自动控制原理胡寿松第五版第二章

1、第二章控制系统的数学模型，主要内容： 1 .数学模型的概念，建模原则2 .传递函数3 .系统的结构图和信号流程图，2.1.1什么是数学模型？ 数学模型是描述系统的动态特性和各变量之间的关系的数学公式。 控制系统定量分析的基础。 2.1.2数学模型的特征1 )相似性：性质不同的系统具有相同的数学模型。 抽象变量和系统2 )简化性和正确性：忽略次要因素，简化但不太简单，结果合理3 )动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。 性能分析4 )静态模型：静态条件下各变量间的代数方程式。 放大倍率2.1.3数学模型的类型1 )微分方程式：在时域其他模型的基础上直观复杂的2 )传递函数：对复频域微分方程式

2、进行变换的结果3 )频率特性：频域分析方法不同，各有优点，2-1数学模型的概念，2.1.4数学模型的建立方法2 )实验法：黑盒问题。 施加某种测试信号，记录输出，以系统识别的方法得到数学模型。 建模原则：选择合适的分析方法-确定合适的数学模型-简化，写2.2.1列微分方程的一般步骤1 )分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量和内部中间变量，明确各变量之间的关系。 2 )忽略一些次要因素，合理简化。 2.2系统微分方程的建立，3 )根据相关的基本规律，列举了各部分的原始方程。 4 )描述中间变量的辅助方程式。 方程式的数量等于变量的数量！ 5 )联立上述方程式，消除中间变量，得到只包含

3、输入输出的方程式。 6 )使方程式成为标准形。 输出向左排列，输入向右排列，并且导数项按阶梯顺序被系数化成具有物理意义的形式。 三个基本无源元件：质量m、弹簧k、阻尼器f对应于阻碍运动的力：惯性力ma的弹力ky； 阻尼力fv例2-1弹簧-质量-阻尼器串联系。 试制了以外力F(t )为输入量、以质量的位移y(t )为输出量的运动方程式。 解：按照列书微分方程式的一般程序，设(1)输入量为F(t )，输出量为y(t )，作用于质量m的力、弹性阻力Fk(t )和粘性阻力Ff(t )为中间变量。 (2)系统考虑线性集中参数，当外力不作用时，系统处于平衡状态。 2.2.2机械平移系统的例子，(3)根据牛

4、顿第二定律写原始方程式，即，(5)将上述辅助方程式代入原始方程式，消除中间变量而得到，(6)整理方程式得到标准形，(4)写中间变量和输出量的关系式，2.2.3电路系统的例子2 -。 R-L-C串联电路试制了以ur(t )为输入量、以uc(t )为输出量的网络微分方程式。 当设Tm2=m/k、Tf=f/k时，被方程式化为维度s (在教科书中导出，p28 )、静态放大率1/K、解： (1)输入量ur(t )、输出量uc(t )、中间变量i(t )。 (4)写中间变量I和输出变量uc的关系式：(5)将上式代入原来的方程式，消除中间变量的取得，(2)通过线性集中参数来考虑，忽略输出侧的负载效果。 (3

5、)用kvl把原始方程式：i(t )，(6)整理成标准形，T1=L/R，T2=RC时，方程式化是2.2.4线性微分方程式的一般特征观察实际物理系统的运动方程式，用线性稳态特性来记述，方程式一般具有以下形式：式中，c (从工程能实现的角度来看，上述微分方程式满足以下制约： (1)方程式的系数为实常数，由系统自身参数决定(2)左端的次数比右端的次数高，n=m。 因为实际物理系统有惯性和储藏元件(3)方程式两端的各项维度必须一致。 可以利用这一点来检查微分方程是否正确。相似系统的定义：无论什么系统，只要微分方程具有相同的形式。 在方程式中，占相同位置的量、类似量。 上述两个例题中介绍的系统是类似系统。

6、 例2-1，例2-2，指令uc=q/C，在分析机械系统和难以实验的系统时，可以构筑与其相似的电模拟系统，代替对其的研究。 直流电动机是将电能转换为机械能的典型的机电转换装置。 在电枢控制的直流电动机中，通过输入的电枢电压ua在电枢电路中产生电枢电流ia，进而通过电枢电流ia和励磁磁通的相互作用，产生电磁扭矩MD，使电枢旋转，牵引负载进行运动。 Ra和La分别是电枢线圈的总电阻和总电感。 在完成能量转换的过程中，其线圈在磁场中切断磁力线时会产生感应反电位Ea，其大小与2.2.5电枢控制的直流电动机、励磁磁通和转速成比例，与施加的电枢电压ua为相反方向。 以下，导出其微分方程式。 (1)将电枢电压

7、ua作为控制输入，将负载扭矩ML作为干扰输入，将电动机角速度作为输出量，(2)无视电枢反应、滞后、涡电流效果等的影响，在励磁电流不变化if的情况下，认为励磁磁通不变化，将变量关系视为线性关系，(3)写原始方程式的电枢电路方程式电机轴上的机械运动方程式：j-负载换算成电机轴上的惯性力矩，由MD-电枢电流产生的电磁扭矩ml-符合电机轴的总负载扭矩。 (4)列书辅助方程式Ea=ke ke 电位系数由电机结构参数决定。 MD=km ia km 扭矩系数由电动机结构参数确定。 (5)删除中间变量，得到，电气机械时间常数Tm :电磁时间常数ta :1 )电枢电感小时可以忽略，可以简化上式：2-22一次系统

8、，2 )相对于小型电动机惯性力矩j小，Ra，La可以忽略1 .复习拉斯转换及其性质。 定义标记X(s)=Lx(t) 2.进行拉斯转换的条件1)t0、x(t)=0； t0，x(t )是分段连续的时候2)t足够大的话不等式x(t)mect，m，c满足常数。 3 .性质和定理1 )线性性质L ax1(t) bx2(t)=aX1(s) bX2(s )，2-4线性系的传递函数，2 )微分定理的话，x1(0)=x2(0)=0，x(t )各重积分的t=0的值为0时，3 )积分定律，x (-1 ) (同样，5 )初始值定理x(t )及其一阶导数为拉斯变换，并且4 )最终值定理x(t )及其一阶导数为拉斯变换，

9、存在lim x(t )，sX(s )以原点为单极，此外，在j轴上及其右半平面内不存在其他极求出延迟定理l x (t )1(t ) =ESX (s ) l eatx (t ) =x (sa )7)时间戳变换、8 )卷积定理、4 .例2-3单位阶梯函数x(t)=1(t )的拉式变换。 解：求例2-4单位斜函数x(t)=t的拉斯变换。 解：例2-5求正弦函数x(t)=sint的拉式变换。 解：以上一些函数比较常用，但一些常用函数的拉斯变换可以用表格计算求出。 求例2-6函数x(t )的拉斯变换。 求解： x(t)=x1(t)x2(t)=a1(t)a1(tt0)、例2-7eat的拉式变换。 求：例2-

10、8e0.2t的拉式变换。 求解：x(0)，x ()。 解：例2-9若，二.复习拉斯逆变换1 .根据对象函数X(s )求出原函数x(t )，2 .定义求出拉斯逆变换的方法定义，如使用常数定理计算上式的积分值表计算法，部分分式法那样，函数X(s )是复变量s的有理代数表达式振动链路具有位于s左半平面的共轭极：传递函数：或5.2次振动链路微分方程：单位阶跃响应：式中，=cos-1。 响应曲线因指数衰减而振动，所以被称为振动链路。1，例如RLC串联电路、平移系统、直流电机、6 .延迟链路微分方程式，c(t)=r(t )传递函数：单位阶梯响应：c (t )=1 2-7系统的结构图下图是研究过的直流电动机

11、的转速控制系统，可以用框图描述其结构和作用原理，但不能定量分析，只要有传递函数的概念就可以解决。 转速控制系统由三个环节(部件)构成，将各部件的传递函数代入相应的模块，指定与两端对应的变量，就能得到系统的动态结构图。 对应的组件(s )进行替换的优点在于：补充了块中的每个变量之间的定量关系，指示了信号的流动，并且可以直观地理解组件对系统性能的影响，因此这是系统中每个组件的功能和信号流(即系统的数学模型)。 2 .结构图的基本配置1 )绘画的四种基本元件信号传输线是带箭头的直线，箭头表示信号的发送方向，而传输线表示发送的信号。 指四角表示输入，从四角出来的表示输出。 另外，r(t )、R(s )

12、、分支点表示信号的引出和测量的位置，从相同位置导出的信号的数值和性质完全相同。r(t )、R(s )、r(t )、R(s )框表示对输入信号的数学运算。 框中的传递函数是单向运算符，输出和输入是因果关系的。 将、R(s )、R(s) U(s )、U(s )、C(s)=G(s)R(s )相加，并对两个以上的信号进行代数运算，“符号表示相加，“符号表示减法。 外部信号要作用于系统，必须用相加点表示。 2 )结构图的基本作用： (a )简单地表达系统的结构和相互关系，简单地评价各组件对系统性能的影响。 信号的传输严格遵守单方面原则，其中输出施加到输入上的反作用力经由反馈分支电路来单独显示。 (b )

13、对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可以容易地求出系统整体的传递函数。 (c )当c) s=0时，表示各变量之间的静态特性，否则表示动态特性。 2.7.2结构图的描绘顺序(1)写出各要素的原始方程式(保持所有变量，使分析变得容易)。 (2)使初始条件为零，对这些方程进行拉斯变换，得到传递函数，分别以一个块的形式表示因果关系，并且，这些块的传递函数都应该具有典型的环节形式。 (3)当这些块单元通过信号流连接时，形成完整的结构图。 例2-16将描述下图所示RC网络的结构图。 解： (1)写各元件的原始方程式，I，(2)进行拉斯变换，在零初始条件下，用块形式表示，(3)将这些块依次连接得到图。2.

14、7.3结构图的基本连接形式1.3种基本连接形式(1)串联连接。 相互间串联着无负荷效应的环节，也就是说前一环节的输出是后一环节的输入，是按顺序连接的。 因此，链路连接之后的等效传递函数等于每个链路传递函数的乘积。 根据附图可知，U(s)=G1(s)R(s) C(s)=G2(s)U(s )消除了变量U(s )，C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s )，(2)是并行的。 并行各环节有相同的进口量，但出口量等于各环节出口量的代数和。 另外，从图中，C1(s )=g1(s ) R(s )=g2(s ) r (s )、r (s )、C(s)=C1(s) C2(s )消除了c1(s )和

15、C2(s )，c (s )= g1(s ) g2(s ) r (s )。，(3)反馈连接形式，如图所示，两个模块反向排列。 在加法点相加的情况下为正反馈，减法的情况下为负反馈。 另外，通过从图中得到c (s )=g (s ) e(s )=h (s ) c (s ) e (s )=r (s ) b(s )消除b (s )和e (s )，并得到C(s)=G(s) R(s) H(s)C(s)，式与闭环传递函数定义： G(s ) :前向信道传递函数E(s) C(s) H(s ) :反馈信道传递函数C(s) B(s) H(s)=1单位反馈系统G(s)H(s )开环传递函数E(S) B(s )，公式中的负

16、反馈的2 .闭环系统常用传递函数考察有扰动的闭环系统如图所示。 它描述了一般的闭环控制系统的一般形式。 (1)控制输入下闭环传递函数命令N(s)=0有，(2)干扰输入下的闭环传递函数命令R(s)=0有，(3)两个输入量同时作用于系统的响应，(4)控制输入下的误差传递函数，(5)干扰输入下的误差传递函数，(6)两个输入量同时系统3 .闭环控制系统的若干特征，闭环控制系统的优点可以通过定量地分析来更接受。 (1)外部扰动抑制器的良好抗噪声能力(2)系统精度可能仅依赖于反馈信道的精度(3)每个传递函数具有相同的特征方程式。 无论动态特性相同(固有属性)输入和输出，2.7.4结构图的等效变换原则：变换前后必须保持信号的等效。