厦门理工材料力学-第5章

1、,材料力学,Mechanics of materials,第5章,基础篇之五,材料力学,梁的剪力图与弯矩图,杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。,在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。,在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。,对梁进行强度计算，弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。,第5章 梁的剪力图与弯矩图,弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布

2、，失效当然最先从应力最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的点，这些点称为“危险点”。,绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影响是次要的。弯曲梁内容将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强度问题。,本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用。（然后应用平衡、变形协调以及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。）,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件, 剪力方程与弯矩方程, 载荷集度、

3、剪力、弯矩之间的微分关系, 梁的内力及其与外力的相互关系, 剪力图与弯矩图, 刚架的内力与内力图, 结论与讨论,第5章 梁的剪力图与弯矩图,工程中可以看作梁的杆件是很多的:,桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,工程中可以看作梁的杆件是很多的:,石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,工程中可以看作梁的杆件是很多的:,火车轮轴

4、支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人与货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,梁为什么做成变截面的？,孔开在哪里最合理?,梁为什么可以开孔？, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,架在空中的悬臂梁, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,架在空中的悬臂梁,

5、 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,架在空中的悬臂梁, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,架在空中的悬臂梁, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图,“玻璃人行桥”从大峡谷南端的飞鹰峰延伸出来，长约21米，距离谷底约1220米。桥道宽约3米，两边由强化玻璃包围。这座桥是悬臂式设计，即U形一端用钢桩固定在峡谷岩石中，另一端则悬在半空。为了避免“玻璃人行桥”延伸在外的部分发生倾斜下坠，在岩石中的固定端还安放了重达220吨左右的

6、钢管，以保证桥身平衡。,整座“玻璃人行桥”重约485吨，相当于4架波音757喷气式飞机的总重量。尽管如此，由于人行桥底部是钢梁，足以承载两万人的重量，还能承受时速160公里的大风。, 工程中的弯曲构件,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件, 剪力方程与弯矩方程, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 梁的内力及其与外力的相互关系, 剪力图与弯矩图, 刚架的内力与内力图, 结论与讨论,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 梁的内力及其与外力的相互关系,应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上任意横截面上的内力剪力和弯矩，而且可以确定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。,平衡包括：整体平衡和局部平

7、衡。,第5章 梁的剪力图与弯矩图,刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。,总体平衡与局部平衡的概念, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,总体平衡与局部平衡的概念, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,截面法, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；, 在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化.,杆件内力变化的一般规律, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段

8、杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面：, 集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。,变化区间控制面, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,外力规律发生变化截面集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。,变化区间控制面, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,根据以上分析，不难得到结论：,杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪

9、力和弯矩变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,描述内力变化规律有两种方法： 1. 数学方程剪力方程与弯矩方程； 2. 图形 剪力图与弯矩图。,两种描述方法都要： 1. 确定变化区间； 2. 遵循正负号规则。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,剪力与弯矩的正负号规则,剪力FQ(FQy或FQz)的确定：使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第

10、5章 梁的剪力图与弯矩图,弯矩M(My或Mz)的确定：使梁产生上凹、下凸变形的弯矩为正；反之为负。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件, 剪力方程与弯矩方程, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 梁的内力及其与外力的相互关系, 剪力图与弯矩图, 刚架的内力与内力图, 结论与讨论,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程, 指定横截面上弯矩和剪力的确定, 剪力方程和弯矩方程的建立,第5章 梁的剪力图与弯矩图,应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡条

11、件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,截面法要领, 用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部分, 考察其中任意一部分的平衡, 由平衡方程求得横截面的内力分量, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,例 题 1,一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO的作用。,试确定:截面C及截面D上的剪力和弯矩。C、D截面与加力点无限接近。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：1. 应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。,2. 应用截面法确定C截面上的内力分量,用假想

12、截面将梁C截面处截开，以左边部分为平衡对象。,因为外力与梁轴线都在同一平面内，而且没有沿杆件轴线方向的外力作用，所以横截面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解： 2. 应用截面法确定C截面上的内力分量,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,所得结果均为正值，这表明所假设的C截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解： 3. 应用截面法确定D截面上的内力分量,用假想截面将梁D截面处截开，以左边部分为平衡对象。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图

13、与弯矩图,解： 3. 应用截面法确定D截面上的内力分量,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,因为D截面无限接近B截面，所以式中, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解： 4. 讨论,本例中所选择的研究对象都是C、 D截面以左部分梁，因而需要首先确定左端的约束力。如果以C、 D截面以右部分梁作为平衡对象，则无需确定约束力，计算过程会更简单。,例 题 1, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 剪力方程和弯矩方程的建立, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其中O为坐标

14、原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。,建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。,确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为x；然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩M(x)都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和弯矩M(x)的表达式。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面

15、所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。,需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,例 题 2,悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M2FPl 的作用。梁的全长为2l。,试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：1确定控制面和分段,本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。,2建立Oxy坐标系 以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标

16、系。,需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将梁截开，并在截开的横截面上，假设剪力FQ(x1)、FQ(x2)和弯矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程

17、,得到AC段的剪力方程与弯矩方程：, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,得到CB段的剪力方程与弯矩方程：,上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是x的线性函数。,对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。,试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。,例题 3, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力

18、图与弯矩图,解：1确定约束力,因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支座A与支座B处铅垂方向的约束力相同。,于是，根据平衡条件不难求得：, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：2确定控制面和分段,因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。,3建立Oxy坐标系 以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：4确定剪力方程和弯矩方程,由左段梁的平衡条

19、件,以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQ(x)和弯矩M(x)的正方向。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,解：4确定剪力方程和弯矩方程,由左段梁的平衡条件,得到梁的剪力方程和弯矩方 程分别为,这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。, 剪力方程与弯矩方程,第5章 梁的剪力图与弯矩图,课外作业,51 (a),(c),(f) 52 (b),剪力与弯矩的正负号规则,剪力FQ(FQy或FQz)的确定：使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5

20、章 梁的剪力图与弯矩图,弯矩M(My或Mz)的确定：使梁产生上凹、下凸变形的弯矩为正；反之为负。,截面法要领, 用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部分, 考察其中任意一部分的平衡, 由平衡方程求得横截面的内力分量, 梁的内力及其与外力的相互关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件, 剪力方程与弯矩方程, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 梁的内力及其与外力的相互关系, 剪力图与弯矩图, 刚架的内力与内力图, 结论与讨论,第5章 梁的剪力图与弯矩图,绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和M-x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个

21、端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,绘制剪力图和弯矩图的第二种方法是：先在FQ-x和M-x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，因而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,考察微段的受力与平衡, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,Fy=0:,MC=0:,考察微段的受力与平衡, 载荷

22、集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,略去高阶项，得到,此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。,根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ 、M 的变化规律。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,式中等号右边的负号，是由于作用在梁上的均布载荷是向下的。因此规定：对于向上的均布载荷，微分关系式中的载荷集度q为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度q为负值。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章

23、梁的剪力图与弯矩图,上述微分关系，也说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度q有关。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度q；弯矩图在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。, 如果一段梁上没有分布载荷作用，即q0，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩图为斜直线。, 如果一段梁上作用有均布载荷，即q常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。, 弯矩图二次抛物线的

24、凸凹性与载荷集度q的正负有关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正方向一致，：当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，凸的方向与M坐标正方向一致。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,1.梁上无荷载区段，q(x) = 0,剪力图为一条水平直线.,弯矩图为一斜直线.,当 FQ(x) 0 时,向右下方倾斜.,当 FQ(x) 0 时,向右下方倾斜.,当 FQ(x) 0 时,向右上方倾斜., 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,M(x)图为一凸向坐标轴正向的二次抛物线.,FQ(x)图为一向右下方倾斜的直线.,2.1梁上有向下的均布

25、荷载,即 q(x) 0, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,5. 最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上. 梁上极大弯矩 Mmax发生在FQ(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.,3. 在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图有转折。,4. 在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突 变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化., 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,C,向下倾斜的直线,下凹的二次抛物线,在FQ=0的截面,水平

26、直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯矩图 的特征,Mmax所在 截面的可 能位置,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,例题6 一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,解：,1、根据平衡条件求支座反力,2、由微分关系判断各段的 形状。,载荷,CA,DB,AD,斜直线,斜直线,A,B,1m,1m,4m,F=3KN,C,D,3、作 -图。,4、作M-图。,CA段：,(-),DA段：,-3KN,4.2KN,-3.8KN,(+),(

27、-),DB段：,-3KN.m,(-),E,x,-2.2KN.m,(-),3.8KN.m,(+),(+),上述微分关系，也说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度q有关。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度q；弯矩图在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。, 如果一段梁上没有分布载荷作用，即q0，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩图为斜直线。, 如果一段梁上作用有均布载荷，即q常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的

28、线性函数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。, 弯矩图二次抛物线的凸凹性与载荷集度q的正负有关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正方向一致，：当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，凸的方向与M坐标正方向一致。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第5章 梁的剪力图与弯矩图,剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图大体相似，但略有差异。主要步骤如下：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值(假定剪力和弯矩都为正方向)。, 建立FQ - x 和M x 坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。, 剪力图与弯矩图,第5章 梁的剪力图与弯矩图,例 题 9,例 题 10,例 题 11,剪力图与弯矩图的绘制方法小结：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值(假定剪力和弯矩都为正方向)。, 建立FQ一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。, 剪力图与弯矩图,第5章 梁的剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件, 剪力方程与弯矩方程, 载荷