回归分析的基本思想及其初步应用习题课

1、.,我们的梦向往的地方 北京师范大学,用自己的聪明和勤奋， 打造一个最优秀的自己,.,北京师范大学是教育部直属重点大学，是一所以教师教育、教育科学和文理基础学科为主要特色的著名学府。学校的前身是1902年创立的京师大学堂师范馆，1908年改称京师优级师范学堂，独立设校。1912年改名为北京高等师范学校。1923年更名为北京师范大学，成为中国历史上第一所师范大学。1931年、1952年北平女子师范大学、辅仁大学先后并入北京师范大学。,.,1.1 相关分析的基本思想 及其初步应用(习题课）,.,复习回顾：,1.回归直线的方程:,.,我们又引入相关指数R2来刻画回归的效果：,残差平方和,总体偏差平方

2、和,当R2越接近于1,说明解释变量和预报变量之间的相关性越强,如果同一个问题,采用不同的回归方法分析,我们可以通过选择R2大的来作为回归模型,.,相关系数,相关系数的性质: (1)|r|1 (2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0， 相关程度越弱,如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？,问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？ 它们的相关程度怎样呢？,.,基本步骤,抽取样本,采集数据,作出散点图,确定类型,求回归方程,残差分析,相关指数,判定拟合程度,.,案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：,（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温

3、度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,非线性回归问题,.,假设线性回归方程为 ：=bx+a,由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指数R2=r20.8642=0.7464,解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。,所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。,探索新知,方案1,当x=28时，y =19.8728-463.73 93,一元线性模型,.,奇怪？,9366 ? 模型不好？,.,方案2,问题3,合作探究,t=x2,二次函数模型,.,方案2解答,平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模

4、型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a,作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802,将t=x2代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.543 当x=28时，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802， 所以，二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。,.,产卵数,气温,指数函数模型,方案3,合作探究,对数,.,方案3解答,当x=28oC 时，y 44 ，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化,由计算器得：z关于x的线性回归方程 为,对数变换：在 中

5、两边取常用对数得,令 ，则 就转换为z=bx+a.,相关指数R2=0.98,.,最好的模型是哪个?,线性模型,二次函数模型,指数函数模型,.,比一比,最好的模型是哪个?,.,回归分析（二）,则回归方程的残差计算公式分别为：,由计算可得：,因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）。,.,练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：,（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散点图； （2） 描述解释变量与预报变量 之间的关系； （3） 计算残差、相关指数R2.,解：（1）散点图如右所示,.,（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= 的周围，于是令Z=l

6、ny,则,由计数器算得 则有,（3）,即（解释变量）天数解释了99.99%（预报变量）繁殖细菌得个数,.,理论迁移,例 1993年到2002年中国的国内生产总值（GDP）的数据（单位：亿元）如下：,.,（1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么？ （2）建立年份为解释变量GDP为预报变量的回归模型，并计算残差. （3）根据你得到的模型，预报2003年的GDP，看看你的预报与实际的GDP（117251.9亿元）的误差是多少？ （4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由.,.,GDP与年份近似地呈线性关系.,.,2003年GDP预报值为112976.4，

7、预报与实际相差4275.5,相关指数R20.974，说明年份能够解释97.4%的GDP值变化，所建模型能很好地刻画GDP和年份的关系.,.,练习某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：,试预测运动员训练次以及次的成绩,.,第一步：做散点图,.,第二步：求回归方程,.,第三步：残差图,.,残差图,.,第四步：计算相关指数,说明了该运动员的成绩的差异有是由训练次数引起的，说明了两个变量的相关关系非常强,.,第五步：作出预报,由上述分析可知，我们可以用回归方程,.,一般地,建立回归模型的基本步骤为:,1.确定研究对象,2.画散点图,3.由经验确定回归方程的类型,4.按一定规则估计回归方程中的参数,5. 分析残差图,. 下结论,. 分析残差图,小结：,.,作业： 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的