A与B为任意两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB) 证：由于 所以 P(A-AB)=P(A)-P(AB) 又

6、 A-B=A-AB,定理1.3 广义加法公式 若事件A与B为任意两个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 证： A B = A（B-AB） 且 A（B-AB）= 思考：AB=的情况 如何用文图记忆公式 推广： P(A+B+C ) =？,例12 袋中装有2个红球，3个白球，4个黑球，从中每次任取1球，并放回，连续取两次，求取得的两球中无黑球或无红球的概率。 解 设A表示“取得的两球中无红球”， B表示“取得的两球中无黑球”， 则AB表示“取得的两球为白球” 从而 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB）,二、条件概率与概率乘法公式,在已知事件B发生的条件下，求事件A发生的概

7、率，这类问题就是条件概率（conditional probability)问题，记作P（A|B）。,1. 条件概率,例 玩具厂有职工500人，男女各半，男女职工中非熟练工人分别有40人与10人。现从该厂职工中任意选取一人，试问： （1）该职工是非熟练工人的概率是多少？ （2）若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率是多少？ 分析：记A=选出的工人是非熟练工人 B= 选出的工人是女职工 问题（1）是一般的古典概型问题 问题（2）是条件概率,定理1.4 在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率等于事件A与事件B同时发生的概率与事件B发生的概率之比，即 P（A|B）=P(AB)/P(B) 注：文

8、图说明,A,B,例 求 P(A),P(B),P(C),P(B|A) P(A|B),P(C|A),P(AB),P(AC) 解: P(A)=80/100 P(B)=20/100 P(C)=40/100 P(B|A)=12/80 P(A|B)=12/20 P(C|A)=32/80 P(AB)=12/100 P(AC)=32/100,P(AB)与P(A|B)的区别,P(AB)考虑的样本空间是 P(A|B)考虑的样本空间是B,A,B,2. 概率乘法公式,由 P(A|B)=P(AB)/P(B) 可得 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 P(AB)=P(A)P(B|A) 推广 P(A1A2A3)=P(A1

9、A2)A3 =P(A1A2)P(A3|A1A2) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 思考 P(A1A2An)=?,例 n个人分一张奥运会的场券。用摸彩方式决定谁得入场券，他们依次摸彩，求： （1）已知前k-1个人都没摸到，第k个人摸到的概率 （2）第k个人摸到的概率 解：,例 10个考签中有4个难签，甲、乙、丙3人参加抽签（无放回），甲先抽、乙其次、丙最后。试分别求出甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。 解 设A、B、C分别代表甲、乙、丙各抽到难签，则 由概率乘法公式可得,三、事件的独立性(independent),条件概率反映

10、了某一事件B对事件A的影响。一般说来，P(A)与P(A|B)是不等的，但在某些特殊条件下，它们可能是相等的，即事件B发生与否对事件A没有影响，换句话说，事件B与事件A之间存在某种“独立性”,例 保安公司有行政管理人员100名，其中青年40名，现每天从所有行政管理人员中随机挑选一人为当天的值班人员，且不论其是否在前一天值过班。现计算： （1）已知第一天选出的是青年，第二天选出的也是青年的概率； （2）第二天选出的是青年的概率。 解：设A、B分别表示第一天、第二天选出的是青年，于是 P(B|A)=40/100=P(A),定义1.5 对事件A与事件B，若有 P(B|A)=P(B) 即事件A发生与否不

11、影响事件B的发生，则称事件B独立(independent)于事件A。 两个事件的独立性总是相互的。 设P(B|A)=P(B),则 P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/P(B) =P(A)P(B)/P(B)=P(A),定理1.6 两事件独立的充分必要条件 P(AB)=P(A)P(B) 证：充分性。设P(AB)=P(A)P(B)， 则 P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A) 必要性。设P(B|A)=P(B)，则 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),例 据说有某新药能够治疗某种肠道感染病。现有该疾病患者500人，有的服用了此新药

12、，有的未服用此新药，经过一周时间以后，有的已经痊愈，有的还没有痊愈，结果见表1.4。试分析这种新药对该肠道感染病有无疗效。,解： 从分析服药与痊愈之间是否相互独立着手，若两者间相互独立，说明痊愈和服药没有关系，这就表明此新药无效。 由于试验的例数比较大，可以用频率近似代替概率。 P(B)=400/500=0.8 P(B|A)=170/210=0.81 A与B独立，该药无疗效,定理1.7 若事件A与事件B相互独立，则事件A与 、 与B以及 与 也相互独立。 证： 类似可得其它证明。,推广 定义 设有n个随机事件A1， A2， An，如果其 中任意k个事件Ai1， Ai2， Aik，均有 P(Ai

13、1 Ai2 Aik)=P(Ai1)P( Ai2)P(Aik) (k=2,3, ,n) 成立，则称这n个事件相互独立 。 注：对n个事件，若满足两两相互独立，推不出其中任意k个事件相互独立 思考: P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，A、B、C相互独立吗？,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，三个事件独立,两两独立：P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C),例 假如每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率 解 设Ai表示“第i个人的血清中含有肝炎病毒”。 设A表示“混合的血清中含有肝炎病

14、毒”。由题意，每个人的血清中是否含有肝炎病毒是互相独立的，则,A B 每个元件可靠性为r，哪条线路更可靠？ P(A)=P(A1A2)=r2 P(B)=P(B1+B2)=r+r-r2 由于2r-r2r2，所以B线路更可靠,B2,B1,A1,A2,第四节 全概率公式和 逆概率公式,一、全概率公式(total probability formula) 计算一个复杂事件的概率，先把复杂事件分解为若干个简单事件的和，再计算出各简单事件的概率，然后再利用概率的加法公式得到复杂事件的概率，这是计算复杂事件概率的常用的一种方法。,例1.20 先随机地挑选一个袋子，然后再从袋子中任意摸取一球，试求取到的球是白球

15、的概率。 解 设 B=取到的球是白球， Ai=这个球取自第i个口袋。 显然，Ai构成一个互不相容的完备事件组 分解：B=BA1+BA2+BA3 计算：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3),定理1.8 设事件组Ai是样本空间的一个剖分（i=1,2,n） ，则对任意的事件B，有 借助于一个完备事件组，将复杂事件分解成若干个互不相容的简单事件的和，再利用概率的加法公式求出复杂事件的概率 图示,B,Ai,例 如果任意从中抽取一份药品，其为次品的概率是多少？ 解 设B表示“抽取的药品是次品”，Ai表示“该药品来自第个车间”， i=1,2,3 B=BA1+BA2+BA3 P(B)=P(BA1

16、)+P(BA2)+P(BA3)=2.5%,二、贝叶斯(Bayes)公式,全概率公式解决的问题是借助于一个完备事件组来计算某一事件发生的概率 贝叶斯公式与此相反，是在已知发生了某一事件的条件下，求完备事件组中某个事件发生的条件概率。,P(Ai)称之为先验概率（先于试验的概率），P(Ai|B)是在试验后确定的概率，称为后验概率。通过结果B寻找原因Ai 注意：,定理 (贝叶斯公式或逆概率公式),设Ai为一完备事件组，对任意的事件B有,例 如果取出的一份药品是次品，最不可能来自哪一车间？ 解 P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=2.5% P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(B)=10/25 P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/P(B)= 5/25 P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)/P(B)=10/25,例1.22 华东医药公司订货单,例1.23 今有一人AFP检测结果为阳性，现问该人患肝癌的可能性P(A|B)有多大