同济版高等数学(上)期末复习

1、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数与极限,第一章,一、 函数,1. 函数的概念,定义:,定义域,值域,图形:,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的两要素: 定义域和对应法则,2. 函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4. 复合函数,给定函数链,则复合函数为,5. 初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与复,复合而成的一个表达式的函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),机动 目录 上页 下

2、页 返回 结束,2. 极限运算法则,3. 无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,4.极限存在准则及两个重要极限,6. 判断极限不存在的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 求极限的基本方法,三、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有界定理 ;,最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,四、闭区间上连续函数的性质,解:定义域为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十节 目录 上页 下页

3、 返回 结束,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,第二章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数与微分,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关系 :,可导,可微,应用 :,(1) 利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算的应用,(2)用导数定义求极限,1) 推出四个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 导数和微分的求法,1. 正

4、确使用导数及微分公式和法则,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1) 求分段函数的导数,注意讨论界点处左右导数是否存在和相等,(2) 隐函数求导法,对数微分法,(3) 参数方程求导法,(4) 复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5) 高阶导数的求法,逐次求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,设方程,解:,方程两边对 x 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7. 设由方程,确

5、定函数,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分中值定理与导数的应用,第三章,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,2. 微分中值定理的应用,(3) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(1) 验证有关中值问题的结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 微分中值定理及其应用,二、 导数应用,. 研究函数的性态:,增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线,. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 洛必达法则,. 泰勒公式（P138),曲率,1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,解:,原式

6、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,解:,原式,4. 求函数,的单调区间、凹凸,解:,得,是单调增加区间,减少区间,其极大值,极小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是单调,区间、极值和拐点.,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,凸,凹,5. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器， 问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？,解：设容器的底半径为r, ，高为h,得唯一驻点,时可使用料最省.,即当容器的底半径与高分别为,与,8.,9.,第四章,一、 求

7、不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 分部积分法,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五章,一、定积分概念与性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微积分基本定理,定积分,三、定积分的换元积分法,一、定积分概念与性质,1、用定积分性质估值、比较大小,2、与变限

8、积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微积分基本定理,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),三、定积分的换元积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第六章,一、定积分的元素法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、定积分在几何学上的应用,定积分的应用,三、定积分在物理学上的应用,1. 平面图形面积,参数方程,直角坐标方程,2.旋转体体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,极坐标方程,3. 曲线弧长,直角坐标方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,参数方程:,极