杨辉三角与二项式定理

1、杨辉三角与二项式系数,杨辉三角 ,之数学史话,一、引入,杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多，著有详解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法二卷其中后三种合称杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。,二、杨辉简介:,“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pa

2、scal, 1623年1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1、与二项式定理的关系： 表中的每个数都是二项式 系数，第n行的第r+1个数是 第n行各数的和为n,尝试探索,第0行 1,、杨辉三角第n行各数的特点,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第n-1行

3、1,1,第n行 1,1, , ,杨辉三角的第n行中的数对应于二项式(a+b)n展开式的二项式系数,杨辉三角的各行数字的和等于与之对应的(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和为2n。,2、杨辉三角的基本性质和对称性,2.基本性质：杨辉三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加.,1.对 称 性：杨辉三角形的每一行中的数字左右对称.,性质3：增减性与最大值,A,C,课堂练习:,2、在(ab)10展开式中，二项式系数最大 的项是( ).,A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项,1、在(ab)20展开式中，与第五项二项式 系数相同的项是( ).,A.第15项

4、 B.第16项 C.第17项 D.第18项,思考：,在(a-b)10展开式中，系数最大的项又是什么？,性质4：各二项式系数的和,也就是说, (a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n,？,2n,赋值法,性质5：奇数项二项式系数与偶数项二项式系数的和,2n-1,2n-1,性质1:,性质3：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；,性质4：,性质5：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和.,性质2:,练习.设 二项式展开式的各项系数的和 为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开

5、式的常数项为_,108,如上表，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14与第15个数的比为,34,练习1:,杨辉三角的应用,则第n 行（n 2 ）第2个数是什么？,分析:设第 n 行的第 2 个数为 an ,则a2 = 2 ,an+1 - an =n, an = 2 + 2 + 3 + ( n-1)=,想一想：将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01数表，从上往下数：第一次全行的数都为1 的是第一行，第二次全行的数都为1 的是第3行，第n次全行的数都为1 的是第 行 第一行 1 1 第二行 1 0 1 第三行 1 1 1 1 第四行 1 0 0 0 1 第五行

6、 1 1 0 0 1 1 分析：本题是对杨辉三角的考察，一行全即本身全为奇数，因此，我们继续探究下表,2n1,3,5,8,第0行,4,10,13,1,2,6,7,9,11,12,14,15,1）杨辉三角中的第1，3，7，15，行，即第 行的各个数字为奇数？,2n-1,除两端的1之外都是偶数.,则第2n行的数字有什么特点？,探究2、横行规律,思考：1.求 的展开式中的 系数.,2. 在 的展 开式中，含 项的系数是多少？,四、总结,2、杨辉三角蕴含的数字排列规律,1、杨辉三角蕴含的基本性质,3、利用杨辉三角进行简单的应用,探究：研究斜行规律：,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上：,第四

7、条斜线上：,猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于,1+1+1+1+1+1=,1+2+3+4+5=,1+3+6+10=,1+4+10=,第m+1条斜线上的第n个数.,111 1 （第1条斜线 ）,(nr),111 1 （第1条斜线 ）,（第3条斜线 ）,（第2条斜线 ）,结论：杨辉三角中，第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数,即,根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜线(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15

8、6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;,这就是著名的斐波那契数列 。,探究,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n3) 这就是著名的 斐波那契数列,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提

9、出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生的第个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，,1.斐波那契“兔子繁殖问题”,二.应用:,.选做题(课后探讨） 在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,“概率三角形”,照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？,与杨辉三角有何关系？,小球从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加。,于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是：,第一层 1,第二层 1 1,第三层 1 2 1,第四层 1 3 3 1,第五层 1 4 6 4 1,五、作业： 7、8,A,C,课堂练习