反证法例题与练习

1、,反证法,解析： 由C=90可知是直角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 c2 .,B,B,探究：假设a2 +b2 c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且C=90，这与已知条件C90矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 c2 成立。,这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。,发现知识：,证明：假设 ， 则 （ ） 这与 矛盾 假设不成立 ,B C,ABAC,等角对等边,已知ABAC,B C,小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立逻辑推理得出

2、矛盾肯定原结论正确,证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 a/b.,小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。,已知：ABC 求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60.,证明：假设 ， 则 。 ， 即 。 这与 矛盾假设不成立 ,ABC中没有一个内角小于或等于60,A60,B60,C60,A+B+C60+60+60=180,A+B+C180,三角形的内角和为180度,ABC中至少

3、有一个内角小于或等于60.,点拨：至少的反面是没有！,1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 （2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）最多有一个 （6）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2 b2,则a b”的第一步是 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 。,a不是实数,a小于或等于,a大于或等于,没有两个,一个也没有,两直线相交,假设a=b,假设这个三角形是等腰三角形,已知：在梯形ABCD中，AB/CD， CD 求证：梯形ABCD不是等腰梯形.,证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 C=D（等腰梯形同一底上的

4、两内角相等） 这与已知条件CD矛盾, 假设不成立。 梯形ABCD不是等腰梯形.,证明：假设PB=PC。 在ABP与ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ABPACP（S.S.S) APB=APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件APBAPC矛盾，假设不成立. PBPC,1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A有一个解 B有两个解 C至少有三个解 D至少有两个解,解析 在逻辑中“至多有n个”的否定 是“至少有n1个”，所以“至多有两个 解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.,2否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( ) Aa、

5、b、c都是奇数 Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 Ca、b、c都是偶数 Da、b、c中至少有两个偶数,解析 a，b，c三个数的奇、偶性有 以下几种情况：全是奇数；有两个 奇数，一个偶数；有一个奇数，两个 偶数；三个偶数因为要否定，所 以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数” 故应选B.,解析 “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数,3用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A假设a，b，c都是偶数 B假设a、b，c都不是偶数 C假设a，b，c至多有一个偶数 D假设a，b，c至多有两个偶数,解析 “ab”的否定应为“ab或aB，则ab”的结论的否定应该是( ) Aa180